Teorema di Sylvester

Teorema 16.4

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia un prodotto scalare. Allora esistono interi con la seguente proprieta': per ogni scelta di una base di ortogonale per , si ha

(il simbolo significa "il numero di")

 


In forma sintetica: prese due basi ortogonali e , se calcolo le matrici rispetto alle basi, il numero di entrate positive e' lo stesso in entrambe le matrici.

Indici di nullita' positivita' e negativita'

e sono invarianti del prodotto scalare, non dipendono cioe' dalla particolare base ortogonale scelta.



Definizione 16.2

si definisce indice di nullita' di ed e' la dimensione dello spazio nullo (ed è quindi invariante per il prodotto scalare). si chiama indice di positivita di . La differenza e' il numero di per cui e si chiama indice di negativita di .

 



e' non degenere se e solo se e quindi se e solo se .



Teorema 16.5

e' definito positivo se e solo se .

 


Dimostrazione 16.2

Supponiamo vero il teorema di Sylvester.


: Sia definito positivo e sia una base ortogonale per . Allora e' una matrice con entrate diagonali , quindi il numero di entrate positive e' uguale a .


: Viceversa, sia e sia una base ortogonale per .


Allora ha entrate diagonali tutte positive.


Sia , allora possiamo scrivere

allora
La base e' ortogonale e sopravvivono solo i termini con , quindi rimane

Se , esso e' positivo perche' tutti i lo sono, quindi, se ,

quindi e' definito positivo.


cvd

 

Dimostrazione del teorema di Sylvester

Possiamo ora dimostrare il teorema di Sylvester enunciato precedentemente:



Dimostrazione 16.3

Siano e basi di ortogonali per .


Siano e .


Sappiamo che lo spazio nullo è lo span dei tali che ma è anche lo span dei tali che .


Presi in qualche ordine, gli insiemi di generatori sono basi del medesimo sottospazio vettoriale di e quindi ricaviamo che perché entrambi sono uguali alla dimensione dello spazio nullo.


Siano ora e . Dobbiamo dimostrare che .


Dopo aver eventualmente riordinato le basi e possiamo supporre senza perdita di generalità che , dove , dove i vettori del primo gruppo hanno prodotto scalare nullo con sé stessi, quelli del secondo gruppo hanno prodotto scalare positivo con sé stessi e quelli del terzo hanno prodotto scalare con sé stessi negativo.


Analogamente, supponiamo che .


Supponiamo per assurdo che . Allora concludo necessariamente che . Se considero la stringa di vettori il loro numero è .


Siccome abbiamo più di vettori in uno spazio di dimensione , allora tali vettori sono linearmente dipendenti ed esistono scalari non tutti nulli tali per cui

Quindi portando i si ricava
Chiamo il vettore che compare a primo e a secondo membro e si ha . Calcoliamo in due modi. Da un lato si ha
uso la linearità:

I termini del primo addendo scompaiono perché sto considerando vettori che hanno prodotto scalare nullo anche con sé stessi; i termini del secondo e terzo addendo scompaiono perché considero prodotti scalari di vettori appartenenti a gruppi diversi; nell'ultimo addendo sopravvive il termine con quindi si ha

allora ed e' uguale a 0 se e solo se , per ogni .


Usando invece l'espressione ricaviamo

uso la bilinearità e ottengo
La base di è ortogonale, quindi:
perché sto considerando vettori appartenenti al gruppo di quelli che hanno prodotto scalare negativo con se stessi. Si ha se e solo se per ogni .


Allora nel primo caso, nel secondo caso e si conclude che e quindi per ogni , allora stesso è uguale a 0 se considero la seconda espressione, quindi e' il vettore nullo. Allora, tornando alla relazione , ricaviamo che

ma siccome questi vettori sono linearmente indipendenti, essendo parte di una base, tutti gli scalari sono nulli. Questo è assurdo, perché avevamo supposto che qualche scalare fosse diverso da 0.


L'unico modo per evitare l'assurdo è supporre che non possa essere maggiore di , quindi e scambiando i ruoli delle basi, per un ragionamento analogo e quindi per ogni scelta di basi di ortogonali.


cvd

 


Esempio 16.2

Sia e definisco

Trovare e

e' la dimensione dello spazio nullo, e quindi del ker di che in questo caso è 0.


Se fosse 2, il prodotto scalare sarebbe definito positivo e questo non avviene, perché le entrate sulla diagonale sono uguali a 0. Se fosse 0, il prodotto sarebbe definito negativo, ma questo non avviene: infatti considero la base di ortogonale per data da : la matrice che rappresenta in questa base, ovvero la matrice con entrate , è

che ha un'entrata positiva sulla diagonale. Allora il prodotto scalare non è definito negativo e .

 



Esempio 16.3

Considero la matrice

perché la dimensione del nucleo della matrice è 1.


può essere 0 o 1. Se fosse 0, il prodotto sarebbe semidefinito negativo. Questo non può avvenire, perché ad esempio . Allora necessariamente .

 



Definizione 16.3

Un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale si dice positivo semidefinito se per ogni .

Analogamente, è negativo semidefinito se per ogni .

 
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