Esempio di studio di estensione

m (Pywikibot v.2)
 
(2 versioni intermedie di un altro utente non mostrate)
Riga 2: Riga 2:
 
Sia <math>\omega = \cos(2\pi/5)+i \sin(2\pi/5)</math>, e studio l'estensione <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>. Ora <math>\omega</math> è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio <math>x^5-1</math>, che è un polinomio in <math>\mathbb Q[x]</math>, e quindi <math>\omega</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math>.
 
Sia <math>\omega = \cos(2\pi/5)+i \sin(2\pi/5)</math>, e studio l'estensione <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>. Ora <math>\omega</math> è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio <math>x^5-1</math>, che è un polinomio in <math>\mathbb Q[x]</math>, e quindi <math>\omega</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math>.
  
 
+
Osservo che <math>x^5-1</math> si può fattorizzare come<math display="block">x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = (x-1) \phi_5(x)</math>dove <math>\phi_5(x)</math> è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome <math>\omega \neq 1</math>, <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>, cioè <math>\phi_5(\omega)=0</math>.
Osservo che <math>x^5-1</math> si può fattorizzare come
 
<math display="block">x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = (x-1) \phi_5(x)</math>
 
dove <math>\phi_5(x)</math> è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome <math>\omega \neq 1</math>, <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>, cioè <math>\phi_5(\omega)=0</math>.
 
 
 
  
 
'''Vogliamo provare che <math>\phi_5(x)</math> è proprio il polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>\mathbb Q</math>'''.
 
'''Vogliamo provare che <math>\phi_5(x)</math> è proprio il polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>\mathbb Q</math>'''.
  
{{InizioOsservazione|titolo=|number=2.7|anchor=Osservazione2_7}}
+
{{InizioOsservazione|title=|number=2.7|anchor=Osservazione2_7}}
 
Osservo che dato un anello <math>A</math> commutativo unitario, e dati due elementi <math>a,b \in A</math>, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c</math> per ogni <math>c \in A</math>.
 
Osservo che dato un anello <math>A</math> commutativo unitario, e dati due elementi <math>a,b \in A</math>, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c</math> per ogni <math>c \in A</math>.
  
 
+
Se <math>f(x)</math> è un polinomio in <math>A[x]</math>, allora<math display="block">(f(x))^\phi = f(ax+b)</math>Se <math>a</math> è invertibile nell'anello <math>A</math>, allora <math>\phi</math> è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi^{-1}:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto a^{-1} x-a^{-1} b</math>, e <math>c \mapsto c,\; \forall c \in A</math>.
Se <math>f(x)</math> è un polinomio in <math>A[x]</math>, allora
 
<math display="block">(f(x))^\phi = f(ax+b)</math>
 
Se <math>a</math> è invertibile nell'anello <math>A</math>, allora <math>\phi</math> è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione) <math>\phi^{-1}:A[x] \to A[x]</math> tale che <math>x \mapsto a^{-1} x-a^{-1} b</math>, e <math>c \mapsto c,\; \forall c \in A</math>.
 
 
 
  
 
In particolare, se <math>F</math> è un campo, preso <math>a \neq 0</math> segue che <math>\phi:F[x] \to F[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c,\; \forall c \in F</math> è un isomorfismo, e quindi un polinomio <math>f(x) \in F[x]</math> è irriducibile in <math>F[x]</math> se e solo se lo è <math>f(x)^\phi = f(ax+b)</math>, con <math>a,b \in F</math>, <math>a \neq 0</math>.
 
In particolare, se <math>F</math> è un campo, preso <math>a \neq 0</math> segue che <math>\phi:F[x] \to F[x]</math> tale che <math>x \mapsto ax+b</math> e <math>c \mapsto c,\; \forall c \in F</math> è un isomorfismo, e quindi un polinomio <math>f(x) \in F[x]</math> è irriducibile in <math>F[x]</math> se e solo se lo è <math>f(x)^\phi = f(ax+b)</math>, con <math>a,b \in F</math>, <math>a \neq 0</math>.
 
