Molteplicità algebrica e geometrica

Definizione 17.7

Sia lineare con . Sia il polinomio caratteristico di . Sia un autovalore di così che e quindi divide il polinomio caratteristico di per il teorema di Ruffini.


Allora la molteplicità algebrica di come autovalore di è il massimo intero tale per cui divide . La denoteremo con .


Allora dove è un polinomio tale che .

 



Definizione 17.8

Nelle stesse ipotesi, la molteplicità geometrica di inquanto autovalore di è la dimensione dell'autospazio corrispondente a , quindi la dimensione del nucleo di . Anche , perché siccome è autovalore, esiste almeno un autovettore corrispondente.

 



Teorema 17.2

Sia lineare e sia finitodimensionale. Sia autovalore di , allora la molteplicità geometrica di è sempre minore o uguale della molteplicità algebrica (lo si verifica anche negli esempi precedenti).

 



Teorema 17.3

Sia una base dell'autospazio di . Estendo questa base con il teorema della base estesa: esistono tali che sia una base di .


Per , si ha , quindi la matrice di nella base dell'autospazio ha tutte le entrate uguali a 0 tranne per .


Allora la matrice con in partenza e in arrivo ha intorno alla diagonale due blocchi: un blocco di dimensioni che è una matrice diagonale, e un blocco di dimensioni .


Il polinomio caratteristico di è il determinante di , e siccome ho una matrice a blocchi quadrati, il suo determinante è il prodotto dei determinanti dei due blocchi quadrati attorno alla diagonale. Allora ho polinomio caratteristico della matrice x.


Allora divide il polinomio caratteristico della matrice di partenza, quindi è sicuramente minore di e vale l'uguale se e solo se non divide anche .


cvd

 


Esempio 17.4

Considero la matrice

Il polinomio caratteristico di è il polinomio della matrice

Nel caso non ho autovalori, perché il polinomio è maggiore o uguale di 1 per ogni in . e non ha radici.


Quindi non posso trovare nemmeno un autovettore.


Se invece ,

Ho due autovalori ,

I corrispondenti autospazi sono

Moltiplico per la prima riga.
Ho lo span di

Nel caso in cui

Allora è lo span di . Moltiplicando per ottengo che è una base di composta da autovettori di . la matrice da in di in questa base ha entrate , .

 
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