L'insieme R2

Vettori linearmente dipendenti

Definizione 2.3

Siano , , elementi in , allora e sono linearmente indipendenti se nessuno dei due e' un multiplo scalare dell'altro. Non esiste un . In caso contrario diremo che e sono linearmente dipendenti.

 



Osservazione 2.1

Se e sono linearmente indipendenti, allora e .

 


Dimostrazione 2.5

Se fosse , avremmo , cioè .

 



Esercizio 2.3

Dimostrare che e sono linearmente indipendenti se e solo se e non e' multiplo scalare di , cioè dimostrare che non esiste numero reale tale che .


Soluzione: Se per assurdo , allora per , quindi i vettori sono linearmente dipendenti.


Se per assurdo e' multiplo scalare di , allora esisterebbe , quindi i vettori sarebbero linearmente dipendenti.

 



Esempio 2.3

e sono linearmente indipendenti. e sono linearmente dipendenti se e solo se , infatti quindi soddisfa la definizione di vettori linearmente dipendenti.

 

criterio numerico

Questo Criterio numerico permette di stabilire se due vettori in sono linearmente dipendenti



Lemma 2.1

Se ho due vettori e appartenenti a , essi sono linearmente dipendenti se e solo se

 


Dimostrazione 2.6

: Se i due vettori sono linearmente dipendenti, allora e' multiplo scalare di e quindi per qualche , e si ha

Allora


: Supponiamo viceversa che sia uguale a Se e' il vetore nullo, i vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo allora o .


Nel caso , allora

e posso dividere l'ultima uguaglianza per :
Allora , quindi il secondo vettore e' un multiplo scalare del primo con .


cvd

 



Esercizio 2.4

trovare un'equazione cartesiana per il luogo di tutti i vettori della forma al variare di in .


è il luogo di tutti i multipli scalari di . E' la retta che congiunge l'origine con . In altre parole è l'insieme di tutti i vettori in tali che e sono linearmente dipendenti. Allora deve valere

 

Retta e parametrizzazioni

Definizione 2.4

Siano un punto nel piano e sia un vettore con . Allora la retta con punto di passaggio e vettore direzione e' il luogo di definito al variare di numero reale.

Quindi una retta e' un sottoinsieme di .


L'applicazione definita da si dice una parametrizzazione della retta e ha come immagine .

 



Osservazione 2.2

La parametrizzazione determina ma non viceversa. Considero ad esempio le parametrizzazioni e con e (nella seconda parametrizzazione cambio punto di passaggio e sostituisco il vettore direzione con una lunghezza pari a un terzo del vettore di partenza). Considerata la parametrizzazione della seconda retta si ha

e sostituendo le espressioni di e di :
e i punti che ottengo con e , cioè la retta immagine , è la stessa, anche se le parametrizzazioni sono diverse.

 



In generale, se prendo un qualsiasi punto in e un vettore con la retta in passante per con vettore direzione e' sempre definita in modo analogo:

con parametrizzazione

In conclusione, una parametrizzazione definisce in modo univoco una retta, perche' la retta e' l'immagine di una funzione. La stessa retta però puo' essere definita con tante parametrizzazioni diverse.



Esercizio 2.5

Siano punti di e vettori in diversi da 0. Siano le funzioni da in date da e . Dimostrare che queste parametrizzazioni determinano la stessa retta in , ossia se e solo se valgono le seguenti condizioni:

  • e' un multiplo scalare di ;
  • e' un multiplo scalare di .

Se e' un multiplo scalare di , allora con e Se e' multiplo scalare di , allora per un certo . Sostituisco nella parametrizzazione le espressioni di e :

e la parametrizzazione definisce la stessa retta definita da , perché entrambe hanno lo stesso punto di passaggio e lo stesso vettore direzione.

 

equazioni cartesiane

Definizione 2.5

Dare equazioni cartesiane per una retta in significa esprimere come il luogo delle soluzioni di un sistema lineare in incognite . Nessuna equazione dev'essere combinazione lineare delle altre.


Per definire una retta in bastano equazioni.

 



Esempio 2.4

sia la retta con punto di passaggio e vettore direzione . La sua parametrizzazione e':

Un punto in appartiene a se e solo se esiste un numero reale tale che , cioè
cioè appartiene alla retta se i vettori e sono linearmente dipendenti. Quindi applico il criterio secondo cui due vettori colonna sono linearmente dipendenti se .
e tutti i punti che appartengono alla retta devono soddisfare quest'equazione.


