Stabilità e normalità

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==Stabilità==
 
==Stabilità==
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Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e sia <math>G = \mathcal G(M/K)</math>, allora <math>L</math> è un ''campo intermedio stabile'' (relativamente a <math>M</math> e <math>K</math>) se succede che <math>L^g \subseteq L,\; \forall g \in G</math>.
 
Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e sia <math>G = \mathcal G(M/K)</math>, allora <math>L</math> è un ''campo intermedio stabile'' (relativamente a <math>M</math> e <math>K</math>) se succede che <math>L^g \subseteq L,\; \forall g \in G</math>.
 
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Un campo intermedio <math>L</math> è stabile se e solo se <math>L^g = L,\; \forall g \in G</math>.
 
Un campo intermedio <math>L</math> è stabile se e solo se <math>L^g = L,\; \forall g \in G</math>.
 
  
 
Infatti, se <math>L^g=L,\; \forall g \in G</math>, è chiaro che <math>L</math> è stabile.
 
Infatti, se <math>L^g=L,\; \forall g \in G</math>, è chiaro che <math>L</math> è stabile.
 
  
 
Viceversa,  mostro che se <math>L</math> è stabile, si ha <math>L \subseteq L^g</math>. Prendo <math>g \in G, l \in L</math>, allora siccome <math>L</math> è stabile e la relazione vale per ogni <math>g</math>, deve valere anche per <math>g^{-1}</math> e quindi <math>l^{g^{-1}} \in L</math>, e dunque, applicando <math>g</math>, <math>(l^{g^{-1}})^g=l \in L^g</math>, cioè <math>L \subseteq L^g</math>.
 
Viceversa,  mostro che se <math>L</math> è stabile, si ha <math>L \subseteq L^g</math>. Prendo <math>g \in G, l \in L</math>, allora siccome <math>L</math> è stabile e la relazione vale per ogni <math>g</math>, deve valere anche per <math>g^{-1}</math> e quindi <math>l^{g^{-1}} \in L</math>, e dunque, applicando <math>g</math>, <math>(l^{g^{-1}})^g=l \in L^g</math>, cioè <math>L \subseteq L^g</math>.
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==Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali==
 
==Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali==
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e <math>G = \mathcal G(M/K)</math>. Allora,
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi, e <math>G = \mathcal G(M/K)</math>. Allora,
  
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#Sia <math>H</math> un sottogruppo normale di <math>G</math>, allora '''mostro che <math>H'=\rm{Fix} (H)</math> è un campo intermedio stabile''', ovvero che  <math>(H')^g \subseteq H'</math> per ogni <math>g\in G</math>. Considero <math>\alpha \in H'</math> e mostro che, fissato arbitrariamente <math>g\in G</math>, si ha  <math>\alpha^g \in \rm{Fix} (H)</math>.Siccome <math>H</math> è normale, si ha <math>gh = k g</math> per un certo <math>k \in H</math>. Allora <math>\alpha^{gh} = \alpha^{kg} = \alpha^g</math> (infatti <math>k \in H \longrightarrow \alpha^k=\alpha</math>), e quindi <math>\alpha^g \in \rm{Fix} (H)</math>.
 
#Sia <math>H</math> un sottogruppo normale di <math>G</math>, allora '''mostro che <math>H'=\rm{Fix} (H)</math> è un campo intermedio stabile''', ovvero che  <math>(H')^g \subseteq H'</math> per ogni <math>g\in G</math>. Considero <math>\alpha \in H'</math> e mostro che, fissato arbitrariamente <math>g\in G</math>, si ha  <math>\alpha^g \in \rm{Fix} (H)</math>.Siccome <math>H</math> è normale, si ha <math>gh = k g</math> per un certo <math>k \in H</math>. Allora <math>\alpha^{gh} = \alpha^{kg} = \alpha^g</math> (infatti <math>k \in H \longrightarrow \alpha^k=\alpha</math>), e quindi <math>\alpha^g \in \rm{Fix} (H)</math>.
 