{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
  
 +
In base all'osservazione precedente, mostrare che <math>\phi_5(x)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> equivale a mostrare che <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.<math display="block">\phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{x^5-1}{x-1}</math><math display="block">\phi_5(x+1) = \frac{(x+1)^5-1}{x+1-1} = \frac{(x+1)^5-1}{x}</math><math display="block">= 1/x \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^k</math>(infatti <math>\binom{5}{0} = 1</math> e si elide con il <math>-1</math> già presente)<math display="block">= \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^{k-1}</math><math display="block">= x^4+\binom{5}{4} x^3+\binom{5}{3} x^2+\binom{5}{2} x+\binom{5}{1}</math>e per <math>p=5</math> posso applicare Eisenstein (<math>p=5 \mid \binom{5}{k}</math>, per <math>k=1,\dots,4</math>, non divide il coefficiente direttivo e <math>p^2</math> non divide il termine noto), e quindi <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile sopra <math>\mathbb Q</math>, e lo è anche <math>\phi_5(x)</math>.
  
 
+
{{InizioOsservazione|title=|number=2.8|anchor=Osservazione2_8}}
 
 
In base all'osservazione precedente, mostrare che <math>\phi_5(x)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> equivale a mostrare che <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.
 
<math display="block">\phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{x^5-1}{x-1}</math><math display="block">\phi_5(x+1) = \frac{(x+1)^5-1}{x+1-1} = \frac{(x+1)^5-1}{x}</math><math display="block">= 1/x \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^k</math>
 
(infatti <math>\binom{5}{0} = 1</math> e si elide con il <math>-1</math> già presente)
 
<math display="block">= \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} x^{k-1}</math><math display="block">= x^4+\binom{5}{4} x^3+\binom{5}{3} x^2+\binom{5}{2} x+\binom{5}{1}</math>
 
e per <math>p=5</math> posso applicare Eisenstein (<math>p=5 \mid \binom{5}{k}</math>, per <math>k=1,\dots,4</math>, non divide il coefficiente direttivo e <math>p^2</math> non divide il termine noto), e quindi <math>\phi_5(x+1)</math> è irriducibile sopra <math>\mathbb Q</math>, e lo è anche <math>\phi_5(x)</math>.
 
 
 
{{InizioOsservazione|titolo=|number=2.8|anchor=Osservazione2_8}}
 
 
Più in generale se <math>p</math> è un numero primo, si ha che <math>x^p-1 = (x-1)*(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)</math>. Chiamo <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, questo polinomio è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> per argomenti analoghi a quelli precedenti.
 
Più in generale se <math>p</math> è un numero primo, si ha che <math>x^p-1 = (x-1)*(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)</math>. Chiamo <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, questo polinomio è irriducibile su <math>\mathbb Q</math> per argomenti analoghi a quelli precedenti.
  
 
+
Infatti, come prima<math display="block">\phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{x+1-1}</math><math display="block">= 1/x*\sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^k = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^{k-1}</math>e <math>p \mid \binom{p}{k}</math> per <math>k=1,\dots,p-1</math>, per il criterio di Eisenstein <math>\phi_p(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.
Infatti, come prima
 
<math display="block">\phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{x+1-1}</math><math display="block">= 1/x*\sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^k = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^{k-1}</math>
 
e <math>p \mid \binom{p}{k}</math> per <math>k=1,\dots,p-1</math>, per il criterio di Eisenstein <math>\phi_p(x+1)</math> è irriducibile su <math>\mathbb Q</math>.
 
 
{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
 
 
 
  
 
Tornando a <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>, abbiamo mostrato che <math>\phi_5(x)</math> è il polinomio minimo di <math>\omega</math>.
 
Tornando a <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math>, abbiamo mostrato che <math>\phi_5(x)</math> è il polinomio minimo di <math>\omega</math>.
 
In particolare, <math>\mathbb Q(\omega)</math> contiene tutti (e soli) gli elementi della forma <math>a+b\omega+c \omega^2+d\omega^3, \, a,b,c,d \in \mathbb Q</math>, tali che <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>.
 
In particolare, <math>\mathbb Q(\omega)</math> contiene tutti (e soli) gli elementi della forma <math>a+b\omega+c \omega^2+d\omega^3, \, a,b,c,d \in \mathbb Q</math>, tali che <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>.
 