Regola generale: a questo punto ho ottenuto un sistema non omogeneo (il termine noto e' diverso da 0). Il vettore direzione della retta di partenza deve soddisfare il corrispondente sistema lineare omogeneo , mentre il punto di passaggio deve soddisfare l'equazione lineare non omogenea.

 

Retta per due punti

Per due punti passa una e una sola retta, che ha come punto di passaggio e come vettore direzione ed è quindi univocamente determinata.



Esercizio 2.6

Trovare parametrizzazione e equazione cartesiana per la retta in congiungente i punti e .


Prendo uno qualsiasi dei due punti come punto di passaggio. il vettore direzione e' la differenza tra e .

Posso considerare perché moltiplicando un vettore per uno scalare la direzione rimane la stessa.


La retta si parametrizza come al variare di in .

Per trovare le equazioni cartesiane osservo che se e solo se il vettore direzione della retta e la differenza fra le coordinate e quelle del punto di passaggio sono linearmente dipendenti.


e sono linearmente dipendenti se e solo se:

Il punto di passaggio e il vettore soddisfano la condizione indicata prima.


Dati due vettori distinti e , la parametrizzazione , determina una retta. Inoltre per e per ottengo .


Viceversa, sia data un'equazione lineare in e , della forma , con numeri reali e e non entrambi nulli. Allora sia l'insieme dei punti che soddisfano l'equazione.


Sia per esempio . Allora se e solo se e se e solo se . Allora

Dato , e' univocamente determinato. Allora al variare di .
Il secondo vettore e' diverso da 0.


La retta ha punto di passaggio e vettore direzione .

 



Esempio 2.5

Sia il luogo dei punti

questa e' la retta parametrizzata con punto di passaggio e vettore direzione .

 

Coordinate

A livello notazionale, indico con la quantità , dove cono vettori colonna. Siano e vettori colonna in linearmente indipendenti, allora per il criterio numerico:

Prendo un qualsiasi vettore . Definiamo
Calcolo il quoziente
Semplificando numeratore e denominatore rimane

In conclusione, abbiamo dimostrato che se e in sono linearmente indipendenti, allora per ogni scelta di in esistono numeri reali e tali che , con:



Lemma 2.2

Se e in sono linearmente indipendenti, allora per ogni scelta di un vettore colonna in esistono e sono unici scalari in tali che .

 


Dimostrazione 2.7

Per dimostrare l'unicità, siano e in due coppie di vettori con la stessa proprieta'. Allora

allora eguagliando i coefficienti che moltiplicano e nelle due scritture di si ha necessariamente e .


cvd

 



Osservazione 2.3
se ho un qualsiasi vettore in e uno scalare diverso da 0, allora per associatività:

 

Basi di R2

Definizione 2.6

una base di e' una coppia ordinata di elementi di linearmente indipendenti (e' un elemento del prodotto cartesiano ).

 



In particolare, se e sono linearmente indipendenti, le coppie ordinate e sono basi distinte di . L'ordine e' cruciale.


Sia una base: allora per ogni esistono e sono unici in tali che .



Definizione 2.7

Diremo che il vettore colonna in e' il vettore delle coordinate di nella base e lo indicheremo con .

 



Esempio 2.6

e' la coppia ordinata dei due vettori colonna e linearmente indipendenti. E' definita base canonica o standard di . Allora preso un qualsiasi in , vale che , ma , e , quindi

allora le coordinate di coincidono con il vettore stesso .


Definita la base data dai stessi vettori di nell'ordine inverso, ottengo , e il vettore colonna delle coordinate nella base è .

 



Esempio 2.7

Preso , cerco e tali che . Sommando le componenti ottengo:

Ottengo quindi: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x=2r+s \\y=-s\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}s=-y \\2r=x+y\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}s=-y \\r=\frac{x+y}{2}\end{sistema}} Le coordinate del vettore colonna sono, per ogni scelta di , .


In generale, se e sono linearmente indipendenti: e considero la base , allora per ogni in il vettore delle coordinate di nella base è dato da:

 



Esempio 2.8

Stabilire se e' una base e in caso affermativo trovare per ogni in . Verifico che i vettori dati siano linearmente indipendenti:

Allora e' una base di .


Per ogni vettore allora determino tali che .


Applico la formula, tengo conto del fatto che come calcolato prima:

Risolvo quindi il sistema Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}r=-2x+y \\ s=3x-y \end{sistema}} Le coordinate del vettore delle coordinate sono .


Verifica conclusiva: Verifico se .

Ottengo proprio il vettore colonna .

 
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