Nucleo e spazio immagine

Definizione di nucleo ed esempi

Definizione 9.2

Siano , spazi vettoriali su . Sia un'applicazione lineare. Allora il nucleo di (indicato con ) e' il sottoinsieme di cosi' definito: e' l'insieme di tutti i vettori nel dominio che hanno come immagine il vettore nullo dello spazio di arrivo. E' la controimmagine del vettore nullo in .

 



Esempio 9.1

Se considero l'applicazione tale che per un certo fissato, il nucleo di e' l'insieme dei tali per cui . In questo caso il nucleo e' se , e' tutto se .

 



Esempio 9.2

Prendo data da .


Se sono linearmente indipendenti, il nucleo e' il vettore nullo di .


Se il nucleo e' .


Supponiamo che non siano entrmabi uguali a 0. Sia . Allora

Allora

 



Esempio 9.3

Nel caso della mappa quoziente il nucleo di e' l'insieme dei tali che .'E' l'insieme dei vettori , e quindi coincide con .

 

Nucleo come sottospazio vettoriale

Proposizione 9.1

Sia un'applicazione lineare fra spazi vettoriali. Allora e' un sottospazio vettoriale di .

 


Dimostrazione 9.1

, quindi certamente appartiene al nucleo di che e' non vuoto.


Inoltre per ogni e per ogni segue che

per definizione di applicazione lineare, ma se e' nel nucleo e' 0, e lo stesso vale per , quindi
e e' anch'esso un elemento del nucleo.


cvd

 

Definizione di spazio immagine ed esempi

L'altro spazio associato a un'applicazione lineare e' lo spazio immagine, ovvero l'insieme dei trasformati dei vettori di .



Definizione 9.3

Se e' un'applicazione lineare, lo spazio immagine e' l'insieme di al variare di .

 



Esempio 9.4

Se e' data da e fissato, allora lo spazio immagine e' l'insieme dei vettori al variare di , cioe' l'immagine e' lo span di . E' il sottospazio nullo se e un sottospazio di dimensione 1 se .

 



Esempio 9.5

Se sono in fissati e e' un'applicazione tale che , lo spazio immagine e' la collezione delle combinazioni lineari di e , quindi e' .


Se e sono linearmente indipendenti, , l'immagine e' tutto .


se allora il nucleo e' tutto , lo spazio immagine e' il vettore nullo.


Se e , il nucleo e' e lo spazio immagine e' . E' l'insieme dei multipli scalari di , quindi e' .

 



Osservazione 9.2

Gli esempi mostrano che la dimensione di uno spazio vettoriale e' pari alla somma della dimensione del nucleo e di quella dello spazio immagine. All'aumentare della dimensione del nucleo diminuisce quella dello spazio immagine e viceversa.

 



Esempio 9.6

Se prendiamo , porta ogni elemento nella sua classe di equivalenza, quindi lo spazio immagine e' l'insieme delle classi di equivalenza ed e' tutto .

 

Immagine come sottospazio vettoriale

Proposizione 9.2

Sia un'applicazione lineare di spazi vettoriali, allora lo spazio immagine di e' in realta' un sottospazio vettoriale.

 


Dimostrazione 9.2

, quindi appartiene allo spazio immagine che e' non vuoto.


Se appartengono allo spazio immagine e sono numeri reali, allora per definizione di spazio immagine esistono tali che .


Allora la combinazione lineare

perché e' un'applicazione lineare quindi appartiene allo spazio immagine perche' e' il trasformato di qualche vettore di .


cvd

 

applicazione iniettiva

Lemma 9.1

Sia lineare. Allora e' iniettiva se e solo se il nucleo di consiste del solo vettore nullo di .

 


Dimostrazione 9.3

: Se e' iniettiva, dato che , il nucleo di essendo la controimmagine di non puo' contenere altri vettori a parte , quindi .


: Viceversa supponiamo che consista del solo vettore nullo. Siano tali che . Allora Questo si puo' scrivere

quindi appartiene al nucleo di , che per ipotesi consiste del solo vettore nullo, allora quindi .


cvd

 
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