 
  
 
Segue che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=4</math>. Di più, <math>\mathbb Q(\omega)</math> è il campo di spezzamento di <math>\phi_5(x)</math> sopra <math>\mathbb Q</math>, perché <math>\omega \in \mathbb Q(\omega)</math> implica che <math>\omega^2,\omega^3,\omega^4 \in \mathbb Q(\omega)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega)</math> contiene tutte le radici di <math>\phi_5(x)</math>.
 
Segue che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=4</math>. Di più, <math>\mathbb Q(\omega)</math> è il campo di spezzamento di <math>\phi_5(x)</math> sopra <math>\mathbb Q</math>, perché <math>\omega \in \mathbb Q(\omega)</math> implica che <math>\omega^2,\omega^3,\omega^4 \in \mathbb Q(\omega)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega)</math> contiene tutte le radici di <math>\phi_5(x)</math>.
Riga 52: Riga 29:
 
==Ordine ed elementi del gruppo di Galois G==
 
==Ordine ed elementi del gruppo di Galois G==
 
Come vedremo, '''l'estensione <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> è normale'''. Se chiamo <math>G = \mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math>, si ha che <math>o(G) = 4</math> per il teorema fondamentale della teoria di Galois.
 
Come vedremo, '''l'estensione <math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> è normale'''. Se chiamo <math>G = \mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q)</math>, si ha che <math>o(G) = 4</math> per il teorema fondamentale della teoria di Galois.
 
  
 
Sia <math>g \in G</math>, allora <math>\omega^g</math> è ancora una radice di <math>\phi_5(x)</math>. D'altra parte, presa una radice <math>\omega^i</math> di <math>\phi_5(x)</math>, considero la mappa tale che <math>H:\mathbb Q(\omega) \to \mathbb Q(\omega^i)</math> che fissa <math>\mathbb Q</math> elemento per elemento e manda <math>\omega</math> in <math>\omega^i</math>. Osservo che <math>h \in G</math>, perché '''<math>\mathbb Q(\omega^i) = \mathbb Q(\omega)</math>''', infatti
 
Sia <math>g \in G</math>, allora <math>\omega^g</math> è ancora una radice di <math>\phi_5(x)</math>. D'altra parte, presa una radice <math>\omega^i</math> di <math>\phi_5(x)</math>, considero la mappa tale che <math>H:\mathbb Q(\omega) \to \mathbb Q(\omega^i)</math> che fissa <math>\mathbb Q</math> elemento per elemento e manda <math>\omega</math> in <math>\omega^i</math>. Osservo che <math>h \in G</math>, perché '''<math>\mathbb Q(\omega^i) = \mathbb Q(\omega)</math>''', infatti
 
  
 
INCLUSIONE 1: <math>\omega^i \in \mathbb Q(\omega)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega^i) \subseteq \mathbb Q(\omega)</math>;
 
INCLUSIONE 1: <math>\omega^i \in \mathbb Q(\omega)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega^i) \subseteq \mathbb Q(\omega)</math>;
  
 
+
INCLUSIONE 2: <math>|\mathbb Q(\omega^i):\mathbb Q|=4</math> perché <math>\phi_5</math> è polinomio minimo di ogni sua radice. <math>\omega^i</math> è invertibile perché <math>i</math> e <math>5</math> sono primi tra loro, allora, per opportuni <math>s,t</math> posso scrivere<math display="block">1 = 5s+it, \, \longrightarrow \,  \omega = \omega^{5s+it}  = \omega^{i t}</math>cioè <math>\omega \in \mathbb Q(\omega^i)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega) \subseteq \mathbb Q(\omega^i)</math>.
INCLUSIONE 2: <math>|\mathbb Q(\omega^i):\mathbb Q|=4</math> perché <math>\phi_5</math> è polinomio minimo di ogni sua radice. <math>\omega^i</math> è invertibile perché <math>i</math> e <math>5</math> sono primi tra loro, allora, per opportuni <math>s,t</math> posso scrivere
 
<math display="block">1 = 5s+it, \, \longrightarrow \,  \omega = \omega^{5s+it}  = \omega^{i t}</math>
 
cioè <math>\omega \in \mathbb Q(\omega^i)</math> e quindi <math>\mathbb Q(\omega) \subseteq \mathbb Q(\omega^i)</math>.
 
