Osservazioni generali

Osservazione 17.4

Sia e supponiamo di avere lineare e diagonalizzabile. Per definizione esiste una base composta da autovettori di .


Allora se sono gli autovalori distinti di , possiamo supporre eventualmente dopo aver riordinato i che (relativi all'autovalore ), (relativi a ), , (relativi a ) nell'insieme siano una base di .


La matrice di in questa nuova base è una matrice diagonale con entrate uguali a , , entrate uguali a .


Il polinomio caratteristico è

Siccome gli sono tutti distinti, allora è la molteplicità algebrica dell'autovalore . Inoltre, siccome il grado del polinomio caratteristico è , allora la produttoria ha grado ovvero .


Sia , sia la sua colonna delle coordinate nella base , allora appartiene all'autospazio relativo all'autovalore , cioè al nucleo di se e solo se , dove è la matrice di nella base . è la matrice che sulla diagonale ha 0 per volte, per volte , e per volte. Queste entrate sono tutte diverse da 0, poiché se per ipotesi.


sta nel ker di se e solo se il prodotto tra quest'ultima matrice e dev'essere il vettore nullo di , ma siccome i coefficienti della matrice sono diversi da 0, questo avviene se e solo se . Quindi nella combinazione lineare che esprime in funzione dei vettori della base compaiono solo i primi vettori e quindi.


Concludo che l'autospazio relativo a coincide con e pertanto è anche la molteplicità geometrica di .


Lo stesso vale per ogni con , quindi se è diagonalizzabile si ha che quindi è la molteplicità geometrica di .

 

condizioni necessarie per la diagonalizzabilità

Riassumendo: Se è diagonalizzabile e sono gli autovalori distinti di con molteplicità algebriche e geometriche allora

  1. con ; (condizione 1)
  2. la molteplicità geometrica e quella algebrica di ogni autovalore sono uguali, per ogni (condizione 2).


Queste condizioni sono necessarie per la diagonalizzabilità, come mostra questi esempi.


Esempio 17.5

Sia data la matrice

il cui polinomio caratteristico è . Non ci sono radici reali, quindi non è diagonalizzabile.

 


Esempio 17.6

Data con

cerco il polinomio caratteristico.
Calcolo il determinante di questa matrice usando lo sviluppo secondo Laplace per la terza riga
è l'unico autovalore ma quindi la molteplicità algebrica è minore della dimensione di e la matrice non è diagonalizzabile sui reali. Sul campo , il polinomio caratteristico si scompone come e ho tre autovalori con molteplicità algebrica 1. Anche la molteplicità geometrica è uguale a 1 quindi è diagonalizzabile su .


La condizione 1 per la diagonalizzabilità non è sempre soddisfatta su , ma è sempre soddisfatta su perché il campo complesso è algebricamente chiuso e qualsiasi polinomio si può fattorizzare in polinomi di grado 1.

 



Esempio 17.7

Questo esempio mostra che la condizione 1 non è sufficiente per la diagonalizzabilità. Sia infatti

Il polinomio caratteristico di questa matrice è . L'unico autovalore è 0 con molteplicità algebrica 2, la molteplicità geometrica è la dimensione del nucleo di che coincide con e quindi ha dimensione 1; allora la condizione 2 non è soddisfatta poiché . La matrice non è diagonalizzabile perché, se lo fosse, sarebbe simile a una matrice diagonale, ma questo non può avvenire perché ha entrate nulle sulla diagonale, e l'unica matrice diagonale che soddisfa questa condizione è la matrice nulla che è simile solo a se stessa.

 



Ci si chiede se vale viceversa, e se le condizioni 1 e 2 sono anche sufficienti per la diagonalizzabilità.

Lineare indipendenza di autovalori distinti

Teorema 17.4

Sia lineare e siano autovalori distinti di . Siano autovettori relativi a rispettivamente, cioè tali che , . Allora sono linearmente indipendenti.

 



Dimostrazione 17.3
  • Se un autovettore diverso da 0 è linearmente indipendente.
  • Se siano non entrambi nulli tali che , quindi se si può scrivere pertanto

allora e usando la distributività si ha che ma quindi e questo è assurdo.

