Piani in R 3

Prodotto scalare standard

Definizione 3.3

Il prodotto scalare standard su e' la funzione che prende una coppia ordinata di vettori con e e la porta in

Si indica con .

 


Esempio 3.4

In , . In , .

 



Osservazione 3.4

Per ogni e in , , cioè il prodotto scalare e' una funzione simmetrica.

 



Proposizione 3.1

Se prendo vettori arbitrari e e scalari arbitrari, allora

(bilinearità)

 


Dimostrazione 3.2

Supponiamo , , . Allora

allora
Raccolgo e : Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \lambda +\lambda'(x_1'y_1\+x_n'y_n)}

cvd

 


Osservazione 3.5

Per ogni scelta di vettori e in , segue che

 


Dimostrazione 3.3

allora
Gli addendi opposti si eliminano e rimane 0.


cvd

 

Piano in R 3

Definizione 3.4

Supponiamo di avere due vettori e in . Diremo che in e' una combinazione lineare di e se esistono scalari e numeri reali t.c. .

 



Definizione 3.5

Sia e siano e in linearmente indipendenti, quindi tali che . Allora il piano (affine) passante per e con vettori direzione e e' il luogo di tutti i punti della forma: al variare di e numeri reali.


Se consideriamo l'applicazione che porta e nel punto , il piano e' l'immagine . si dice una parametrizzazione di .


La parametrizzazione determina il piano, ma a un piano corrispondono varie parametrizzazioni.

 

Osservazione sulla combinazione lineare

Proposizione 3.2

Siano e in linearmente indipendenti (il prodotto vettore e' diverso da 0). Allora e' combinazione lineare di e se e solo se .

 


Dimostrazione 3.4

: Se il vettore e' una combinazione lineare di e per certi e , con e vettori linearmente indipendenti in , allora segue che

per dimostrazione precedente.


: Supponiamo viceversa che

allora dev'essere
Almeno una delle tre componenti di dev'essere diversa da 0 perché i vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo che la seconda componente sia non nulla, allora posso dividere l'ultima equazione per :
isolo e
Chiamo il coefficiente di e il coefficiente di , qundi
Inoltre si ha
infatti sostituendo le espressioni di e ottengo:
e semplificando i termini opposti
raccogliendo ottengo l'identità:
quindi la condizione è verificata.


Inoltre analogamente .


Concludo che

allora e' una combinazione lineare di e .


cvd

 



Corollario 3.1

Il punto appartiene al piano se e solo se (questo infatti implica che il vettore differenza tra il punto e il punto di passaggio è combinazione lineare dei vettori direzione).


Per definire un piano in basta un'equazione cartesiana.

 

Dall'equazione parametrica alla cartesiana

Esercizio 3.1

Trovare un'equazione cartesiana per il piano passante per e avente vettori direzione e .


I vettori direzione sono linearmente indipendenti, infatti

Allora impongo che
In questo modo esprimo come soluzione di un sistema lineare in tre incognite. I vettori direzione soddisfano l'equazione omogenea. Il punto di passaggio deve soddisfare quella non omogenea.

 

Dall'equazione cartesiana alla parametrica

viceversa, supponiamo di avere un'equazione cartesiana, ovvero il luogo delle soluzioni di un'equazione lineare nelle incognite e cerchiamo di risalire alla parametrizzazione.



Esercizio 3.2

Trovare l'equazione parametrica del piano

Esplicitando la otteng:
Quindi
Ottengo il piano con punto di passaggio e vettori direzione e .

 



In generale, dato il luogo delle soluzioni di un'equazione lineare , con non tutti nulli, se supponiamo , allora

e questa e' il Piano con punto di passaggio e vettori direzione e .

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