Teoria di Galois

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{{InizioDefinizione|titolo=|number=2.1|anchor=Definizione2_1}}
 
{{InizioDefinizione|titolo=|number=2.1|anchor=Definizione2_1}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, il ''gruppo di Galois'' di <math>M</math> su <math>K</math> è definito come
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, il ''gruppo di Galois'' di <math>M</math> su <math>K</math> è definito come
<math display="block">G=\mathcal G(M/K) := \{g:M \to M \, \, t.c. \, g \textrm{ è un automorfismo}, g_{|_K} = 1_K \}</math>
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<math display="block">G=\mathcal G(M/K) := \{g:M \to M \, \, t.c. \, g \, automorfismo,\, g_{|_K} = 1_K \}</math>
 
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Sia <math>K=\mathbb Q</math>, e <math>M=\mathbb Q(\sqrt[3]{2})</math>, allora <math>M \supseteq K</math> è un'estensione algebrica semplice, perché se pongo <math>\alpha = \sqrt[3]{2}</math>, <math>\alpha</math> è radice del polinomio <math>f(x)=x^3-2 \in \mathbb Q[x]</math>. <math>f</math> è monico e irriducibile in <math>\mathbb Q[x]</math>, e in particolare è polinomio minimo di <math>\alpha</math>. Allora gli elementi di <math>M</math> si scrivono come
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Sia <math>K=\mathbb Q</math>, e <math>M=\mathbb Q(\sqrt[3]{2})</math>, allora <math>M \supseteq K</math> è un'estensione algebrica semplice, perché se pongo <math>\alpha = \sqrt[3]{2}</math>, <math>\alpha</math> è radice del polinomio <math>f(x)=x^3-2 \in \mathbb Q[x]</math>. <math>f</math> è monico e irriducibile in <math>\mathbb Q[x]</math>, e in particolare è polinomio minimo di <math>\alpha</math>. Allora gli elementi di <math>M</math> si scrivono come<math display="block">\{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q \}.</math>Sia <math>g \in G=\mathcal G(M/K)</math>, allora dato un generico elemento <math>p = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2</math> in <math>M</math> si ha:<math display="block">(a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2)^g = a_0^g+a_1^g \alpha^g+a_2^g (\alpha^g)^2</math>e siccome sugli elementi di <math>K</math><math>g</math> coincide con l'identità:<math display="block">= a_0+a_1 \alpha^g+a_2 (\alpha^g)^2</math>e quindi l'immagine <math>p^g</math>  è determinata una volta stabilita l'immagine di <math>\alpha</math> mediante <math>g</math>. Inoltre <math>f(\alpha)=0</math>, e applicando <math>g</math> a quest'uguaglianza si ha<math display="block">0 = 0^g = (f(\alpha))^g = f(\alpha^g)</math>e quindi <math>\alpha^g</math> è ancora una radice di <math>f^g</math>.<br>
<math display="block">\{ a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2, \, a_i \in \mathbb Q \}.</math>
+
Le radici di <math>f(x)</math> sono <math>\alpha, \alpha \omega, \alpha \omega^2</math> con <math>\omega</math> radice terza dell'unità diversa da <math>1</math>, per esempio<math display="block">\omega = \cos(2\pi/3)+i \sin(2\pi/3)</math><math display="block">\omega^2 = \cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi/3)</math>e <math>\omega,\omega^2</math> stanno in <math>\mathbb C</math> ma non in <math>\mathbb R</math>.<br>
 
 
Sia <math>g \in G=\mathcal G(M/K)</math>, allora dato un generico elemento <math>p = a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2</math> in <math>M</math> si ha:
 
<math display="block">(a_0+a_1 \alpha+a_2 \alpha^2)^g = a_0^g+a_1^g \alpha^g+a_2^g (\alpha^g)^2</math>
 
e siccome sugli elementi di <math>K</math><math>g</math> coincide con l'identità:
 
<math display="block">= a_0+a_1 \alpha^g+a_2 (\alpha^g)^2</math>
 
e quindi l'immagine <math>p^g</math>  è determinata una volta stabilita l'immagine di <math>\alpha</math> mediante <math>g</math>. Inoltre <math>f(\alpha)=0</math>, e applicando <math>g</math> a quest'uguaglianza si ha
 
<math display="block">0 = 0^g = (f(\alpha))^g = f(\alpha^g)</math>
 
e quindi <math>\alpha^g</math> è ancora una radice di <math>f^g</math>.
 