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La stabilità di <math>L</math> è legata alla normalità dell'estensione <math>L \supseteq K</math>.
 
La stabilità di <math>L</math> è legata alla normalità dell'estensione <math>L \supseteq K</math>.
  
 
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Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:{{InizioLemma|title=|number=2.6|anchor=Lemma2_6}}
 
 
Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:
 
 
 
 
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi normale, e sia <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio monico e irriducibile. Se <math>f(x)</math> ammette una radice in <math>M</math>, allora si spezza in <math>M[x]</math>  in prodotto di fattori lineari distinti.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di campi normale, e sia <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio monico e irriducibile. Se <math>f(x)</math> ammette una radice in <math>M</math>, allora si spezza in <math>M[x]</math>  in prodotto di fattori lineari distinti.
 
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immagini distinte di <math>\alpha</math> sotto l'azione di <math>G</math>. Se <math>\beta</math> è un elemento di <math>A</math>, allora sarà della forma <math>\alpha^g</math> per <math>g \in G</math>. Sappiamo che <math>\beta</math> è radice di <math>f(x)</math>, e quindi <math>A</math> è finito, e ha cardinalità <math>r \le \rm{gr}(f(x))</math>. Scriviamo <math>A = \{ \alpha_1=\alpha, \alpha_2,\dots, \alpha_r\}</math>.
 
immagini distinte di <math>\alpha</math> sotto l'azione di <math>G</math>. Se <math>\beta</math> è un elemento di <math>A</math>, allora sarà della forma <math>\alpha^g</math> per <math>g \in G</math>. Sappiamo che <math>\beta</math> è radice di <math>f(x)</math>, e quindi <math>A</math> è finito, e ha cardinalità <math>r \le \rm{gr}(f(x))</math>. Scriviamo <math>A = \{ \alpha_1=\alpha, \alpha_2,\dots, \alpha_r\}</math>.
  
 
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Consideriamo il polinomio <math>p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)*\dots*(x-\alpha_r) \in M[x]</math>. I coefficienti di <math>p(x)</math> sono le funzioni simmetriche elementari in <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math>, definite come segue<math display="block">\begin{align}\sigma_0(\alpha_1,\dots,\alpha_n) &= 1 \\\sigma_1(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_j \alpha_j \\\sigma_2(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_{j_1<j_2} \alpha_{j_1}*\alpha_{j_2} \\\dots & \dots & \dots \\\sigma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_{j_1 < j_2 < \dots < j_i} \alpha_{j_1}*\alpha_{j_2}*\dots*\alpha_{j_i} \\\dots & \dots & \dots \\\sigma_r(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \alpha_1*\alpha_2*\dots*\alpha_r \\\end{align}</math>Quindi<math display="block">p(x) =\sum_{h=0}^r (-1)^h \sigma_h(\alpha_1,\dots,\alpha_r) x^{r-h}</math>Le funzioni elementari sono invarianti se permuto <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math>. D'altra parte gli elementi di <math>G</math> permutano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math> e quindi fissano i coefficienti di <math>p(x)</math>. <math>M \supseteq K</math> è normale per ipotesi, allora <math>p(x)</math> è un polinomio a coefficienti in <math>K</math> (i coefficienti stanno in <math>G'=\rm{Fix} G</math>). D'altra parte <math>p(\alpha)=0</math>, e <math>f(x)</math>, essendo irriducibile, è il polinomio minimo di <math>\alpha</math>. Allora <math>f(x) \mid p(x)</math>. In particolare <math>\rm{gr}(p(x)) = r \ge \rm{gr}(f(x))</math>, e siccome si aveva <math>r \le \rm{gr}(f(x))</math>, segue che <math>r = \rm{gr}(f(x))</math>. Poi <math>f(x)</math> e <math>p(x)</math> sono entrambi monici dunque <math>p(x) = f(x)</math>, cioè <math>f(x)</math> si spezza su <math>M</math>.
Consideriamo il polinomio <math>p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)*\dots*(x-\alpha_r) \in M[x]</math>. I coefficienti di <math>p(x)</math> sono le funzioni simmetriche elementari in <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math>, definite come segue
 
