Norma euclidea

Definizione 4.2

La norma euclidea standard su e' la funzione che porta un vettore colonna nella sua norma definita come la radice quadrata del prodotto scalare standard di con se stesso.

 


Proposizione 4.2

La norma ha le seguenti proprietà:

  1. .
  2. se e solo se è il vettore nullo
  3. Per ogni e per ogni numero reale ,
    Dim.
 

disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Teorema 4.1

Per ogni coppia di vettori , si ha:

Inoltre vale l'uguale se e solo se e sono linearmente dipendenti.

 


Dimostrazione 4.2

Supponiamo che i due vettori siano linearmente dipendenti. Supponiamo per esempio che per qualche Allora

ma
allora vale l'uguaglianza.


Possiamo supporre ora che e siano diversi dal vettore nullo e siano linearmente indipendenti. In particolare e . Consideriamo il vettore , con numero reale. allora per ogni

Uso la bilinearita' sulla prima componente
Raccolgo
e la quantita' fra parentesi e' maggiore di 0. aggiungo e tolgo .
Ho un quadrato perfetto, infatti vale l'uguaglianza
e sostituendo nella disuguaglianza
Cerco il minimo comun denominatore tra gli ultimi due addendi:
In particolare se , il primo addendo e' 0, e rimane
quindi
quindi, se e sono linearmente indipendenti, concludo che necessariamente .


Allora sotto radice quadrata ottengo proprio la disuguaglianza

cvd

 

Disuguaglianza triangolare

Come corollario della disuguaglianza di Cauchy-schwartz possiamo dedurre la disuguaglianza triangolare.



Corollario 4.1

Per ogni coppia di vettori , si ha che

 


Dimostrazione 4.3

Parto dalla disuguaglianza da dimostrare, e siccome sto confrontando due addendi maggiori o uguali di 0, allora posso elevare al quadrato e dimostrare l'equazione

Sappiamo che vale anche

Esplicitando il prodotto al primo membro nella formula 2:
Osservo che
quindi, sostituendo al primo membro:

Ora applico la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:

e sostituendo ottengo:
e quindi ho dimostrato la formula 1.


cvd

 



Osservazione 4.1

La relazione

vale quando e sono linearmente dipendenti e hanno un coefficiente positivo, cioè se e solo se

  1. vale l'uguaglianza in Cauchy-Schwarz ( e linearmente dipendenti)
 

Distanza euclidea

Definizione 4.3

La funzione distanza euclidea rispetto al prodotto scalare standard e' la funzione e associa alla coppia la norma della differenza tra i due vettori.

 


Proposizione 4.3

La distanza euclidea ha le seguenti proprieta':

  • per ogni .
  • se e solo se
  • perche'
  • Per ogni scelta di , la distanza tra e e' sempre minore o uguale di .
 


Dimostrazione 4.4

 



Osservazione 4.2

Le terne di vettori tali per cui

sono quelle tali per cui vale l'"uguaglianza triangolare"
cioè sono le terne di punti allineati, dove i vettori e sono linearmente dipendenti.

 

Interpretazione geometrica di Cauchy Schwarz

Per ogni coppia di vettori in , allora In particolare, se e sono entrambi diversi da 0, posso dividere per e ricavo che

Il denominatore e' una quantita' positiva. Osservo che il rapporto vale esattamente se i vettori sono linearmente dipendenti e , infatti si ottiene:
Il segno di e' se e' negativo e se e' positivo.

Caso particolare vettori unitari

Il rapporto non cambia se e vengono entrambi moltiplicati per uno scalare positivo.


Allora sostituisco con e con . e sono detti vettori unitarizzati perché hanno norma 1.


In posso considerare due vettori di norma 1, che stanno sul cerchio unitario con centro nell'origine. Chiamo e gli angoli formati da e con l'asse delle ascisse. Quindi si può scrivere


In generale se e sono vettori non nulli in , l'angolo compreso tra e e' l'angolo determinato dalla condizione

In particolare, diremo che e sono perpendicolari se l'angolo e' di e quindi se .

vettori perpendicolari

Notazione generalizzata: Due vettori e in anche nulli si diranno perpendicolari se il prodotto scalare standard dei due e' 0. Di conseguenza, il vettore nullo e' perpendicolare a ogni vettore.



Teorema 4.2

Due vettori e sono perpendicolari in se e solo se vale la proprietà

 


Dimostrazione 4.5

: e perpendicolari implica . Considero quindi che:

Uso la simmetria.
ma per ipotesi e' uguale a 0, quindi

: Viceversa, se impongo che , allora , per i passaggi precedenti.


cvd

 



Osservazione 4.3

Se e sono perpendicolari, anche e sono perpendicolari e si ha

 


Esempio 4.1

Sia in una retta con punto di passaggio e vettore direzione ( e sono elementi di e ). Quindi e' l'insieme .


Prendo un punto di . Allora, esiste ed e' unico un punto appartenente alla retta tale che e' perpendicolare al vettore direzione . Impongo la condizione algebricamente

e siccome , cerco tali che:
Osservo che , perche' il vettore direzione non e' nullo, allora dividendo per :
e il punto cercato è

Sia un qualsiasi punto. Allora posso scrivere la retta come al variare di .


Allora esiste ed e' unico tale che . Segue che

Siccome e' perpendicolare a , e' anche perpendicolare a qualsiasi multiplo scalare di , allora la norma quadra della somma e' la somma delle norme quadre per il teorema enunciato sopra.
Vale l'uguale quando , e quindi quando , Quindi se e solo se .


Prendendo le radici quadrate, per ogni punto sulla retta, si ha

Vale l'uguale se e solo se .

 
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