 
 
 
 
Le radici di <math>f(x)</math> sono <math>\alpha, \alpha \omega, \alpha \omega^2</math> con <math>\omega</math> radice terza dell'unità diversa da <math>1</math>, per esempio
 
<math display="block">\omega = \cos(2\pi/3)+i \sin(2\pi/3)</math><math display="block">\omega^2 = \cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi/3)</math>
 
e <math>\omega,\omega^2</math> stanno in <math>\mathbb C</math> ma non in <math>\mathbb R</math>.
 
 
 
 
 
 
Ora <math>M \subset \mathbb R</math>, quindi <math>\alpha^g \neq \alpha\omega, \alpha^g \neq \alpha \omega^2</math>. L'unica possibilita'e'<math>\alpha^g = \alpha</math>, pertanto <math>g</math> fissa ogni elemento di <math>M</math>, e <math>G = \{ 1 \}</math>.
 
Ora <math>M \subset \mathbb R</math>, quindi <math>\alpha^g \neq \alpha\omega, \alpha^g \neq \alpha \omega^2</math>. L'unica possibilita'e'<math>\alpha^g = \alpha</math>, pertanto <math>g</math> fissa ogni elemento di <math>M</math>, e <math>G = \{ 1 \}</math>.
 
{{FineEsempio}}
 
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 +
''Fatto'': sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, <math>f(x) \in K[x]</math>  un polinomio monico e irriducibile, e supponiamo che <math>\alpha \in M</math> sia una radice di <math>f(x)</math> (dunque <math>f(x)</math> è polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>).
  
 
 
''Fatto'': sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, <math>f(x) \in K[x]</math>  un polinomio monico e irriducibile, e supponiamo che <math>\alpha \in M</math> sia una radice di <math>f(x)</math> (dunque <math>f(x)</math> è polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>).
 
 
Sia <math>g:M \to M</math> un automorfismo di campi con <math>g_{|_K} = 1_K</math>, allora <math>\alpha^g</math> è radice di <math>f(x)</math> (dall'uguaglianza <math>f(\alpha)=0</math> ottengo <math>0 = (f(\alpha))^g = f(\alpha^g)</math>).
 
Sia <math>g:M \to M</math> un automorfismo di campi con <math>g_{|_K} = 1_K</math>, allora <math>\alpha^g</math> è radice di <math>f(x)</math> (dall'uguaglianza <math>f(\alpha)=0</math> ottengo <math>0 = (f(\alpha))^g = f(\alpha^g)</math>).
 
 
==Insiemi  L e  H==
 
==Insiemi  L e  H==
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e sia <math>G = \mathcal G(M/K)</math>, definiamo i due insiemi seguenti:
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e sia <math>G = \mathcal G(M/K)</math>, definiamo i due insiemi seguenti:
  
*<math>\mathcal L</math> insieme dei campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>, cioè
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*<math>\mathcal L</math> insieme dei campi intermedi tra <math>K</math> e <math>M</math>, cioè<math display="block">\mathcal L = \{ L \;\textrm{campo} \, t.c. \; K \subseteq L \subseteq M \}</math>
<math display="block">\mathcal L = \{ L \;\textrm{campo} \, t.c. \; K \subseteq L \subseteq M \}</math>
 
*<math>\mathcal H</math> insieme dei sottogruppi di <math>G</math>:
 
<math display="block">\mathcal H = \{ H : H\leq  G\}</math>
 
  
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*<math>\mathcal H</math> insieme dei sottogruppi di <math>G</math>:<math display="block">\mathcal H = \{ H : H\leq  G\}</math>
 
==Definizioni delle applicazioni 'primo'==
 
==Definizioni delle applicazioni 'primo'==
 
Definisco due applicazioni, una da  <math>\mathcal L</math> in <math>\mathcal H</math> e l'altra da <math>\mathcal H</math> a <math>\mathcal L</math>, che indichiamo entrambe con 'primo' (apice <math>\prime</math>).
 
