Esempio di studio di estensione

m (Pywikibot v.2)
 
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'''Vogliamo provare che <math>\phi_5(x)</math> è proprio il polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>\mathbb Q</math>'''.
 
'''Vogliamo provare che <math>\phi_5(x)</math> è proprio il polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>\mathbb Q</math>'''.
  
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Osservo che dato un anello <math>A</math> commutativo unitario, e dati due elementi <math>a,b \in A</math>, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c</math> per ogni <math>c \in A</math>.
 
Osservo che dato un anello <math>A</math> commutativo unitario, e dati due elementi <math>a,b \in A</math>, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c</math> per ogni <math>c \in A</math>.
  
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In base all'osservazione precedente, mostrare che <math>\phi_5(x)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> equivale a mostrare che <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.<math display="block">\phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{x^5-1}{x-1}</math><math display="block">\phi_5(x+1) = \frac{(x+1)^5-1}{x+1-1} = \frac{(x+1)^5-1}{x}</math><math display="block">= 1/x \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^k</math>(infatti <math>\binom{5}{0} = 1</math> e si elide con il <math>-1</math> già presente)<math display="block">= \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^{k-1}</math><math display="block">= x^4+\binom{5}{4} x^3+\binom{5}{3} x^2+\binom{5}{2} x+\binom{5}{1}</math>e per <math>p=5</math> posso applicare Eisenstein (<math>p=5 \mid \binom{5}{k}</math>, per <math>k=1,\dots,4</math>, non divide il coefficiente direttivo e <math>p^2</math> non divide il termine noto), e quindi <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile sopra <math>\mathbb Q</math>, e lo è anche <math>\phi_5(x)</math>.
 
In base all'osservazione precedente, mostrare che <math>\phi_5(x)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> equivale a mostrare che <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.<math display="block">\phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{x^5-1}{x-1}</math><math display="block">\phi_5(x+1) = \frac{(x+1)^5-1}{x+1-1} = \frac{(x+1)^5-1}{x}</math><math display="block">= 1/x \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^k</math>(infatti <math>\binom{5}{0} = 1</math> e si elide con il <math>-1</math> già presente)<math display="block">= \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^{k-1}</math><math display="block">= x^4+\binom{5}{4} x^3+\binom{5}{3} x^2+\binom{5}{2} x+\binom{5}{1}</math>e per <math>p=5</math> posso applicare Eisenstein (<math>p=5 \mid \binom{5}{k}</math>, per <math>k=1,\dots,4</math>, non divide il coefficiente direttivo e <math>p^2</math> non divide il termine noto), e quindi <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile sopra <math>\mathbb Q</math>, e lo è anche <math>\phi_5(x)</math>.
  
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Più in generale se <math>p</math> è un numero primo, si ha che <math>x^p-1 = (x-1)*(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)</math>. Chiamo <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, questo polinomio è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> per argomenti analoghi a quelli precedenti.
 
Più in generale se <math>p</math> è un numero primo, si ha che <math>x^p-1 = (x-1)*(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)</math>. Chiamo <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, questo polinomio è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> per argomenti analoghi a quelli precedenti.
  

Versione attuale delle 15:27, 21 mag 2018

Determinazione del grado dell'estensione[modifica | modifica wikitesto]

Sia , e studio l'estensione . Ora è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio , che è un polinomio in , e quindi è algebrico su .

Osservo che si può fattorizzare come

dove è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome , è radice di , cioè .

Vogliamo provare che è proprio il polinomio minimo di su .

Osservazione 2.7

Osservo che dato un anello commutativo unitario, e dati due elementi , posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) tale che e per ogni .

Se è un polinomio in , allora

Se è invertibile nell'anello , allora è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione) tale che , e .

In particolare, se è un campo, preso segue che tale che e è un isomorfismo, e quindi un polinomio è irriducibile in se e solo se lo è , con , .

 

In base all'osservazione precedente, mostrare che è irriducibile su equivale a mostrare che è irriducibile su .

(infatti e si elide con il già presente)
e per posso applicare Eisenstein (, per , non divide il coefficiente direttivo e non divide il termine noto), e quindi è irriducibile sopra , e lo è anche .

Osservazione 2.8

Più in generale se è un numero primo, si ha che . Chiamo , questo polinomio è irriducibile su per argomenti analoghi a quelli precedenti.

Infatti, come prima

e per , per il criterio di Eisenstein è irriducibile su .

 

Tornando a , abbiamo mostrato che è il polinomio minimo di . In particolare, contiene tutti (e soli) gli elementi della forma , tali che è radice di .

Segue che . Di più, è il campo di spezzamento di sopra , perché implica che e quindi contiene tutte le radici di .

Ordine ed elementi del gruppo di Galois G[modifica | modifica wikitesto]

Come vedremo, l'estensione è normale. Se chiamo , si ha che per il teorema fondamentale della teoria di Galois.

Sia , allora è ancora una radice di . D'altra parte, presa una radice di , considero la mappa tale che che fissa elemento per elemento e manda in . Osservo che , perché , infatti

INCLUSIONE 1: e quindi ;

INCLUSIONE 2: perché è polinomio minimo di ogni sua radice. è invertibile perché e sono primi tra loro, allora, per opportuni posso scrivere

cioè e quindi .

Si ha anche che è invertibile.

Posso scrivere gli elementi di :

dove .

Verifico le relazioni tra gli elementi di :

Allora è ciclico di ordine 4, se pongo , allora gli elementi di sono .

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Essendo ciclico di ordine 4, ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è .

Segue che ha un solo campo intermedio , e .

Determiniamo esplicitamente gli elementi di , per definizione:

Osservo che
siccome è radice di , si ha , e sostituendo nell'espressione sopra ottengo
L'insieme è una base per , quindi chiedere che
equivale a chiedere che
da cui
quindi è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma
Se chiamo , si ha
allora , e il polinomio minimo di è .

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