Basi di partenza e di arrivo

Ipotesi

Siano e spazi vettoriali, sia la dimensione di e la dimensione di .


Siano la base di e la base di . Supponiamo data un'applicazione lineare . Allora per ogni esistono e sono unici scalari in o in per tali per cui

Se e' il vettore in con coordinate , abbiamo definito matrice di rispetto alla base di partenza e di arrivo come
che corrisponde alla matrice :

Coordinate nella base d'arrivo

Ci si chiede che relazione c'e' tra il vettore delle coordinate di un dato nella base e il vettore delle coordinate del suo trasformato nella base , se e' un generico elemento di .


Sia la colonna delle coordinate del vettore in . Cio' significa che e' , quindi applicando ricaviamo che

ma siccome e' lineare ottengo
Sostituisco a la sua espressione in funzione dei (formula 1):
Posso cambiare l'ordine di sommatoria
Se chiamiamo il vettore colonna esso e' il vettore colonna delle coordinate del trasformato nella base di . Allora

e' una base di quindi le sue coordinate sono univocamente determinate, allora eguagliando i coefficienti di nelle due diverse espressioni ottengo:

In forma matriciale questo si puo' scrivere come
Questo e' il prodotto della matrice
per il vettore .


Riassumendo, si ha che

e' la colonna delle coordinate di nella base ed e' il prodotto della matrice associata ad con base di partenza e base di arrivo e le coordinate di rispetto alla base di partenza.

Teorema sulle coordinate

Vale quindi il seguente teorema:


Teorema 11.1

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali sul corpo . Siano basi di e rispettivamente.


Supponiamo di avere un'applicazione lineare , allora per ogni in si ha che la colonna delle coordinate nella base di arrivo del trasformato di si ottiene facendo il prodotto della matrice nelle due basi e del vettore delle coordinate di nella base di partenza. Questa e' una matrice .

 


Esempio 11.1

Sia una funzione tale che

(Ottengo un polinomio di grado al piu' 2.)


Prendiamo le basi e . La matrice corrispondente all'applicazione e' del tipo .


Applico ai polinomi della base di partenza e scrivo le coordinate del trasformato rispetto alla base di arrivo.

Se parto da un polinomio della forma
in la matrice nella base di e' la matrice che ha per colonne i vettori trovati prima, che sono i trasformati mediante dei polinomi della base di partenza rispetto alla base di arrivo.

Per ottenere le coordinate di nella base di arrivo, dove e' un polinomio con coefficienti , moltiplico la matrice per il polinomio e ottengo la soluzione:

Verifica: Calcolo applicata al polinomio di partenza.

Le coordinate sono le stesse che ho trovato sopra leggendo la soluzione dalla matrice.

 

Conclusione

Abbiamo dimostrato che per ogni in nelle ipotesi precedenti la colonna delle coordinate di nella base e' uguale al prodotto della matrice da a per la colonna delle coordinate di nella base .

Fissiamo la matrice dalla base a . e' una matrice .

Abbiamo osservato che e sono isomorfismi di spazi vettoriali.


L'applicazione corrisponde alla matrice . Allora possiamo riscriverla come

Questo vale per ogni in , pertanto

Il diagramma e' commutativo, infatti viene mandato tramite in , e viene mandato tramite in . Viceversa viene mandato da in , e tramite viene mandato da a .


Inoltre, possiamo esprimere come

e' un isomorfismo, quindi posso prenderne l'inversa.


Fissiamo basi di partenza e di arrivo e mettiamo in relazione l'applicazione lineare con la matrice.

teorema sul nucleo

Osservazione 11.1

appartiene al nucleo di se e solo se .


Questo equivale a dire che le coordinate di sono uguali a 0, quindi se , quindi appartiene al nucleo se e solo se e' uguale a (infatti per il teorema precedente le coordinate di nella base di arrivo sono date dal prodotto ).


Quindi appartiene al nucleo se e solo se appartiene al nucleo della matrice , dove e' la matrice da a .

 



Teorema 11.2

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Siano e basi di e rispettivamente. Sia la dimensione di e c la dimensione di . Sia lineare e sia la matrice che rappresenta rispetto a queste due basi. Allora il nucleo di si ottiene dal nucleo della matrice facendone la controimmagine mediante l'isomorfismo .

 


Esempio 11.2

Sia come nell'esempio precedente. La matrice di tra e e'

Studio il nucleo di .


Il rango della matrice e' quindi il nucleo ha dimensione 1.


si puo' riscrivere scambiando le righe

Pongo e leggo la soluzione dalla matrice.
Il ker e' lo span del vettore , che nello spazio dei polinomi corrisponde a .


Applico al polinomio ottenuto ( e' come nell'esempio precedente).

(ho verificato che il polinomio appartiene al nucleo, perche' la sua immagine mediante f e' 0)

 

Teorema sull'immagine

Lo stesso discorso vale per l'immagine.

Nelle ipotesi precedenti, ovvero , se considero lo spazio immagine di in , l'immagine mediante e' contenuto in .


Allora dello spazio immagine di e' l'insieme di tutti i vettori della forma , al variare di in . Quindi e' l'insieme di tutti i vettori

Ma . Quindi vale il seguente teorema:



Teorema 11.3

Nelle ipotesi precedenti, abbiamo che si ottiene dall'immagine di facendone la controimmagine in .

