Controimmagine di un vettore

Struttura della controimmagine

Supponiamo di avere un'applicazione lineare . Vogliamo indagare la struttura delle controimmagini dell'insieme costituito da solo , scritta come al variare di .


NotaIl simbolo rappresenta la controimmagine, non sto supponendo che la mappa sia invertibile.



Osservazione 9.5

Se e' il vettore nullo, la controimmagine di e' precisamente il nucleo di per definizione.

 



Osservazione 9.6

Se non appartiene allo spazio immagine, la sua controimmagine e' l'insieme vuoto.

 



Bisogna capire com'e' fatta la controimmagine di se appartiene allo spazio immagine ed e' diverso dal vettore nullo.



Teorema 9.2

Se la controimmagine di e' non vuota, allora per qualsiasi fissato si ha che la controimmagine di e' il traslato del ker per , cioè

 


Dimostrazione 9.6

Inclusione 1: Sia un elemento dello spazio immagine, quindi la controimmagine di e' non vuota, ossia esiste . Allora se e' un generico elemento del nucleo di , si ha , ma , quindi rimane .


In altre parole, se appartiene alla controimmagine di , allora anche appartiene alla controimmagine di per ogni nel nucleo di , cioe' il traslato del nucleo di mediante e' contenuto nella controimmagine di .


Inclusione 2: Viceversa, per ogni nella controimmagine di , si ha . Quindi .

Pertanto appartiene al nucleo di .


e' un elemento del ker quindi appartiene al traslato , quindi .


Avendo dimostrato le due inclusioni segue che la controimmagine di e' proprio uguale a , cioe' al traslato del nucleo mediante .


cvd

 

Definizioni ed esempi sulla controimmagine

Definizione 9.5

Data lineare, la controimmagine di e' il sottospazio affine con giacitura con punto di passaggio tale che .

 



La controimmagine di e' l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare .


e' una soluzione particolare di quest'equazione mentre e' l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea .


In altre parole, la soluzione generale dell'equazione lineare supposta compatibile (la controimmagine di e' non vuota per ipotesi) e' data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione datapiu' la soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea.


Esercizio 9.1

Consideriamo e poniamo Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle f(x,y)=\begin{sistema} x+2y \\ -2x-4y \end{sistema}.} determinare la controimmagine al variare di .

Struttura dell'immagine: si può riscrivere come

se pongo e si ha:
Lo spazio immagine e' lo span dei due vettori, ma siccome sono linearmente dipendenti e' lo span di . Il rango di e' .


Caso 1: Se poniamo non appartenente allo span di , la controimmagine di mediante e' l'insieme vuoto. La dimensione del ker e' per il teorema. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \ker (f)=\{(x,y) t.c. \begin{sistema} x+2y=0 \\ -2x-4y=0 \end{sistema} \}} Conta solo la prima equazione, perche' hanno le stesse soluzioni.

Il nucleo e' .


Caso 2: Supponiamo appartenente all'immagine di . Allora , quindi per qualche .


La controimmagine di e' non vuota e dev'essere un traslato del ker, è data dalle soluzioni del sistema Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} x+2y=\lambda \\ -2x-4y=-2\lambda \end{sistema}} La seconda equazione e' la prima moltiplicata per , quindi hanno le stesse soluzioni.

La controimmagine e' , al variare di .
E' la retta con punto di passaggio e vettore direzione . Quindi è il traslato di mediante il vettore .
e' una soluzione particolare di .

 


Esercizio 9.2

Prendo , e definisco Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle f(x,y,z)=\begin{sistema} x-y+z=0 \\ x+y+2z=0 \end{sistema}} Determinare le controimmagini di al variare di .

Immagine di :

L'immagine di e' tutto , perche' ho tre vettori linearmente indipendenti in uno spazio bidimensionale. La dimensione dell'immagine e' 2, quella del ker e' 1.


Determinazione delle controimmagini: La controimmagine di un generico in e' l'insieme: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \{(x,y,z) \, t.c. \begin{sistema} x-y+z=a \\ x+y+2z=b \end{sistema}\}} Risolvo il sistema lineare utilizzando la matrice corrispondente e il metodo dell'eliminazione di Gauss.

e' una variabile indipendente. Pongo

I vettori della controimmagine sono quelli della forma:

Per trovare il ker pongo . Ottengo che il ker e' lo span del vettore . Quindi le controimmagini sono rette con un certo punto di passaggio e con vettore direzione .

 
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