Relazione tra matrici e applicazioni diagonalizzabili

Tra le due definizioni di diagonalizzabilità valgono le seguenti relazioni:


Dimostrazione 17.2
  1. sia diagonalizzabile e sia una base qualsiasi di . Allora la matrice rispetto a questa base non è necessariamente diagonale.Per ipotesi esiste base di composta da autovettori di , ossia tale che la matrice di rispetto a questa base è una matrice diagonale.Sappiamo che allora è simile a una matrice diagonale. Pertanto diagonalizzabile implica che è diagonalizzabile nel senso delle matrici, per qualsiasi base .
  2. Supponiamo viceversa che sia diagonalizzabile, cioè sia simile a una matrice diagonale. Allora esiste invertibile tale che con matrice diagonale con entrate .Diciamo la j-esima colonna di e diciamo , allora . coincide con la matrice del cambiamento di base dove .Allora la matrice che rappresenta rispetto a è data da
    Quindi nella base è rappresentata da una matrice diagonale, allora è una base di costituita da autovettori di , cioè e è diagonalizzabile.cvd
 



Riassumendo: abbiamo dimostrato


Teorema 17.1

Sia la dimensione di e sia lineare allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. è diagonalizzabile nel senso delle applicazioni lineari;
  2. per ogni base di , la matrice di è diagonalizzabile nel senso delle matrici
  3. esiste base di tale che la matrice sia diagonale.
 
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