Definisco due applicazioni, una da  <math>\mathcal L</math> in <math>\mathcal H</math> e l'altra da <math>\mathcal H</math> a <math>\mathcal L</math>, che indichiamo entrambe con 'primo' (apice <math>\prime</math>).
  
*L'applicazione <math>':\mathcal L \to \mathcal H</math>, è tale che
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*L'applicazione <math>':\mathcal L \to \mathcal H</math>, è tale che<math display="block">L \mapsto L' := \{ g \in G \, t.c. \, \alpha^g = \alpha, \; \forall \alpha \in L\}</math>
<math display="block">L \mapsto L' := \{ g \in G \, t.c. \, \alpha^g = \alpha, \; \forall \alpha \in L\}</math>
 
 
In altre parole, l'immagine di <math>L</math> è <math>\mathcal G(M/L)</math>.
 
In altre parole, l'immagine di <math>L</math> è <math>\mathcal G(M/L)</math>.
*La  mappa  <math>':\mathcal H \to \mathcal L</math>, è tale che
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*La  mappa  <math>':\mathcal H \to \mathcal L</math>, è tale che<math display="block">H \mapsto H' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^h = \alpha, \; \forall h \in H \} = \rm{Fix} (H)</math>{{InizioEsercizio|titolo=|number=2.1|anchor=Esercizio2_1}}
<math display="block">H \mapsto H' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^h = \alpha, \; \forall h \in H \} = \rm{Fix} (H)</math>
 
 
 
 
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=2.1|anchor=Esercizio2_1}}
 
 
Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che <math>H' \in \mathcal L</math>  e <math>L' \in \mathcal H</math> per <math>H \in \mathcal H, L \in \mathcal L</math>.
 
Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che <math>H' \in \mathcal L</math>  e <math>L' \in \mathcal H</math> per <math>H \in \mathcal H, L \in \mathcal L</math>.
 
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''Casi particolari'': Vediamo come agiscono le mappe 'primo' su <math>M</math>, <math>K</math>, <math>1</math> e <math>G</math> (qui <math>1</math>e' il sottogruppo banale di <math>G</math>).
 
''Casi particolari'': Vediamo come agiscono le mappe 'primo' su <math>M</math>, <math>K</math>, <math>1</math> e <math>G</math> (qui <math>1</math>e' il sottogruppo banale di <math>G</math>).
 
 
*<math>M'</math> è il gruppo di Galois <math>\mathcal G(M/M)</math> che contiene solo l'identità.
 
*<math>M'</math> è il gruppo di Galois <math>\mathcal G(M/M)</math> che contiene solo l'identità.
 
*<math>K'</math> è tutto <math>G = \mathcal G(M/K)</math>.
 
*<math>K'</math> è tutto <math>G = \mathcal G(M/K)</math>.
 
*<math>1'=M</math> (insieme degli elementi fissati da 1).
 
*<math>1'=M</math> (insieme degli elementi fissati da 1).
*Infine
+
*Infine<math display="block">G' = \rm{Fix} (G) = \{\alpha \in M \, t.c. \, \alpha^g = \alpha \forall g \in G \}</math>è un campo <math>K_0</math> che contiene <math>K</math>, ma in generale è diverso da <math>K</math>.{{InizioDefinizione|titolo=|number=2.2|anchor=Definizione2_2}}
<math display="block">G' = \rm{Fix} (G) = \{\alpha \in M \, t.c. \, \alpha^g = \alpha \forall g \in G \}</math>
 
è un campo <math>K_0</math> che contiene <math>K</math>, ma in generale è diverso da <math>K</math>.
 
 
 
 
 
 
 
{{InizioDefinizione|titolo=|number=2.2|anchor=Definizione2_2}}
 
 
Diciamo che l'estensione <math>M \supseteq K</math> è ''normale'' se <math>G'=K</math> (ovvero, per ogni <math>\alpha \in M \smallsetminus K</math>, esiste <math>g \in G</math> tale che <math>\alpha^g \neq \alpha</math>).
 
