operazioni in Rn

somma

Definizione 2.2

Su l'operazione somma e' un'applicazione che ha come dominio il prodotto cartesiano di per se' stesso e come codominio .

 


L'operazione somma prende due vettori e . L'immagine mediante l'applicazione della coppia e' , e' il vetore di che ottengo sommando componente per componente: .


Esempio 2.1

Considerato e vettori in , la somma e' .

 



Proposizione 2.1

La somma e' un'operazione associativa: per ogni scelta di tre vettori allora

 


Dimostrazione 2.1

Questo vale perche' se considero tre vettori e e , allora

e per l'associatività dei numeri reali

cvd

 



Proposizione 2.2

Si verifica allo stesso modo che la somma di vettori e' un'operazione commutativa.

Uso la corrispondente
ma per la commutatività in :

 



Proposizione 2.3

Esiste un vettore nullo tale che , segue che . Il vettore nullo ha tutte le componenti uguali a 0.

 



Teorema 2.1

l'elemento nullo è unico.

 


Dimostrazione 2.2

Sia un elemento con le stesse proprietà dell'elemento neutro, allora, per le proprietà di , , ma per le proprietà di , , quindi e l'elemento neutro è unico. cvd

 



Proposizione 2.4

, esiste un vettore tale che . In particolare, se , allora .

 



Teorema 2.2

l'opposto di un elemento è unico.

 



Dimostrazione 2.3

Sia un elemento che gode della stessa proprieta' di , cioè . Usando la proprieta' associativa si ha

e siccome anche soddisfa la proprietà il secondo membro è uguale a quindi eguagliando primo e ultimo membro si ha . cvd

 

prodotto scalare per vettore

Il prodotto scalare per vettore definito su ha come codominio . Prende una coppia dove e' uno scalare in , e' il prodotto di per ogni componente.



Esempio 2.2

 



Proposizione 2.5

Il prodotto scalare per vettore gode della proprieta' distributiva rispetto alla somma di vettori. Per ogni scelta di e di , allora

 


Dimostrazione 2.4

Se e , segue che

Uso la proprieta' distributiva di .
Per la definizione di somma di vettori,

cvd

 



Esercizio 2.1

Dimostrare la distributivita' rispetto alla somma di scalari, cioe'

Soluzione: Sia . Allora

 



Esercizio 2.2

dimostrare la forma di associativita' per ogni scelta di scalari e e per ogni scelta di in , allora

Soluzione:

applico la definizione di prodotto scalare.

 



Proposizione 2.6

Per ogni ,

 
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