Complemento ortogonale

Definizione 15.7

Sia uno spazio vettoriale su . Sia un sottospazio vettoriale, sia un prodotto scalare. Il complemento ortogonale di rispetto a (dipende da e da ) e' l'insieme dei vettori di che hanno prodotto scalare nullo con qualsiasi vettore di , ovvero

 



Esempio 15.11

Sia il prodotto scalare alla matrice

Considero .


Ddeterminare il complemento ortogonale dello span rispetto a

quindi sicuramente e appartengono al complemento ortogonale dello di .


Ottengo che il complemento ortoonale dello span di contiene lo span di , ovvero .


Notiamo che il prodotto scalare considerato è non degenere. se e solo se , quindi se e solo se , quindi se e solo se appartiene allo span di (infatti è l'unica entrata uguale a 0 che coinvolge ).

 


In generale, anche se il prodotto scalare e' non degenere, puo' avvenire che per qualche sottospazio vettoriale , . Vedremo che questo avviene solo quando il prodotto scalare e' definito positivo.

Prodotto scalare definito positivo

Definizione 15.8

Sia uno spazio vettoriale reale e sia un prodotto scalare. si dice definito positivo se per ogni con , si ha che e' un numero positivo.

 



Ad esempio, il prodotto scalare standard su e' definito positivo.

Un altro esempio di prodotto scalare definito positivo e' il seguente.


Esempio 15.12

Sia lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale di nell'indeterminata .


Definiamo tale che


Si può dimostrare che e' un prodotto scalare usando le usuali proprieta' degli integrali.


Se , ottengo


Se calcolo ottengo

Allora e' necessariamente positivo.

 

relazione tra prodotti degeneri e positivi

Osservazione 15.1

Se e' definito positivo, allora e' non degenere.


Infatti, se prendo nello spazio nullo, si ha per ogni e quindi anche per , ma siccome per ipotesi il prodotto scalare e' definito positivo, allora e' il vettore nullo, di conseguenza e' non degenere perché il suo spazio nullo si riduce al solo zero.

 



Non vale viceversa, infatti presa la matrice

il prodotto ad essa associato e' non degenere, ma non e' definito positivo.

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