La retta in R3

vettori linearmente dipendenti

Vale la seguente caratterizzazione analoga a quella presente in : Siano e in , allora e sono linearmente dipendenti se e solo se il prodotto vettore di e e' uguale a 0.


Dimostrazione 3.1

: Suppongo che un vettore sia multiplo scalare dell'altro. Sia per esempio per qualche , allora

: Viceversa supponiamo che il prodotto vettore sia uguale a 0, e devo dimostrare che i vettori sono dipendenti. se , non c'e' niente da dimostrare. Sia . Per esempio sia .


implica che tutte le componenti del prodotto vettoriale sono nulle, quindi, in particolare

e

se e' diverso da 0, allora dividendo per ricavo:

Allora confronto
Allora i vettori sono linearmente dipendenti con .


cvd

 

Definizione ed esempi sulla retta

Definizione 3.2

Se ho un punto in e e in , con , definisco la retta con punto di passaggio e vettore direzione come

 


Trovare equazioni cartesiane per , significa esprimere come il luogo delle soluzioni di un sistema lineare in .


Allora appartiene a per definizione se e solo se esiste un numero reale tale che

e quindi se e solo se
per qualche numero reale. Alloora e devono essere linearmente dipendenti.


Allora il prodotto vettore di e deve dare il vettore nullo.


Quindi e' il luogo delle soluzioni delle seguenti equazioni (pongo le componenti del prodotto vettore uguali a 0): Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}v_2*(z-z_0)-v_3(y-y_0)=0, \, E_1 \\v_1(z-z_0)-v_3(x-x_0)=0, \, E_2 \\v_1(y-y_0)-v_2(x-x_0)=0, \, E_3\end{sistema}}

Risolvo il sistema: e faccio le seguenti operazioni.

I termini centrali si annullano e rimane
e semplificando per ottengo , in particolare ho dimostrato che
Analogamente si dimostra che
Quindi, ogni equazione del sistema si puo' scrivere come combinazione lineare delle altre e quindi un'equazione è ridondante. Pertanto ogni retta puo' essere definita da un sistema lineare di due equazioni nelle tre incognite .


Per esempio, se , uso le due equazioni in cui compare , cioè la seconda e la terza equazione.

Analogamente negli altri casi, e .

Dalle equazioni parametriche alle cartesiane

Esempio 3.1

Sia al variare di in , e voglio scriverne le equazioni cartesiane.


se e solo se e sono linearmente indipendenti.


Ricavo due equazioni che non siano una multiplo dell'altra. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}1(y+1)-(x-1)=0, \, E_3 \\1(z)-(y+1)=0, \, E_1\end{sistema}} riordino Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-x+y=-2 \\-y+z=1\end{sistema}} Le equazioni sono indipendenti perche' la x in una equazione compare e nell'altra no. Questo e' un sistema di equazioni carteisane della retta.


verifica: come nel caso di , il vettore direzione dev'essere una soluzione del sistema omogeneo, e il punto di passaggio deve risolvere il sistema non omogeneo (con termine noto).

 



Esempio 3.2

Trovare rappresentazione parametrica ed equazioni cartesiane per la retta congiungente e .


Parametrizzazione della retta:

I due vettori e devono essere linearmente dipendenti, quindi il prodotto dev'essere 0.


Terza componente:

Seconda componente: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-x+1-2y-2=0 \\-x+1-2z+4=0 \\\end{sistema}} Equazioni cartesiane: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+2y+1=0 \\-x-2z+5=0 \\\end{sistema}}

 

Dalle equazioni cartesiane alle parametriche

Viceversa: se e' il luogo delle soluzioni di un sistema lineare di due equazioni indipendenti in , allora e' una retta, come mostra il seguente esempio:


Esempio 3.3

Supponiamo di avere il sistema Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} x-2y+3z=5, \, E_1 \\ 2x+y-2z=0, \, E_2 \end{sistema}} Eseguo l'operazione .

Inoltre, dalla prima equazione ricavo
e sostituendo l'espressione di ricavata si ha:
Complessivamente ottengo:
Ho posto Il vettore direzione è e il punto di passaggio è .

 



Caso generale: Supponiamo che sia il luogo delle soluzioni di un sistema lineare della forma: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}ax+by+cz=d, \, E_1 \\ a' x+b' y+c' z=d, \, E_2 \end{sistema}} Con i vettori e linearmente indipendenti.


Se per esempio , e' il luogo delle soluzioni del sistema seguente: (rispetto al sistema di partenza, al posto della seconda equazione inserisco ). Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}ax+by+cz=d, \, E_1 \\a'x-(a*a')/a*x+b'y-(b*a'/a)y+c'z-(a'/a*c)z=d'-a'/a*d=0, \, E_2\end{sistema}} Dividendo la prima equazione per e moltiplicando per la seconda ottengo: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+(b/a)y+(c/a)z=d/a \\(ab'-a'b)y+(ac'-a'c)z=ad'-a'd\end{sistema}} I coefficienti non possono essere uguali a 0 altrimenti i due vettori iniziali sarebbero linearmente dipendenti.


Divido allora la seconda equazione per : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+b/a y+c/a z=d/a \\y+\frac{ac'-a'c}{ab'-a'b} z=\frac{ad'-a'd}{ab'-a'b}\end{sistema}} Riscrivo questo sistema cambiando i nomi ai coefficienti: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+B y+C z=D \\y+C' z=D'\end{sistema}} Sottraggo alla prima equazione la seconda moltiplicata per , in modo da annullare il termine in :

Pongo ora , , , . Quindi , mentre .
Il punto di passaggio è e il vettore direzione è .


Si puo' descrivere una retta partendo da una parametrizzazione.

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