Esistenza della base ortogonale

Enunciato

Un prodotto scalare e' piu' facile da studiare quando si puo' rappresentare su una matrice diagonale.


Problema: Dato un prodotto scalare qualsiasi, , ci si chiede se esiste sempre una base di ortogonale per . La risposta e' affermativa.



Teorema 16.1

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale su e sia . Allora esiste una base di ortogonale per , cioe' tale che se e solo se , e quindi tale che la matrice di nella base sia una matrice diagonale con entrate .

 


Corollario 16.1

Sia una qualsiasi matrice simmetrica sul campo . Allora definisce un prodotto scalare dato da , dove e' la matrice nella base canonica di . Allora per il teorema precedente esiste una base di tale che la matrice del medesimo prodotto scalare e' diagonale.

 


Corollario 16.2

Sia una matrice simmetrica a coefficienti in . Allora esiste una matrice invertibile tale che e' diagonale.

 



Per poter dimostrare il teorema sull'esistenza di una base ortogonale enunciato all'inizio di questo paragrafo sono necessarie alcune osservazioni preliminari.

Osservazione sul complemento ortogonale

Osservazione 16.1

Nelle ipotesi precedenti, sia un qualsiasi elemento tale che . Allora per ogni possiamo scrivere:

Preso il primo termine, se ne faccio il prodotto scalare con ottengo

Concludo che appartiene al complemento ortogonale dello span di , perche' il suo prodotto scalare con e' 0.


Inoltre il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale di e' un sottospazio vettoriale di .


Ricaviamo che ogni elemento di e' la somma di un vettore in e di un vettore in .


Quindi se , allora sicuramente e' la somma dello span di e del suo complemento ortogonale.

 



Supponiamo di avere un vettore . Siccome esiste in tale che . Ma appartiene anche a quindi . Ma questo implica che : poiché per ipotesi , segue che e l'intersezione si riduce al vettore nullo.


Riassumendo: se , allora e i due spazi sono in somma diretta, perche' la loro intersezione e' vuota.


Abbiamo dimostrato pertanto il seguente lemma:


Lemma 16.1

Se e' un prodotto scalare e soddisfa , allora e' la somma diretta del complemento ortogonale dello span di e dello span di stesso.

 



In particolare, se ha dimensione allora nelle stesse ipotesi la dimensione del complemento ortogonale dello span e' la differenza della dimensione di e di quella dello span di , quindi e' .

Funzione quadratica

Osservazione 16.2

Sia un prodotto scalare e definiamo la funzione quadratica associata a , tale che .

 



Ad esempio, presa la matrice

e il prodotto scalare ad essa associato , accade che , mentre e .


e' un polinomio quadratico omogeneo su .


In generale, se e' una qualsiasi matrice simmetrica su e considero , allora

quindi
ed è un polinomio quadratico.


In generale quindi si dice forma quadratica associata al prodotto scalare.

Identita' di polarizzazione

Se , cioe' per ogni scelta di , allora per ogni scelta di e quindi .


Ci si chiede se vale anche viceversa e quindi se implica .


Consideriamo la seguente quantità:

per la linearita' sulla prima componente:
e per la linearita' sulla seconda componente:


Abbiamo dimostrato il seguente lemma:


Lemma 16.2

Se e' un prodotto scalare, allora per ogni si ha

 



Corollario 16.3

se e solo se .

 


Se e' un prodotto scalare diverso da 0, cioe' se esistono tali che , allora esiste un tale che . In particolare, Per tale si ha allora

(vale anche per spazi non finitodimensionali).

Dimostrazione del teorema enunciato

Ora possiamo dimostrare il teorema enunciato precedentemente sull'esistenza della base ortogonale:



Dimostrazione 16.1

Procediamo per induzione sulla dimensione di , che chiamiamo .


Se , ogni base di e' ortogonale per (ogni matrice unita' e' una matrice diagonale).


Sia allora e supponiamo vero l'asserto su tutti gli spazi vettoriali su di dimensione minore di . Allora se e' il prodotto scalare identicamente nullo, ogni base e' ancora ortogonale (ovviamente per ogni base di la matrice di nella base e' la matrice nulla ed e' diagonale).


Possiamo quindi supporre che , allora per l'osservazione 2 esiste tale che , pertanto e ha dimensione .


Sia la restrizione di al complemento ortogonale dello span di .


Anche la restrizione e' bilineare e simmetrica, quindi e' un prodotto scalare, ma su uno spazio di dimensione inferiore. Per l'ipotesi induttiva esiste una base per che e' ortogonale per , quindi per e .


Definiamo una nuova base , data dalla sequenza ordinata dove poniamo ( e' il vettore di partenza scelto con la proprieta' che ).


I vettori sono linearmente indipendenti, perche' non e' combinazione lineare dei precedenti e sono una base quindi e' una base di .


Per , per e si ha anche perche' appartiene a e per costruzione.


Concludo che questa e' una base ortogonale, e quindi l'asserto vale.


cvd

 
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