Applicazioni lineari tra due spazi vettoriali

Applicazioni coincidenti

Teorema 9.3

Sia finitodimensionale. Siano , spazi vettoriali e sia la dimensione di . Sia una base e siano e da in lineari. Allora se e solo se per ogni .

 


Dimostrazione 9.7

Se e' un generico elemento di , siano le sue coordinate nella base . Allora , quindi

ma quindi
Uso la linearita' nella direzione opposta
Conclusione: per ogni .


cvd

 


In altre parole, Due applicazioni lineari coincidono se e solo se coincidono sui vettori di una base.

Unicità dell'applicazione lineare da V in W

Siano una base di e siano vettori arbitrari. Il generico elemento si puo' esprimere come . Definiamo .


e' un'applicazione ben definita, perche' a ogni elemento di associa uno e un solo elemento di .


Osserviamo che in particolare , perche' le coordinate sono tutte nulle.


Verifico che l'applicazione è lineare: Siano e siano e rispettivamente i vettori colonna di e nella base . Allora per ogni scelta di

Il coefficiente di ogni e' .


Pertanto vale il seguente

Teorema 9.4

Sia uno spazio vettoriale -dimensionale con finito e almeno 1. Sia una base di , Allora per ogni spazio vettoriale e per ogni scelta di elementi di , esiste ed e' unica un'applicazione lineare tale per cui .

 


Dimostrazione 9.8

Poniamo se . Gli sono univocamente determinati. Come dimostrato sopra e' ben definita e lineare.


Per dimostrare l'unicita' di , se e da in sono lineari, soddisfano la stessa condizione, sono t.c. per . Ma questo implica che perche' le due applicazioni sono uguali sui vettori di una base.


cvd

 

Esistenza di un'applicazione suriettiva

Proposizione 9.3

Sia uno spazio vettoriale -dimensionale e sia . Allora esiste suriettiva.

 


Dimostrazione 9.9

Sia una base di . Consideriamo la base canonica di , . Sia per esempio l'unica applicazione lineare tale che

Allora questa e' l'unica applicazione lineare tale che l'immagine di e' .


per ipotesi e' una base di , quindi lo span di questi vettori e' tutto e è suriettiva.


cvd

 

Esistenza di un'applicazione iniettiva

Proposizione 9.4

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Supponiamo che . Allora esiste lineare e iniettiva.

 


Dimostrazione 9.10

Sia la dimensione di , la dimensione di . Allora . Sia una base di . Siccome esistono linearmente indipendenti. Sia l'unica applicazione lineare tale che . Allora l'immagine di e' lo span dei trasformati dei vettori di una base dello spazio di partenza, quindi e' .


La dimensione di e' uguale a , perche' i vettori sono linearmente indipendenti. Allora per il teorema del rango la dimensione del nucleo e' necessariamente 0 quindi la funzione e' iniettiva.


cvd

 

Esistenza di un'applicazione biunivoca

In particolare, se l'applicazione lineare appena costruita non e' solo iniettiva, ma anche suriettiva, quindi e' biunivoca, perche' e' una base di .


Teorema 9.5

Se e sono spazi vettoriali finitodimensionali, allora se e solo se esiste un'applicazione lineare biunivoca.

 



Corollario 9.1

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali e supponiamo che . Allora se e' lineare si ha che e' biunivoca se e solo se vale una delle due condizioni: e' iniettiva o e' suriettiva.

 



Dimostrazione 9.11

Per l'ipotesi e per il teorema del rango:

Dimostro che è iniettiva se e solo se è suriettiva.


e' iniettiva se e solo se la dimensione del ker e' 0, questo equivale a dire che , quindi . Quindi e' anche suriettiva.


cvd

 
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