Diciamo che l'estensione <math>M \supseteq K</math> è ''normale'' se <math>G'=K</math> (ovvero, per ogni <math>\alpha \in M \smallsetminus K</math>, esiste <math>g \in G</math> tale che <math>\alpha^g \neq \alpha</math>).
 
{{FineDefinizione}}
 
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#Se <math>X \subseteq Y</math>, allora <math>X' \supseteq Y'</math>.
 
#Se <math>X \subseteq Y</math>, allora <math>X' \supseteq Y'</math>.
 
#<math>X''  \supseteq X</math>.
 
#<math>X''  \supseteq X</math>.
 
  
 
'''Verifico la prima proprietà''': siano <math>X,Y \in \mathcal L</math>, siano <math>K \subseteq L \subseteq T \subseteq M</math> estensioni di campo. <math>L \subseteq T</math>, e mostro che <math>L' \supseteq T'</math>
 
'''Verifico la prima proprietà''': siano <math>X,Y \in \mathcal L</math>, siano <math>K \subseteq L \subseteq T \subseteq M</math> estensioni di campo. <math>L \subseteq T</math>, e mostro che <math>L' \supseteq T'</math>
 
dove <math>L' = \mathcal G(M/L)</math>, <math>T'=\mathcal G(L/T)</math>.
 
dove <math>L' = \mathcal G(M/L)</math>, <math>T'=\mathcal G(L/T)</math>.
 
  
 
Prendo un elemento <math>t \in T'</math>, mostro che <math>t'_{|_L} = 1_M</math>. Se <math>\alpha \in L</math>, siccome <math>L \subseteq T</math>, <math>\alpha \in T</math>, quindi <math>\alpha^t = \alpha</math>, cioè vale la proprietà da dimostrare.
 
Prendo un elemento <math>t \in T'</math>, mostro che <math>t'_{|_L} = 1_M</math>. Se <math>\alpha \in L</math>, siccome <math>L \subseteq T</math>, <math>\alpha \in T</math>, quindi <math>\alpha^t = \alpha</math>, cioè vale la proprietà da dimostrare.
 
 
  
 
Dalle proprietà 1 e 2 deduco in maniera del tutto formale che per ogni oggetto <math>X \in \mathcal L \cup \mathcal H</math>, <math>X''' = X'</math>.
 
Dalle proprietà 1 e 2 deduco in maniera del tutto formale che per ogni oggetto <math>X \in \mathcal L \cup \mathcal H</math>, <math>X''' = X'</math>.
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{{InizioDimostrazione}}
 
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INCLUSIONE 1: Dalla proprietà 2 segue che <math>X'' \supset X</math>, e quindi applicando la proprietà 1, <math>X''' \subset X'</math>.
 
INCLUSIONE 1: Dalla proprietà 2 segue che <math>X'' \supset X</math>, e quindi applicando la proprietà 1, <math>X''' \subset X'</math>.
 
  
 
INCLUSIONE 2: Posso scrivere <math>X''' = (X')''</math>, e per la proprietà 2 <math>(X')'' \supset X'</math>, quindi <math>X''' \supset X'</math>.
 
INCLUSIONE 2: Posso scrivere <math>X''' = (X')''</math>, e per la proprietà 2 <math>(X')'' \supset X'</math>, quindi <math>X''' \supset X'</math>.
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Sappiamo che <math>K''' = K'</math>, allora <math>(K''')' = (K')'</math>, cioè <math>(K'')'' = K''</math>, e quindi '''<math>M \supseteq K''</math> è normale'''.
 
Sappiamo che <math>K''' = K'</math>, allora <math>(K''')' = (K')'</math>, cioè <math>(K'')'' = K''</math>, e quindi '''<math>M \supseteq K''</math> è normale'''.
 
  
 
'''Mostriamo che <math>\mathcal G(M/K) = \mathcal G(M/K'')</math>'''.
 