 
 
 
 
  
 
Si ha anche che <math>h</math> è invertibile.
 
Si ha anche che <math>h</math> è invertibile.
  
 +
Posso scrivere gli elementi di <math>G</math>:<math display="block">G = \{1,g_2,g_3,g_4\},</math>dove <math>\omega^{g_i} = \omega^i</math>.
  
Posso scrivere gli elementi di <math>G</math>:
+
'''Verifico le relazioni tra gli elementi di <math>G</math>''':<math display="block">\omega^{g_2^2} = (\omega^{g_2})^{2} = \omega^4 = \omega^{g_4}, \, \longrightarrow \, g_2^2 = g_4</math><math display="block">\omega^{g_2^3} = \omega^{g_4*g_2} = (\omega^4)^{g_2} = (\omega^2)^4</math><math display="block">= \omega^8 =\omega^5*\omega^3 = \omega^3 = \omega^{g_3}, \, \longrightarrow \, g_2^3 = g_3</math>Allora '''<math>g</math> è ciclico di ordine 4''', se pongo <math>g_2 = g</math>, allora gli elementi di <math>g</math> sono <math>\{1,g,g^2,g^3 \}</math>.
<math display="block">G = \{1,g_2,g_3,g_4\},</math>
 
dove <math>\omega^{g_i} = \omega^i</math>.
 
 
 
 
 
 
 
'''Verifico le relazioni tra gli elementi di <math>G</math>''':
 
<math display="block">\omega^{g_2^2} = (\omega^{g_2})^{2} = \omega^4 = \omega^{g_4}, \, \longrightarrow \, g_2^2 = g_4</math><math display="block">\omega^{g_2^3} = \omega^{g_4*g_2} = (\omega^4)^{g_2} = (\omega^2)^4</math><math display="block">= \omega^8 =\omega^5*\omega^3 = \omega^3 = \omega^{g_3}, \, \longrightarrow \, g_2^3 = g_3</math>
 
 
 
Allora '''<math>g</math> è ciclico di ordine 4''', se pongo <math>g_2 = g</math>, allora gli elementi di <math>g</math> sono <math>\{1,g,g^2,g^3 \}</math>.
 
  
 
==Corrispondenza di Galois==
 
==Corrispondenza di Galois==
 
Essendo ciclico di ordine 4, <math>G</math> ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è <math>H = \{1, g^2\}</math>.
 
Essendo ciclico di ordine 4, <math>G</math> ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è <math>H = \{1, g^2\}</math>.
 
  
 
Segue che '''<math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> ha un solo campo intermedio <math>L = H' = \rm{Fix} (H)</math>, e <math>|L:\mathbb Q| = |G:H| = 2</math>'''.
 
Segue che '''<math>\mathbb Q(\omega) \supseteq \mathbb Q</math> ha un solo campo intermedio <math>L = H' = \rm{Fix} (H)</math>, e <math>|L:\mathbb Q| = |G:H| = 2</math>'''.
  
