Definizioni preliminari

Funzione multilineare

Definizione 13.1

Una funzione dallo spazio delle matrici a coefficienti in si dice multilineare se essa e' lineare, separatamente in ciascuna colonna dell'argomento . Questo significa che e' multilineare se per ogni e per ogni scelta di la funzione parziale che porta in e' una funzione lineare .

 



Nota: una funzione parziale e' una funzione in cui alcuni argomenti sono fissati e altri sono lasciati liberi


Esempio 13.1

Definisco tale che la matrice

viene mandata nel prodotto scalare standard delle due colonne .


La funzione e' bilineare nelle due colonne per la linearita' del prodotto scalare standard.

 



Esempio 13.2

Considero tale che se

allora . Anche è multilineare, infatti, fissata ad esempio la seconda colonna ottengo la funzione che e' un polinomio omogeneo di grado 1 in e .

 



Esempio 13.3

Considero l'applicazione tale che

(prodotto scalare delle righe)


Allora se faccio variare la prima colonna e fisso la seconda ottengo la funzione . Questa funzione non e' multilineare per colonne perche' ha un termine quadratico.

 



Esempio 13.4

Considero tale che

Se fisso la prima colonna ottengo la funzione , che è lineare.


Se invece fisso la prima e la terza colonna e lascio libera la seconda, ottengo la funzione che è lineare per la linearità del prodotto vettoriale.

 



Esempio 13.5

Se considero la traccia come una funzione , essa non e' lineare in ogni componente. Infatti, fissata la prima colonna, ottengo la funzione , che non è un polinomio omogeneo; tuttavia la traccia è lineare se considerata come funzione definita sullo spazio delle matrici.

 



Esempio 13.6

Se definisco (dove gli sono le entrate sulla diagonale della matrice), essa e' multilineare, perche' se fisso tutte le colonne tranne la j-esima, ottengo che e' lineare.

 

Funzione alternante

Definizione 13.2

Una funzione multilineare si dice alternante o antisimmetrica se cambia di segno quando vengono scambiate tra loro due colonne dell'argomento tutte le altre rimanendo invariate.

 



Esempio 13.7

Se considero tale che

essa è simmetrica per l'analoga proprietà del prodotto scalare.

 



Esempio 13.8

Invece considero tale che su una matrice

vale , questa e' antisimmetrica. Infatti se scambio le colonne ottengo e il segno dell'immagine cambia.

 

Multilinearita' e antisimmetricita'

Lemma 13.1

Sia multilineare. Allora e' alternante se e solo se per ogni matrice con due colonne uguali.

 


Dimostrazione 13.1

: Sia alternante. Sia una matrice con due colonne uguali. Supponiamo per esempio che per . Dimostriamo che . Sia . Allora

Se scambio tra loro la j-esima e la k-esima colonna ottengo

perche' la matrice e' antisimmetrica. Poiché il secondo membro delle ultime due relazioni coincide si ha ovvero .


: Viceversa, sia per ogni con due colonne uguali. Per ogni matrice con colonne e per , valuto sulla matrice con colonne . Poiché ha due colonne uguali, per ipotesi e ottengo

Prima spezzo la prima componente
Ora spezzo la seconda componente in entrambi gli addendi.
Stiamo supponendo che ogni volta che ho una matrice con due colonne uguali quindi il primo e l'ultimo addendo sono uguali a 0 e rimane

ovvero
Quindi e' antisimmetrica. cvd

 



Esempio 13.9

Sia tale che, data una matrice con colonne si abbia , e si verifica che se ha due colonne uguali, , di conseguenza, per il lemma precedente, è alternante oltre ad essere multilineare come mostrato nel lemma precedente.

 
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