Ripasso di insiemistica

Definizione di insieme

Sia un insieme. Per descrivere ci sono due alternative:

  1. descrivere tutti e soli gli elementi di
  2. scrivere una proprietà valida soltanto per gli elementi di .


Esempio 1.1

L'insieme delle vocali della parola "musica" si scrive come

oppure

 

Descrizione di alcuni insiemi numerici

  1. Insieme dei numeri naturali:
  2. insieme dei numeri interi:
  3. insieme dei numeri razionali

Altre notazioni

Sia un insieme, scriveremo per indicare che è un elemento di .


Diremo che e scriveremo se ogni elemento di è un elemento di .


Diremo che due insiemi e sono uguali () se e .


L'insieme vuoto si denota con ed è l'insieme che non contiene nessun elemento.


Osservazione 1.1

Sia un insieme. Allora . Non si può scrivere .

 


Definizione 1.1

Sia un insieme, l'insieme delle parti di è l'insieme dei sottoinsiemi di e si denota con . In simboli

allora .

 


Esempio 1.2

Se , allora

Se , è l'insieme che contiene l'insieme vuoto.

 

Unione e intersezione

Definizione 1.2

Sia un insieme e siano e sottoinsiemi di . L'unione è l'insieme degli elementi di per cui oppure , mentre

 


Esercizio 1.1

Sia , siano e interi e

Sia . Allora
Dimostrare che è l'insieme dei multipli di .


Prima inclusione: . Sia , allora , quindi per qualche e per qualche . Allora si ha l'equazione .


Ma se , allora , se , allora , allora anche e quindi , allora con quindi , e siccome questo vale per ogni , .


Inclusione 2: . Sia , allora per qualche . Per definizione e , quindi e , allora e , quindi .

 


Queste sono alcune proprietà di unione e intersezione:

  1. Proprietà commutative: , e analogamente .
  2. Proprietà associative: dati tre insiemi, , allora
    L'ordine in cui si intersecano gli insiemi è irrilevante.
  3. Proprietà distributive: Considero sottoinsiemi di , allora
    In questo caso non c'è analogia con le operazioni tra numeri interi, perché la distributività rispetto all'unione (somma) non vale, infatti

Differenza e differenza simmetrica e prodotto cartesiano

Definizione 1.3

Siano e sottoinsiemi di , allora la differenza è l'insieme degli elementi di che non stanno in .

 


L'insieme differenza simmetrica è .


Definizione 1.4

Siano e insiemi, il prodotto cartesiano è l'insieme costituito dalle coppie con e .

 


Esempio 1.3

Se e il prodotto cartesiano è costituito dalle coppie

 


Si osserva che .


Esercizio 1.2

Dimostrare che se e sono insiemi finiti. Soluzione: e hanno un numero finito di elementi, supponiamo che abbia elementi e abbia elementi. Allora per ogni il prodotto cartesiano contiene le coppie , , , . Siccome gli sono , il prodotto cartesiano ha elementi. cvd

 



Se è infinito, allora o è infinita. Il viceversa non è vero, infatti se e , allora .

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