Matrici simili in uno spazio vettoriale

Definizione 12.1

Siano e matrici reali . Diremo che e sono simili se esiste una matrice invertibile tale che .

 

Teorema sulla similitudine

Teorema 12.1

Dato -dimensionale, allora e matrici sono simili se e solo se esistono lineare e basi e di tali che e .

 


Dimostrazione 12.1

, infatti le matrici di rispetto alle basi e ( e rispettivamente) sono simili, infatti con che e' invertibile.


: Viceversa, siano e matrici simili e sia invertibile tale che . Sia la matrice dell'applicazione lineare rispetto alla base . Prima di procedere è necessario il seguente lemma.

 



Lemma 12.1

Sia una base di . Affermo che esiste ed e' unica lineare tale che e' la matrice di rispetto alla base .

 


Dimostrazione 12.2

Se ha entrate e se lineare e' tale che la matrice di nella base e' , deve essere

La j-esima colonna della matrice e' la colonna delle coordinate di nella base .


Se esiste e' unica. D'altra parte sappiamo che un'applicazione lineare si puo' definire in modo arbitrario sui vettori di una base.


Allora esiste un'applicazione lineare tale che

. Quindi la matrice di rispetto alla base e' proprio .


cvd

 



Riprendendo con la dimostrazione del teorema, consideriamo l'unica applicazione lineare tale che

dove sono le entrate della matrice invertibile che realizza la similitudine tra e . La matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla base a e' la matrice . Per ipotesi e' invertibile, quindi l'applicazione lineare e' invertibile. Allora e' un automorfismo di e pertanto se chiamo la sequenza ordinata essa e' un'altra base di .

Dimostrazione 12.3

Per semplicita' scriviamo . Allora .


La matrice dell'identita' di da a e' la matrice che esprime i vettori della base in termini della base .


Scrivo in termini di , quindi ottengo la matrice stessa per costruzione.


Allora dalla relazione tra matrici rispetto a basi diverse si ha:

ma , si ha .


cvd

 

Caso particolare del teorema sulla similitudine

Caso particolare: Nelle ipotesi precedenti siano , e come sopra (). Se consideriamo , cioe' e una delle due basi e' la base canonica, allora la matrice nella base di (che porta un vettore in ) e' la matrice stessa. Esiste una base rispetto alla quale la matrice di e' .


e' invertibile, quindi la sequenza ordinata delle colonne di e' base di . La matrice da a dell'identita' di e' la matrice che esprime ogni colonna in funzione della base canonica, ma le coordinate di nella base canonica sono le colonne stesse, quindi ottengo la matrice .


Se calcolo la matrice rappresentativa di ho

quindi ottengo . La matrice che rappresenta nella nuova base e' quella che ha per colonne

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