criterio dei minori incapsulati

Prima di tutto enunciamo un criterio utile per determinare se un prodotto scalare è definito positivo oppure no.



Proposizione 16.1

Sia un prodotto scalare e considero la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base. Allora:


Caso 1. Valgono le seguenti affermazioni:

  1. se ma , è definito negativo;
  2. se e è definito positivo.



Caso 2. Valgono le seguenti affermazioni:

  1. se e , ma il determinante della sottomatrice in alto a sinistra è negativo, è definito negativo;
  2. se e e anche il determinante della sottomatrice in alto a sinistra è positivo, allora è definito positivo.
 


Esempio 16.4

Sia la matrice

e considero stabilire per quali si ha .

Questo è vero se e solo se .


Se , allora quindi basta imporre .

 


Esempio 16.5

Parte 1: Sia

Questa matrice è simmetrica e definisce un prodotto scalare .


Stabilire se è degenere e trovare lo spazio nullo.

Calcolo il rango della matrice facendo l'eliminazione gaussiana:

, è degenere e la dimensione dello spazio nullo è la dimensione del nucleo di e quindi è 1.
e quindi lo spazio nullo è lo span di .


Parte 2: Diciamo dove è un parametro.


Stabilire per quali la restrizione di a è non degenere.


Il prodotto globale è degenere, ma la sua restrizione a potrebbe essere non degenere. Scrivo le equazioni parametriche di :

Allora .

Una base di è .


Allora chiamo la restrizione di a .


Prendo la matrice rispetto alla base di .

Allora la matrice è
Segue che è non degenere se e solo se quindi se e solo se
Il prodotto è non degenere se e solo se


Parte 3: Se , trovare , al variare di .


Se , otteniamo la matrice

è la dimensione dello spazio nullo, quindi è la dimensione del nucleo della matrice (1).


Invece può essere 0 o 1. Se fosse 0, in una base diagonale dovrei avere un'entrata negativa e una nulla, ma in questo modo il prodotto scalare sarebbe semidefinito negativo ma questo non può accadere, perché .ì. Allora e è semidefinito positivo non degenere.


Se , allora il determinante di è ed è negativo e il criterio dei minori incapsulati non è soddisfatto, quindi il prodotto non è definito positivo.


Se avessi entrambe le entrate negative, il prodotto scalare sarebbe negativo definito e questo non può essere. Allora in questo caso e .

 
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