 


Esempio 11.3

Sia tale che . Questa e' un'applicazione lineare e ben definita.


Sia la base di partenza e la base di arrivo.


Calcolare il nucleo di

La matrice che rappresenta rispetto alle basi di partenza e di arrivo sara' la matrice .


Applico alla base di partenza e calcolo le coordinate di nella base di arrivo.

Ottengo la matrice
Faccio l'eliminazione gaussiana:
Il rango di un'applicazione lineare e' la dimensione dello spazio immagine.


La dimensione dello spazio immagine e' uguale al rango della matrice che lo rappresenta, quindi .


Concludiamo che il nucleo di e' 0.


Cercare una base dello spazio immagine.

Per trovare una base dello spazio immagine, siccome e' iniettiva posso prendere i trasformati della base . I trasformati dei vettori della base di partenza (calcolati prima) sono una base dello spazio immagine (infatti e l'immagine hanno la stessa dimensione per l'iniettivita' di ).


Base dell'immagine: .


Cercare le equazioni cartesiane per lo spazio immagine nelle coordinate rispetto alla base

Scrivo la matrice che ha per colonne i trasformati dello spazio immagine e affianco il vettore delle coordinate.

Impongo che il rango della matrice estesa sia uguale al rango della matrice ridotta.
Il polinomio appartiene allo spazio immagine se e solo se . E' un'equazione cartesiana sui coefficienti del polinomio.


Cercare una base di che estende una base dello spazio immagine.

Aggiungo alla base dello spazio immagine un qualsiasi polinomio che non soddisfa l'equazione, ad esempio , dove e tutti gli altri coefficienti sono nulli. Questo polinomio non soddisfa l'equazione dello spazio immagine calcolata prima


Base completata:


Determinare la controimmagine di al variare di in

Se , allora non appartiene allo spazio immagine e quindi la controimmagine di e' l'insieme vuoto.


Se la controimmagine e' un sottospazio affine che si ottiene traslando il ker. siccome il ker e' uguale a 0, le controimmagini sono semplicemente dei polinomi.


Risolvo il sistema lineare sapendo che l'ultimo termine e' uguale a 0. La controimmagine di se appartiene all'immagine e' della forma: Per trovare leggo le equazioni cartesiane corrispondenti alle prime tre righe della matrice risolta sopra.

Per verificare se la controimmagine e' corretta applico alla controimmagine e devo ottenere .
Dall'equazione cartesiana dell'immagine ricavo che . quindi verifico che se applico all'immagine ottengo proprio il polinomio

 


Esempio 11.4

Considero la matrice e l'applicazione lineare associata.

Siano e parametri reali e definiamo l'insieme di tutti gli tali che .


Per ogni scelta di e numeri reali e' l'iperpiano definito dall'equazione .


Calcolare il rango di ristretto al sottospazio al variare di e numeri reali. Trovare equazioni cartesiane per lo spazio immagine.

I due vettori presi nell'ordine sono una base di

La matrice rispetto alla base mobile di partenza e alla base canonica come base d'arrivo e' ristretto a . Applico ai due vettori, cioe' moltiplico la matrice a destra per i due vettori.

Scrivo la matrice che ha per colonne i trasformati di e .
Il rango di e':

  1. se
  2. se



Calcolare il nucleo dell'applicazione ristretta a

Se , allora (per il teorema del rango).


Se allora il nucleo ha dimensione 1.

suppongo , quindi l'equazione di diventa:
(c'e' un errore di segno)
Impongo che un vettore di questa forma stia nel nucleo, quindi faccio il prodotto della matrice originaria per questo vettore e impongo il risultato uguale a 0.
Le tre equazioni sono uguali a 0 se e solo se Il ker e' lo span di tali che la loro immagine sia uguale a 0, quindi tali che . Quindi e' lo span di cioè .

Nota: In generale, se ho un'applicazione lineare e prendo un sottospazio vettoriale di , chiamo la restrizione di ad , anch'essa e' lineare. Il nucleo di e' l'insieme dei vettori in A tali che , quindi e' l'insieme dei che appartengono al nucleo di . Quindi e' l'intersezione di con il nucleo di .


Calcolare equazioni cartesiane per lo spazio immagine di

Lo spazio immagine e' lo span dei due vettori

appartiene allo spazio immagine se il rango della matrice estesa e' uguale a quello della matrice originaria.

equazioni cartesiane: Se lo spazio immagine e' l'insieme degli tali che . ha rango 2, quindi lo spazio immagine e' costante e non dipende dal parametro. par Se , lo spazio immagine di ha dimensione 1 ed e' una retta per l'origine


Le sue equazioni sono e


Calcolare Una base dello spazio immagine al variare dei parametri.

se una base dello spazio immagine e' data dai due vettori e .


Se la base dello spazio immagine che ha dimensione 1 e' il vettore che soddisfa anche quest'equazione.


Trovare una base di che estenda una base dello spazio immagine.

Per estendere la base dello spazio immagine aggiungo ai due vettori dello spazio immagine con aggiungo che non soddisfa l'equazione cartesiana.

Si puo' fare lo stesso esercizio con il complemento ortogonale o accostando la base canonica. Ad esempio impongo che

Risolvendo il sistema si trovano le coordinate del terzo vettore della base, poi si esprimono i parametri e in funzione di .

 
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