<math display="block">\begin{align}\sigma_0(\alpha_1,\dots,\alpha_n) &= 1 \\\sigma_1(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_j \alpha_j \\\sigma_2(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_{j_1<j_2} \alpha_{j_1}*\alpha_{j_2} \\\dots & \dots & \dots \\\sigma_i(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \sum_{j_1 < j_2 < \dots < j_i} \alpha_{j_1}*\alpha_{j_2}*\dots*\alpha_{j_i} \\\dots & \dots & \dots \\\sigma_r(\alpha_1,\dots,\alpha_r) &= \alpha_1*\alpha_2*\dots*\alpha_r \\\end{align}</math>
 
Quindi
 
<math display="block">p(x) =\sum_{h=0}^r (-1)^h \sigma_h(\alpha_1,\dots,\alpha_r) x^{r-h}</math>
 
 
 
Le funzioni elementari sono invarianti se permuto <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math>. D'altra parte gli elementi di <math>G</math> permutano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math> e quindi fissano i coefficienti di <math>p(x)</math>. <math>M \supseteq K</math> è normale per ipotesi, allora <math>p(x)</math> è un polinomio a coefficienti in <math>K</math> (i coefficienti stanno in <math>G'=\rm{Fix} G</math>). D'altra parte <math>p(\alpha)=0</math>, e <math>f(x)</math>, essendo irriducibile, è il polinomio minimo di <math>\alpha</math>. Allora <math>f(x) \mid p(x)</math>. In particolare <math>\rm{gr}(p(x)) = r \ge \rm{gr}(f(x))</math>, e siccome si aveva <math>r \le \rm{gr}(f(x))</math>, segue che <math>r = \rm{gr}(f(x))</math>. Poi <math>f(x)</math> e <math>p(x)</math> sono entrambi monici dunque <math>p(x) = f(x)</math>, cioè <math>f(x)</math> si spezza su <math>M</math>.
 
 
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#supponiamo che <math>M \supseteq L \supseteq K</math> siano estensioni di campi, con <math>M \supseteq K</math> normale e <math>L</math>  stabile. Allora l'estensione <math>L \supseteq K</math> è normale.
 
#supponiamo che <math>M \supseteq L \supseteq K</math> siano estensioni di campi, con <math>M \supseteq K</math> normale e <math>L</math>  stabile. Allora l'estensione <math>L \supseteq K</math> è normale.
 
#Siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, e supponiamo che <math>L \supseteq K</math> sia normale e  algebrica. Allora <math>L</math> è stabile.
 
#Siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, e supponiamo che <math>L \supseteq K</math> sia normale e  algebrica. Allora <math>L</math> è stabile.
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Sia <math>M \supseteq K</math>, <math>L</math> un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione <math>\phi:\mathcal G(M/K) \to \mathcal G(L/K)</math>, tale che <math>g \mapsto g_{|_L}</math>. <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi, con<math display="block">\ker \phi = L' = \mathcal G(M/L)</math><math>\mathop{Im} \phi</math> è l'isieme degli automorfismi di <math>L</math> su <math>K</math> (cioè che fissano <math>K</math> elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di <math>M</math> su <math>K</math>.
  
Sia <math>M \supseteq K</math>, <math>L</math> un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione <math>\phi:\mathcal G(M/K) \to \mathcal G(L/K)</math>, tale che <math>g \mapsto g_{|_L}</math>. <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi, con
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Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:{{InizioProposizione|title=conseguenza|number=2.4|anchor=Proposizione2_4}}
<math display="block">\ker \phi = L' = \mathcal G(M/L)</math><math>\mathop{Im} \phi</math> è l'isieme degli automorfismi di <math>L</math> su <math>K</math> (cioè che fissano <math>K</math> elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di <math>M</math> su <math>K</math>.
 