  • Sia vero l'asserto per e se (ipotesi induttiva).

Supponiamo per assurdo che esistano tali che . Voglio dimostrare che gli scalari sono tutti uguali a 0.


Moltiplicando per ottengo

D'altra parte anche quindi per linearità è

ma quindi ottengo
abbiamo ricavato le due relazioni seguenti
Sottraendo 1 a 2 ottengo
Il primo termine si annulla e rimane
ho una combinazione lineare di autovettori relativi ad autovalori distinti. Per l'ipotesi induttiva sono linearmente indipendenti; siccome la combinazione lineare è nulla tutti i coefficienti devono essere uguali a 0, quindi , ma gli autovalori sonodistinti, quindi questo è assurdo e segue che . Allora nella combinazione lineare di partenza rimane solo e siccome per ipotesi allora . Questo completa il passo induttivo. cvd

 

Condizioni sufficienti per la diagonalizzabilità

Dimostriamo che le condizioni 1 e 2 sono sufficienti per la diagonalizzabilità.


Supponiamo che valgano le condizioni 1 e 2. Sia d-dimensionale con . Sia lineare e siano gli autovalori distinti di .


Supponiamo che la somma delle molteplicità algebriche degli per sia uguale a e che la molteplicità algebrica e quella geometrica di ogni siano uguali.


Per , sia una base dell'autospazio . Affermo che sono linearmente indipendenti (da dimostrare), e, se questo avviene, dato che per ipotesi, essi formano nell'ordine una base di composta da autovettori di per costruzione, ovvero è diagonalizzabile.


Mostriamo allora l'indipendenza degli autovettori: supponiamo per assurdo che esistano scalari non tutti nulli tali che

Per ogni chiamo quindi solo se . Osservo inoltre che i soddisfano la condizione e quindi sono autovettori per gli autovalori .


Possiamo supporre senza perdita di generalità che siano per qualche e se . Ricavo che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle v_1\+v_s=0} ma per costruzione perché sono autovettori di relativi a . Inoltre per il teorema del paragrafo precedente, i sono indipendenti essendo relativi ad autovalori distinti, e quindi gli scalari che compaiono nelle combinazioni lineari sono tutti nulli, contro l'ipotesi assurda.

Riassumendo, abbiamo dimostrato il seguente teorema:


Teorema 17.5

Sia uno spazio vettoriale su , di dimensione con . Sia lineare e siano gli autovalori distinti di con molteplicità algebriche e geometriche e . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. è diagonalizzabile;
  2. e per
 


Dimostrazione 17.4

Rimane da mostrare che . Supponiamo per assurdo che per un certo , , allora la somma delle molteplicità algebriche è maggiore di che è il grado del polinomio caratteristico, e questo non può avvenire. cvd

 

Valori di molteplicità algebrica e geometrica

Osservazione 17.5

Se è un autovalore di con molteplicità algebrica , sappiamo che soddisfa , e si possono facilmente costruire gli esempi in cui assume i valori intermedi.

 



Esempio 17.8

Sia e suppongo che bbiaa polinomio caratteristico , allora .

  • se con uguale alla matrice nulla, allora .
  • Se ha invece una riga diversa da 0, e , perché il rango dell'autospazio diminuisce.
  • data la matrice

allora e

 


Corollario 17.1

Sia uno spazio vettoriale su d-dimensionale. Sia lineare e supponiamo che abbia autovalori distinti, ovvero se . Allora è diagonalizzabile.

 


Dimostrazione 17.5

Tutte le molteplicità sono uguali a 1, quindi e vale la condizione 1.


Per ogni , è almeno 1, ma siccome è sempre minore o uguale della molteplicità algebrica e ogni , segue che , ovvero vale la condizione 2, ed entrambe le condizioni sufficienti per la diagonalizzabilità sono soddisfatte. cvd

 


Esempio 17.9

Considero una matrice triangolare superiore con entrate diagonali . Allora essa ha tre autovalori distinti quindi la matrice è diagonalizzabile per il corollario precedente.

 
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