Teoria di Galois

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*L'applicazione <math>':\mathcal L \to \mathcal H</math>, è tale che<math display="block">L \mapsto L' := \{ g \in G \, t.c. \, \alpha^g = \alpha, \; \forall \alpha \in L\}</math>
 
*L'applicazione <math>':\mathcal L \to \mathcal H</math>, è tale che<math display="block">L \mapsto L' := \{ g \in G \, t.c. \, \alpha^g = \alpha, \; \forall \alpha \in L\}</math>
 
In altre parole, l'immagine di <math>L</math> è <math>\mathcal G(M/L)</math>.
 
In altre parole, l'immagine di <math>L</math> è <math>\mathcal G(M/L)</math>.
*La  mappa  <math>':\mathcal H \to \mathcal L</math>, è tale che<math display="block">H \mapsto H' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^h = \alpha, \; \forall h \in H \} = \rm{Fix} (H)</math>{{InizioEsercizio|titolo=|number=2.1|anchor=Esercizio2_1}}
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*La  mappa  <math>':\mathcal H \to \mathcal L</math>, è tale che<math display="block">H \mapsto H' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^h = \alpha, \; \forall h \in H \} = \rm{Fix} (H)</math>
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Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che <math>H' \in \mathcal L</math>  e <math>L' \in \mathcal H</math> per <math>H \in \mathcal H, L \in \mathcal L</math>.
 
Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che <math>H' \in \mathcal L</math>  e <math>L' \in \mathcal H</math> per <math>H \in \mathcal H, L \in \mathcal L</math>.
 
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Versione delle 19:39, 3 apr 2018

Definizione del gruppo di Galois

Definizione 2.1

Sia un'estensione di campi, il gruppo di Galois di su è definito come

 


Esempio 2.1

Sia , e , allora è un'estensione algebrica semplice, perché se pongo , è radice del polinomio . è monico e irriducibile in , e in particolare è polinomio minimo di . Allora gli elementi di si scrivono come

Sia , allora dato un generico elemento in si ha:
e siccome sugli elementi di coincide con l'identità:
e quindi l'immagine è determinata una volta stabilita l'immagine di mediante . Inoltre , e applicando a quest'uguaglianza si ha
e quindi è ancora una radice di .
Le radici di sono con radice terza dell'unità diversa da , per esempio
e stanno in ma non in .
Ora , quindi . L'unica possibilita'e', pertanto fissa ogni elemento di , e .

 

Fatto: sia un'estensione di campi, un polinomio monico e irriducibile, e supponiamo che sia una radice di (dunque è polinomio minimo di su ).

Sia un automorfismo di campi con , allora è radice di (dall'uguaglianza ottengo ).

Insiemi L e H

Sia un'estensione di campi, e sia , definiamo i due insiemi seguenti:

  • insieme dei campi intermedi tra e , cioè
  • insieme dei sottogruppi di :

Definizioni delle applicazioni 'primo'

Definisco due applicazioni, una da in e l'altra da a , che indichiamo entrambe con 'primo' (apice ).

  • L'applicazione , è tale che

In altre parole, l'immagine di è .

  • La mappa , è tale che
Esercizio 2.1

Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che e per .

 

Casi particolari: Vediamo come agiscono le mappe 'primo' su , , e (qui e' il sottogruppo banale di ).

  • è il gruppo di Galois che contiene solo l'identità.
  • è tutto .
  • (insieme degli elementi fissati da 1).
  • Infine
    è un campo che contiene , ma in generale è diverso da .
    Definizione 2.2

Diciamo che l'estensione è normale se (ovvero, per ogni , esiste tale che ).

 

Proprietà delle applicazioni 'primo'

Siano oggetti entrambi in o entrambi in . Allora valgono queste due proprietà:

  1. Se , allora .
  2. .

Verifico la prima proprietà: siano , siano estensioni di campo. , e mostro che dove , .

Prendo un elemento , mostro che . Se , siccome , , quindi , cioè vale la proprietà da dimostrare.

Dalle proprietà 1 e 2 deduco in maniera del tutto formale che per ogni oggetto , .

Dimostrazione

INCLUSIONE 1: Dalla proprietà 2 segue che , e quindi applicando la proprietà 1, .

INCLUSIONE 2: Posso scrivere , e per la proprietà 2 , quindi .

 


Osservazione 2.1

Equivalentemente, posso dire che l'estensione è normale se infatti, per quanto visto prima, l'estensione e' normale se . Ma quindi ottengo che l'estensione e' normale se .

 


Proposizione 2.1

Sia un'estensione di campi. Allora è un'estensione normale, e tra i gruppi di Galois vale la relazione .

 

(Nell'esempio iniziale, in cui e , , allora . Quindi possiamo 'rimediare' alla non normalita' di una estensione rimpiazzando con . Sebbene questo puo' portarci a una banalita', come in questo esempio).

Dimostrazione

Sappiamo che , allora , cioè , e quindi è normale.

Mostriamo che .

Siano e .

INCLUSIONE 1: . Sia , mostro che fissa elemento per elemento.

Preso , siccome , allora , da cui .

INCLUSIONE 2: . Sia ; siccome per la proprietà 2 , preso si ha , e quindi , cioè .

 

Sia un'estensione di campi, allora possiamo definire due applicazioni:

Se o , allora

  • implica

da cui discende la proprietà .

Un'estensione è normale se , o equivalentemente se .

Oggetti chiusi

Definizione 2.3

Un oggetto è chiuso se .

 


Osservazione 2.2

Essere chiuso significa "essere il primo" di qualcosa, infatti se è chiuso, , viceversa, se , allora quindi , da cui .

 
Dato , chiamo la chiusura di : essa è il più piccolo oggetto chiuso che contiene . Infatti se , con chiuso, allora quindi , cioè è contenuto in ogni chiuso che contiene .
Teorema 2.1

Sia un'estensione di campi, e . Le applicazioni 'primo' stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra oggetti chiusi di e di .

 
Dimostrazione

Se è un oggetto chiuso, allora .

 


Osservazione 2.3

Queste osservazioni valgono anche più in generale, siano e due insiemi parzialmente ordinati e supponiamo che si possano definire due mappe 'primo', una e l'altra , che soddisfano le due proprietà: dati due oggetti , implica e .

Ad esempio, Sia insieme dei sottogruppi di un gruppo , e l'applicazione che manda nel suo centralizzante in , .
 
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