 
 
 
 
 
 
Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:
 
 
 
 
 
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Supponiamo che <math>M \supseteq K</math> sia normale e di grado finito. Allora <math>L</math> campo intermedio è stabile se e solo se <math>L \supseteq K</math> è normale. Inoltre l'omomorfismo <math>\phi:\mathcal G(M/K) \to \mathcal G(L/K)</math> è suriettivo.
 
Supponiamo che <math>M \supseteq K</math> sia normale e di grado finito. Allora <math>L</math> campo intermedio è stabile se e solo se <math>L \supseteq K</math> è normale. Inoltre l'omomorfismo <math>\phi:\mathcal G(M/K) \to \mathcal G(L/K)</math> è suriettivo.
 
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Osservo in particolare che il fatto che <math>M \supseteq K</math> sia di grado finito implica che <math>L \supseteq K</math> è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.
 
Osservo in particolare che il fatto che <math>M \supseteq K</math> sia di grado finito implica che <math>L \supseteq K</math> è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.
  
 
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Per quanto riguarda la suriettività di <math>\phi</math>, per il teorema fondamentale<math display="block">o(\mathcal G(L/K)) =|L:K| = |K':L'| = \vert\frac{\mathcal G(M:K)}{\mathcal G(M:L)}\vert = \frac{o(\mathcal G(M/K))}{o(\mathcal G(M/L))} = \frac{o(\mathcal G(M/K))}{\ker \phi}.</math>
Per quanto riguarda la suriettività di <math>\phi</math>, per il teorema fondamentale
 
<math display="block">o(\mathcal G(L/K)) =|L:K| = |K':L'| = \vert\frac{\mathcal G(M:K)}{\mathcal G(M:L)}\vert = \frac{o(\mathcal G(M/K))}{o(\mathcal G(M/L))} = \frac{o(\mathcal G(M/K))}{\ker \phi}.</math>
 
 
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Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:{{InizioTeorema|title=|number=2.3|anchor=Teorema2_3}}
 
 
 
 
Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo=|number=2.3|anchor=Teorema2_3}}
 
 
Sia <math>L</math> un campo intermedio tra <math>K</math> e <math>M</math>, allora <math>L \supseteq K</math> è un'estensione normale se e solo se <math>L'</math> è normale in <math>G</math>, e in tal caso <math>G/L'</math> è isomorfo a <math>\mathcal G(L/K)</math>.
 
Sia <math>L</math> un campo intermedio tra <math>K</math> e <math>M</math>, allora <math>L \supseteq K</math> è un'estensione normale se e solo se <math>L'</math> è normale in <math>G</math>, e in tal caso <math>G/L'</math> è isomorfo a <math>\mathcal G(L/K)</math>.
 
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Va giustificato solo il fatto che <math>L \supseteq K</math> è normale se e solo se <math>L'</math> è normale in <math>G</math>.
 
Va giustificato solo il fatto che <math>L \supseteq K</math> è normale se e solo se <math>L'</math> è normale in <math>G</math>.
 
  
 
Dalla "conseguenza" segue che <math>L</math> è stabile, allora <math>L'</math> è normale in <math>G</math> per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, <math>L'</math> normale in <math>G</math> implica che <math>L''</math> è stabile, ma siccome <math>L</math>e' chiuso  si ha <math>L''=L</math> e quindi <math>L</math> è stabile.
 
Dalla "conseguenza" segue che <math>L</math> è stabile, allora <math>L'</math> è normale in <math>G</math> per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, <math>L'</math> normale in <math>G</math> implica che <math>L''</math> è stabile, ma siccome <math>L</math>e' chiuso  si ha <math>L''=L</math> e quindi <math>L</math> è stabile.
 
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Versione attuale delle 14:16, 21 mag 2018

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.4

Siano estensioni di campi, e sia , allora è un campo intermedio stabile (relativamente a e ) se succede che .

