Esempio di studio di estensione

Determinazione del grado dell'estensione

Sia , e studio l'estensione . Ora è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio , che è un polinomio in , e quindi è algebrico su .


Osservo che si può fattorizzare come

dove è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome , è radice di , cioè .


Vogliamo provare che è proprio il polinomio minimo di su .

Osservazione 2.7

Osservo che dato un anello commutativo unitario, e dati due elementi , posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) tale che e per ogni .


Se è un polinomio in , allora

Se è invertibile nell'anello , allora è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione) tale che , e .


In particolare, se è un campo, preso segue che tale che e è un isomorfismo, e quindi un polinomio è irriducibile in se e solo se lo è , con , .

 



In base all'osservazione precedente, mostrare che è irriducibile su equivale a mostrare che è irriducibile su .

(infatti e si elide con il già presente)
e per posso applicare Eisenstein (, per , non divide il coefficiente direttivo e non divide il termine noto), e quindi è irriducibile sopra , e lo è anche .

Osservazione 2.8

Più in generale se è un numero primo, si ha che . Chiamo , questo polinomio è irriducibile su per argomenti analoghi a quelli precedenti.


Infatti, come prima

e per , per il criterio di Eisenstein è irriducibile su .

 



Tornando a , abbiamo mostrato che è il polinomio minimo di . In particolare, contiene tutti (e soli) gli elementi della forma , tali che è radice di .


Segue che . Di più, è il campo di spezzamento di sopra , perché implica che e quindi contiene tutte le radici di .

Ordine ed elementi del gruppo di Galois G

Come vedremo, l'estensione è normale. Se chiamo , si ha che per il teorema fondamentale della teoria di Galois.


Sia , allora è ancora una radice di . D'altra parte, presa una radice di , considero la mappa tale che che fissa elemento per elemento e manda in . Osservo che , perché , infatti


INCLUSIONE 1: e quindi ;


INCLUSIONE 2: perché è polinomio minimo di ogni sua radice. è invertibile perché e sono primi tra loro, allora, per opportuni posso scrivere

cioè e quindi .


Si ha anche che è invertibile.


Posso scrivere gli elementi di :

dove .


Verifico le relazioni tra gli elementi di :

Allora è ciclico di ordine 4, se pongo , allora gli elementi di sono .

Corrispondenza di Galois

Essendo ciclico di ordine 4, ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è .


Segue che ha un solo campo intermedio , e .


Determiniamo esplicitamente gli elementi di , per definizione:

Osservo che
siccome è radice di , si ha , e sostituendo nell'espressione sopra ottengo
L'insieme è una base per , quindi chiedere che
equivale a chiedere che
da cui
quindi è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma
Se chiamo , si ha
allora , e il polinomio minimo di è .

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