Rango di un'applicazione

Definizione e osservazioni sul rango

Definizione 9.4

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Sia un'applicazione lineare, allora il rango di () e' la dimensione dello spazio immagine di .


Lo spazio immagine e' un sottospazio di , quindi la dimensione dello spazio immagine e' sicuramente minore o uguale di quella di e vale l'uguale se e solo se e' suriettiva.


Se inoltre e' la dimensione di , si può considerare la base di .


Lo spazio immagine di e' l'insieme di tutti i trasformati . D'altra parte e' combinazione lineare dei vettori della base quindi posso scrivere:

al variare degli in .


Siccome e' lineare:

Quindi lo spazio immagine di e' .


Concludo che la dimensione dello spazio immagine di e' minore o uguale della dimensione di , in ogni caso il rango di e' sempre minore o uguale del minimo tra la dimensione del dominio e la dimensione del codominio.

 



Osservazione 9.3

Il rango di e' uguale alla dimensione di quando l'applicazione e' iniettiva.

 


Dimostrazione 9.4

se e solo se sono linearmente indipendenti, quindi se e solo se vale l'implicazione seguente: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x_1*f(v_1)\+x_d*f(fv_d)=0_W} se e solo se gli sono tutti nulli.


Siccome Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x_1*f(v_1)\+x_d*f(v_d)=f(x_1*v_1\+x_d*v_d)=f(v)} , segue che solo se gli scalari sono tutti nulli, quindi solo se , e quindi solo se il nucleo è ridotto al vettore nullo e è iniettiva.


cvd

 

Teorema del rango

Teorema 9.1

In generale, siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Sia un'applicazione lineare. Allora la somma della dimensione dello spazio immagine di e della dimensione del ker di e' uguale alla dimensione dello spazio di partenza.

 



Osservazione 9.4

Verifichiamo il teorema in due casi particolari.

  1. se in effetti la dimensione di e' uguale alla dimensione di .
  2. Se si ha , quindi e' l'applicazione identicamente nulla. . Quindi lo spazio immagine di e' uguale al vettore nullo. La dimensione dello spazio immagine di e' uguale a 0.
 



Dimostrazione 9.5

Verifichiamo il teorema nei casi intermedi, cioè con .


Sia la dimensione del ker e sia una base di .


Per il teorema della base incompleta esistono tali che e' una base di . Allora lo spazio immagine di e' generato dai trasformati (questo vale per qualsiasi base).

Allora sono uguali a perche' sono una base del ker. Concludo che l'immagine di e' uguale a (i vettori nulli non contano).


La dimensione dell'immagine di e' minore o uguale di , quindi minore o uguale di e vale l'uguale se i vettori sono linearmente indipendenti (si potrebbe pensare che applicando a vettori linearmente indipendenti la lineare indipendenza venga persa).


Siano quindi scalari tali che . Siccome e' lineare,

Questi implica che appartengono al ker di .


Esistono tali che

Quindi ma questi vettori presi insieme formano una base di , quindi se una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti è uguale il vettore nullo, significa che tutti gli scalari sono nulli.


Quindi la stringa ordinata e' una base di e la dimensione dell'immagine di e' .


cvd

 

Applicazioni del teorema del rango

Esempio 9.7

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale e sia un sottospazio vettoriale di . Consideriamo la proiezione da al quoziente . Questa e' un'applicazione lineare, suriettiva, e il suo nucleo e' tutto .


Applicando il teorema la dimensione dello spazio immagine e' data da . Ma il ker e' , quindi otteniamo , cioè il teorema del rango conferma quanto già dimostrato in precedenza relativamente alla dimensione dello spazio quoziente.

 



Esempio 9.8

Siano in non tutti nulli. Consideriamo l'applicazione tale che Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(X) = f((x_1,\dots,x_d))=a_1*x_1\+a_d*x_d = (a_1,\dots,a_d) \cdot X.}

Questa applicazione è lineare infatti

Raccolgo e Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \lambda *(x_1*\alpha_1\+x_d*\alpha_d)+\eta*(y_1*\alpha_1\+y_d*\alpha_d)=} e applicando a ritroso la definizione di ottengo:

è suriettiva, infatti sia per esempio . Allora applicando al vettore con tutte le coordinate nulle tranne la j-esima che e' , si ha

Qualsiasi numero reale appartiene all'immagine, quindi e' tutto .


Allora

(iperpiano o complemento ortogonale del vettore ).


In base al teorema del rango

come gia' calcolato.

 



Esempio 9.9

Sia tale che per fissato. Il polinomio Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p(x)=p_0+p_1*x\+p_d*_x^d} viene mappato da in Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p_0+p_1(\lambda )\+p_d*\lambda^d} .


e' lineare infatti Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle f(p(x)+q(x))=f(p_0+p_1*x\+p_d*x^d+q_0+q_1*x\+q_d*x^d)=}

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mu*f(p(x))=\mu*f(p_0+p_1*x\+p_d*x^d)} Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mu*f(p(x))=\mu*(p_0+p_1*\lambda\+p_d*\lambda^d)}

Il nucleo è dato da

cioe' è l'insieme dei polinomi di cui e' una radice.


Prendo e considerato come un polinomio di grado 0: se applico a ottengo stesso, quindi l'applicazione è suriettiva, perché ogni numero reale può essere considerato come un polinomio di grado 0 e rientra quindi nell'immagine.


Applicando il teorema del rango, per l'insieme dei polinomi che hanno come radice , che coincide con il nucleo, si ha

Questo era gia' stato dimostrato precedentemente, quando era stato stabilito che una base di e' data dai vettori .

 
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