 


Osservazione 2.9

Un campo intermedio è stabile se e solo se .

Infatti, se , è chiaro che è stabile.

Viceversa, mostro che se è stabile, si ha . Prendo , allora siccome è stabile e la relazione vale per ogni , deve valere anche per e quindi , e dunque, applicando , , cioè .

 

Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 2.2

Sia un'estensione di campi, e . Allora,

  1. se è un campo intermedio stabile, è un sottogruppo normale in , ovvero è normale in .
  2. se è un sottogruppo normale di , allora è un campo intermedio stabile.
 
Dimostrazione
  1. Per ipotesi, è un campo intermedio stabile, e mostro che è normale in , cioè, applicando la definizione, mostro che dati , ; equivalentemente mostro che fissa elemento per elemento. Prendo , e calcolo
    ma e fissa elemento per elemento, quindi
    e quindi la tesi è vera.
  2. Sia un sottogruppo normale di , allora mostro che è un campo intermedio stabile, ovvero che per ogni . Considero e mostro che, fissato arbitrariamente , si ha .Siccome è normale, si ha per un certo . Allora (infatti ), e quindi .
 

La stabilità di è legata alla normalità dell'estensione .

Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:
Lemma 2.6

Sia un'estensione di campi normale, e sia un polinomio monico e irriducibile. Se ammette una radice in , allora si spezza in in prodotto di fattori lineari distinti.

 
Dimostrazione

Sia una radice di , che esiste per ipotesi. Sia , e l'insieme delle immagini distinte di sotto l'azione di . Se è un elemento di , allora sarà della forma per . Sappiamo che è radice di , e quindi è finito, e ha cardinalità . Scriviamo .

Consideriamo il polinomio . I coefficienti di sono le funzioni simmetriche elementari in , definite come segue

Quindi
Le funzioni elementari sono invarianti se permuto . D'altra parte gli elementi di permutano e quindi fissano i coefficienti di . è normale per ipotesi, allora è un polinomio a coefficienti in (i coefficienti stanno in ). D'altra parte , e , essendo irriducibile, è il polinomio minimo di . Allora . In particolare , e siccome si aveva , segue che . Poi e sono entrambi monici dunque , cioè si spezza su .

 


Proposizione 2.3
  1. supponiamo che siano estensioni di campi, con normale e stabile. Allora l'estensione è normale.
  2. Siano estensioni di campi, e supponiamo che sia normale e algebrica. Allora è stabile.
 
Dimostrazione
  1. Considero , e mostro che esiste tale che . Siccome è normale e sta in , esiste tale che . Se considero , ( perché è stabile), allora .
  2. Per la seconda parte è necessario il lemma dimostrato prima.Mostro che dato e , allora . Per ipotesi è algebrico su , allora posso considerare il polinomio minimo di su .Per il lemma precedente, si spezza in fattori lineari distinti in .D'altra parte, è una radice di , e quindi .
 

Sia , un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione , tale che . è un omomorfismo di gruppi, con

è l'isieme degli automorfismi di su (cioè che fissano elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di su .

Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:
Proposizione 2.4 (conseguenza)

Supponiamo che sia normale e di grado finito. Allora campo intermedio è stabile se e solo se è normale. Inoltre l'omomorfismo è suriettivo.

 
Dimostrazione

Osservo in particolare che il fatto che sia di grado finito implica che è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.

Per quanto riguarda la suriettività di , per il teorema fondamentale

 
Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:
Teorema 2.3

Sia un campo intermedio tra e , allora è un'estensione normale se e solo se è normale in , e in tal caso è isomorfo a .

 
Dimostrazione

Va giustificato solo il fatto che è normale se e solo se è normale in .

Dalla "conseguenza" segue che è stabile, allora è normale in per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, normale in implica che è stabile, ma siccome e' chiuso si ha e quindi è stabile.

 
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