'''Mostriamo che <math>\mathcal G(M/K) = \mathcal G(M/K'')</math>'''.
 
  
 
Siano <math>G = \mathcal G(M/K)</math> e <math>\bar G = \mathcal G(M/K'')</math>.
 
Siano <math>G = \mathcal G(M/K)</math> e <math>\bar G = \mathcal G(M/K'')</math>.
  
 
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INCLUSIONE 1: <math>G \subset \bar G</math>. Sia <math>\tilde g \in G</math>, mostro che <math>\tilde g</math> fissa <math>K''</math> elemento per elemento.<math display="block">K'' = G' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^g = \alpha \forall g \in G \}</math>Preso <math>\alpha \in K''</math>, siccome <math>K'' \subset M</math>, allora <math>\alpha^{\tilde g}=\alpha</math>, da cui <math>\tilde g \in \bar G</math>.
INCLUSIONE 1: <math>G \subset \bar G</math>. Sia <math>\tilde g \in G</math>, mostro che <math>\tilde g</math> fissa <math>K''</math> elemento per elemento.
 
<math display="block">K'' = G' = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^g = \alpha \forall g \in G \}</math>
 
Preso <math>\alpha \in K''</math>, siccome <math>K'' \subset M</math>, allora <math>\alpha^{\tilde g}=\alpha</math>, da cui <math>\tilde g \in \bar G</math>.
 
 
 
  
 
INCLUSIONE 2: <math>G \supset \bar G</math>. Sia <math>\hat g \in \bar G</math>; siccome per la proprietà 2 <math>K'' \supset K</math>, preso <math>\beta \in K</math> si ha <math>\beta \in K''</math>, e quindi <math>\beta^{\hat g} = \beta</math>, cioè <math>\hat g \in G</math>.
 
INCLUSIONE 2: <math>G \supset \bar G</math>. Sia <math>\hat g \in \bar G</math>; siccome per la proprietà 2 <math>K'' \supset K</math>, preso <math>\beta \in K</math> si ha <math>\beta \in K''</math>, e quindi <math>\beta^{\hat g} = \beta</math>, cioè <math>\hat g \in G</math>.
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==Riepilogo==
 
==Riepilogo==
Sia <math>L \supseteq K</math> un'estensione di campi, allora possiamo definire due applicazioni:
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Sia <math>L \supseteq K</math> un'estensione di campi, allora possiamo definire due applicazioni:<math display="block">':\mathcal L \to \mathcal H \, t.c. \, L \in \mathcal L \mapsto L' = \mathcal G(M/L)</math><math display="block">' \colon \mathcal H \to \mathcal L \, t.c. \, H \in \mathcal H \mapsto H' = \rm{Fix}( H)</math>Se <math>X,Y \in \mathcal L</math> o <math>X,Y \in \mathcal L'</math>, allora
<math display="block">':\mathcal L \to \mathcal H \, t.c. \, L \in \mathcal L \mapsto L' = \mathcal G(M/L)</math><math display="block">' \colon \mathcal H \to \mathcal L \, t.c. \, H \in \mathcal H \mapsto H' = \rm{Fix}( H)</math>
 
Se <math>X,Y \in \mathcal L</math> o <math>X,Y \in \mathcal L'</math>, allora
 
  
 
*<math>X \subseteq Y</math> implica <math>Y' \subseteq X'</math>
 
*<math>X \subseteq Y</math> implica <math>Y' \subseteq X'</math>
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da cui discende la proprietà <math>X''' = X'</math>.
 
da cui discende la proprietà <math>X''' = X'</math>.
 
  
 
Un'estensione è normale se <math>G' = K</math>, o equivalentemente se <math>K'' = K</math>.
 
