Introduzione

Applicazioni lineari

Sia uno spazio vettoriale sul campo . Sia un'applicazione lineare e supponiamo di avere una base di con la proprietà che la matrice che rappresenta rispetto a questa base è una matrice diagonale.


Siano , per le entrate diagonali di .


Quindi

Se allora

Allora se e solo se e quindi se e solo se , quindi se e solo se appartiene allo span dei tali per cui (e quindi gli unici che contribuiscono alla combinazione lineare sono quelli con perché per gli altri ).


Il nucleo di è lo span dei vettori con


Invece , è lo span di e quindi lo span di .


Quindi è lo span dei tali che .


Esercizio 17.1

Se considero la matrice in tale che , allora . Invece .

 



Sotto le ipotesi diagonale si ricava che è la somma diretta di nucleo e immagine.


Questo non vale in generale.

Il fatto che i due spazi sono in somma diretta non vale per ogni applicazione lineare, ma solo nelle ipotesi precedenti. Se infatti considero con

allora l'immagine di e' lo span dei vettori corrispondenti ai gradini, e quindi è . Anche il ker è lo span di , quindi non può essere somma diretta di questi due sottospazi.


Non esiste invertibile tale che è diagonale.


Le applicazioni lineari rappresentabili in qualche base da matrici diagonali sono particolarmente semplici da esaminare.

Prodotti scalari

Un discorso analogo vale per i prodotti scalari. Sia un prodotto scalare e sia una base ortogonale per allora la matrice del prodotto scalare nella base ha entrate e lo spazio nullo è lo span dei tali che .


C'è una differenza tra prodotti scalari e applicazioni lineari. Qualsiasi prodotto scalare ammette una base ortogonale e quindi si può sempre trovare una base ortogonale per cui il prodotto può essere rappresentato da una matrice diagonale. Questo non vale sempre per le applicazioni.

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