L'applicazione Lv

Definizione 16.5

Per ogni consideriamo la funzione parziale .


Per ogni e , si ha

.


Questo significa che è lineare, ossia è un elemento dello spazio duale, quindi esiste un'applicazione che manda in .

 



Lemma 16.3

è lineare, pertanto appartiene allo spazio degli omomorfismi da in .

 


Dimostrazione 16.4

Per ogni e per ogni si ha

quindi .


cvd

 

Matrice di L

Fissiamo una base di e sia la matrice di rispetto a questa base, tale che con . Considero poi la base duale che è la base di duale a , cioè tale che .


Ci si chiede che forma ha la matrice da a dell'applicazione .


La matrice è una matrice ed è tale che è la colonna delle coordinate di nella base .


Ma per ogni in la colonna delle coordinate di nella base è data da , allora

Ma , allora è uguale alla j-esima colonna di e le due matrici coincidono.


Concludiamo che la matrice che rappresenta rispetto alle basi e coincide con la matrice del prodotto scalare nella base .


In particolare è non degenere se e solo se è invertibile, e quindi se e solo se è un isomorfismo di spazi vettoriali, pertanto un prodotto scalare non degenere definisce un isomorfismo tra e .

Dimostrazione del teorema sul complemento ortogonale

Osservazione 16.4

Sia un sottospazio vettoriale di . Se , allora se e solo se . Allora . Quindi se e solo se appartiene all'annullatore di , che è un sottospazio vettoriale del duale. Allora il complemento ortogonale di mediante è la controimmagine di (che dipende da ) del sottospazio annullatore di . (questo è sempre vero, anche se è degenere).


Se ora suppongo che sia non degenere, è un isomorfismo e quindi per ogni sottospazio vettoriale la dimensione del complemento ortogonale è uguale alla dimensione della controimmagine di e quindi alla differenza .

 



Corollario 16.4

Sia e sia uno spazio vettoriale euclideo finitodimensionale, cioè è un prodotto scalare definito positivo. Allora per ogni in sottospazio vettoriale si ha che è la somma diretta di e del complemento ortogonale mediante (somma diretta ortogonale).

 


Dimostrazione 16.5

Se si ha , perché e per le proprietà di e perché . è definito positivo, quindi ed è uguale a 0 solo se è il vettore nullo.


Quindi l'intersezione tra i due spazi è il vettore nullo.


cvd

 
 PrecedenteSuccessivo