Un'estensione è normale se <math>G' = K</math>, o equivalentemente se <math>K'' = K</math>.
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{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
  
 
+
Dato <math>X \in \mathcal L \cup \mathcal H</math>, chiamo <math>X''</math> la ''chiusura'' di <math>X</math>: essa è  il più piccolo oggetto chiuso che contiene <math>X</math>. Infatti se <math>X \subseteq Y</math>, con <math>Y</math> chiuso, allora <math>Y' \subseteq X'</math> quindi <math>X'' \subseteq Y'' = Y</math>, cioè <math>X''</math> è contenuto in ogni chiuso <math>Y</math> che contiene <math>X</math>.{{InizioTeorema|titolo= Corrispondenza di Galois|number=2.1|anchor=Teorema2_1}}
 
 
 
 
Dato <math>X \in \mathcal L \cup \mathcal H</math>, chiamo <math>X''</math> la ''chiusura'' di <math>X</math>: essa è  il più piccolo oggetto chiuso che contiene <math>X</math>. Infatti se <math>X \subseteq Y</math>, con <math>Y</math> chiuso, allora <math>Y' \subseteq X'</math> quindi <math>X'' \subseteq Y'' = Y</math>, cioè <math>X''</math> è contenuto in ogni chiuso <math>Y</math> che contiene <math>X</math>.
 
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo= Corrispondenza di Galois|number=2.1|anchor=Teorema2_1}}
 
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e <math>G = \mathcal G(M/K)</math>. Le applicazioni 'primo' stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra oggetti chiusi di <math>\mathcal L</math> e di <math>\mathcal H</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e <math>G = \mathcal G(M/K)</math>. Le applicazioni 'primo' stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra oggetti chiusi di <math>\mathcal L</math> e di <math>\mathcal H</math>.
 
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Queste osservazioni valgono anche più in generale, siano <math>\mathcal A</math> e <math>\mathcal B</math> due insiemi parzialmente ordinati e supponiamo che si possano definire
 
Queste osservazioni valgono anche più in generale, siano <math>\mathcal A</math> e <math>\mathcal B</math> due insiemi parzialmente ordinati e supponiamo che si possano definire
 
due mappe 'primo', una <math>:\mathcal A \to \mathcal B</math> e l'altra <math>:\mathcal B \to \mathcal A</math>, che soddisfano le due proprietà: dati due oggetti <math>X,Y \in \mathcal A \cup \mathcal B</math>, <math>X \supseteq Y</math> implica <math>X' \subseteq Y'</math> e <math>X'' \supseteq X</math>.
 
due mappe 'primo', una <math>:\mathcal A \to \mathcal B</math> e l'altra <math>:\mathcal B \to \mathcal A</math>, che soddisfano le due proprietà: dati due oggetti <math>X,Y \in \mathcal A \cup \mathcal B</math>, <math>X \supseteq Y</math> implica <math>X' \subseteq Y'</math> e <math>X'' \supseteq X</math>.
 
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Ad esempio, Sia <math>\mathcal A=\mathcal B</math> insieme dei sottogruppi di un gruppo <math>G</math>, e <math>':\mathcal A \to \mathcal A</math> l'applicazione che manda <math>H</math> nel suo centralizzante in <math>G</math>, <math>C_{G}(H)</math>.{{FineOsservazione}}
 
 
Ad esempio, Sia <math>\mathcal A=\mathcal B</math> insieme dei sottogruppi di un gruppo <math>G</math>, e <math>':\mathcal A \to \mathcal A</math> l'applicazione che manda <math>H</math> nel suo centralizzante in <math>G</math>, <math>C_{G}(H)</math>.
 
{{FineOsservazione}}
 

Versione delle 09:21, 23 set 2017

Definizione del gruppo di Galois

Definizione 2.1

Sia un'estensione di campi, il gruppo di Galois di su è definito come

 


Esempio 2.1

Sia , e , allora è un'estensione algebrica semplice, perché se pongo , è radice del polinomio . è monico e irriducibile in , e in particolare è polinomio minimo di . Allora gli elementi di si scrivono come

Sia , allora dato un generico elemento in si ha:
e siccome sugli elementi di coincide con l'identità:
e quindi l'immagine è determinata una volta stabilita l'immagine di mediante . Inoltre , e applicando a quest'uguaglianza si ha
e quindi è ancora una radice di .
Le radici di sono con radice terza dell'unità diversa da , per esempio
e stanno in ma non in .
Ora , quindi . L'unica possibilita'e', pertanto fissa ogni elemento di , e .

 

Fatto: sia un'estensione di campi, un polinomio monico e irriducibile, e supponiamo che sia una radice di (dunque è polinomio minimo di su ).

Sia un automorfismo di campi con , allora è radice di (dall'uguaglianza ottengo ).

Insiemi L e H

Sia un'estensione di campi, e sia , definiamo i due insiemi seguenti:

  • insieme dei campi intermedi tra e , cioè
  • insieme dei sottogruppi di :

Definizioni delle applicazioni 'primo'

Definisco due applicazioni, una da in e l'altra da a , che indichiamo entrambe con 'primo' (apice ).

  • L'applicazione , è tale che

In altre parole, l'immagine di è .

  • La mappa , è tale che
    Esercizio 2.1

Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che e per .

 

Casi particolari: Vediamo come agiscono le mappe 'primo' su , , e (qui e' il sottogruppo banale di ).

  • è il gruppo di Galois che contiene solo l'identità.
  • è tutto .
  • (insieme degli elementi fissati da 1).
  • Infine
    è un campo che contiene , ma in generale è diverso da .
    Definizione 2.2

Diciamo che l'estensione è normale se (ovvero, per ogni , esiste tale che ).

 

Proprietà delle applicazioni 'primo'

Siano oggetti entrambi in o entrambi in . Allora valgono queste due proprietà:

  1. Se , allora .
  2. .

Verifico la prima proprietà: siano , siano estensioni di campo. , e mostro che dove , .

Prendo un elemento , mostro che . Se , siccome , , quindi , cioè vale la proprietà da dimostrare.

Dalle proprietà 1 e 2 deduco in maniera del tutto formale che per ogni oggetto , .

Dimostrazione

INCLUSIONE 1: Dalla proprietà 2 segue che , e quindi applicando la proprietà 1, .

INCLUSIONE 2: Posso scrivere , e per la proprietà 2 , quindi .

 


Osservazione 2.1

Equivalentemente, posso dire che l'estensione è normale se infatti, per quanto visto prima, l'estensione e' normale se . Ma quindi ottengo che l'estensione e' normale se .

 


Proposizione 2.1

Sia un'estensione di campi. Allora è un'estensione normale, e tra i gruppi di Galois vale la relazione .

 

(Nell'esempio iniziale, in cui e , , allora . Quindi possiamo 'rimediare' alla non normalita' di una estensione rimpiazzando con . Sebbene questo puo' portarci a una banalita', come in questo esempio).

Dimostrazione

Sappiamo che , allora , cioè , e quindi è normale.

Mostriamo che .

Siano e .

INCLUSIONE 1: . Sia , mostro che fissa elemento per elemento.

Preso , siccome , allora , da cui .

INCLUSIONE 2: . Sia ; siccome per la proprietà 2 , preso si ha , e quindi , cioè .

 

Sia un'estensione di campi, allora possiamo definire due applicazioni:

Se o , allora

  • implica

da cui discende la proprietà .

Un'estensione è normale se , o equivalentemente se .

Oggetti chiusi

Definizione 2.3

Un oggetto è chiuso se .

 


Osservazione 2.2

Essere chiuso significa "essere il primo" di qualcosa, infatti se è chiuso, , viceversa, se , allora quindi , da cui .

 
Dato , chiamo la chiusura di : essa è il più piccolo oggetto chiuso che contiene . Infatti se , con chiuso, allora quindi , cioè è contenuto in ogni chiuso che contiene .
Teorema 2.1

Sia un'estensione di campi, e . Le applicazioni 'primo' stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra oggetti chiusi di e di .

 
Dimostrazione

Se è un oggetto chiuso, allora .

 


Osservazione 2.3

Queste osservazioni valgono anche più in generale, siano e due insiemi parzialmente ordinati e supponiamo che si possano definire due mappe 'primo', una e l'altra , che soddisfano le due proprietà: dati due oggetti , implica e .

Ad esempio, Sia insieme dei sottogruppi di un gruppo , e l'applicazione che manda nel suo centralizzante in , .
 
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