 
+
Determiniamo esplicitamente gli elementi di <math>L</math>, per definizione:<math display="block">L = H' = \{a+b\omega+c \omega^2+d\omega^3 \in \mathbb Q(\omega) \, t.c. \, (a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2} = a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3 \}</math>Osservo che<math display="block">(a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2}</math><math display="block">= a+b\omega^4+c(\omega^4)^2+d(\omega^4)^3</math><math display="block">= a+b\omega^4+c\omega^3+d\omega^2</math>siccome <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>, si ha <math>\omega^4 = -1-\omega-\omega^2-\omega^3</math>, e sostituendo nell'espressione sopra ottengo<math display="block">= a-b-b\omega-b\omega^2-b\omega^3+c\omega^3+d\omega^2</math><math display="block">= (a-b)-b\omega+(d-b) \omega^2+(c-b) \omega^3</math>L'insieme <math>\{1,\omega,\omega^2,\omega^3\}</math> è una base per <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|</math>, quindi chiedere che<math display="block">(a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2} = a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3</math>equivale a chiedere che<math display="block">\begin{cases}a-b =a \\ -b = b \\ d-b = c \\ c-b = d\end{cases}</math>da cui<math display="block">b=0, d=c</math>quindi '''<math>L</math> è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma'''
Determiniamo esplicitamente gli elementi di <math>L</math>, per definizione:
+
<math display="block">a+c\omega^2+c\omega^3 = a+c(\omega^2+\omega^3), \, a,c \in \mathbb Q.</math>Se chiamo <math>\alpha = \omega^2+\omega^3</math>, si ha<math display="block">\alpha^2 = (\omega^2+\omega^3)^2 = \omega^4+\omega^6+2\omega^5 = \omega^4+\omega+2 = -1-\omega-\omega^2-\omega^3+\omega+2 = 1-\omega^2-\omega^3 = 1-\alpha</math>allora <math>\alpha^2+\alpha-1 =0</math>, e il polinomio minimo di <math>\alpha</math> è <math>m(x) = x^2+x-1</math>.
<math display="block">L = H' = \{a+b\omega+c \omega^2+d\omega^3 \in \mathbb Q(\omega) \, t.c. \, (a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2} = a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3 \}</math>
 
Osservo che
 
<math display="block">(a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2}</math><math display="block">= a+b\omega^4+c(\omega^4)^2+d(\omega^4)^3</math><math display="block">= a+b\omega^4+c\omega^3+d\omega^2</math>
 
siccome <math>\omega</math> è radice di <math>\phi_5(x)</math>, si ha <math>\omega^4 = -1-\omega-\omega^2-\omega^3</math>, e sostituendo nell'espressione sopra ottengo
 
<math display="block">= a-b-b\omega-b\omega^2-b\omega^3+c\omega^3+d\omega^2</math><math display="block">= (a-b)-b\omega+(d-b) \omega^2+(c-b) \omega^3</math>
 
L'insieme <math>\{1,\omega,\omega^2,\omega^3\}</math> è una base per <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|</math>, quindi chiedere che
 
<math display="block">(a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3)^{g^2} = a+b\omega+c\omega^2+d\omega^3</math>
 
equivale a chiedere che
 
<math display="block">\begin{cases}a-b =a \\ -b = b \\ d-b = c \\ c-b = d\end{cases}</math>
 
da cui
 
<math display="block">b=0, d=c</math>
 
quindi '''<math>L</math> è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma
 
<math display="block">a+c\omega^2+c\omega^3 = a+c(\omega^2+\omega^3), \, a,c \in \mathbb Q.</math>'''
 
Se chiamo <math>\alpha = \omega^2+\omega^3</math>, si ha
 
<math display="block">\alpha^2 = (\omega^2+\omega^3)^2 = \omega^4+\omega^6+2\omega^5 = \omega^4+\omega+2 = -1-\omega-\omega^2-\omega^3+\omega+2 = 1-\omega^2-\omega^3 = 1-\alpha</math>
 
allora <math>\alpha^2+\alpha-1 =0</math>, e il polinomio minimo di <math>\alpha</math> è <math>m(x) = x^2+x-1</math>.
 

Versione attuale delle 15:27, 21 mag 2018

Determinazione del grado dell'estensione[modifica | modifica wikitesto]

Sia , e studio l'estensione . Ora è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio , che è un polinomio in , e quindi è algebrico su .

Osservo che si può fattorizzare come

dove è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome , è radice di , cioè .

Vogliamo provare che è proprio il polinomio minimo di su .

Osservazione 2.7

Osservo che dato un anello commutativo unitario, e dati due elementi , posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) tale che e per ogni .

Se è un polinomio in , allora

Se è invertibile nell'anello , allora è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione) tale che , e .

In particolare, se è un campo, preso segue che tale che e è un isomorfismo, e quindi un polinomio è irriducibile in se e solo se lo è , con , .

 

In base all'osservazione precedente, mostrare che è irriducibile su equivale a mostrare che è irriducibile su .

(infatti e si elide con il già presente)
e per posso applicare Eisenstein (, per , non divide il coefficiente direttivo e non divide il termine noto), e quindi è irriducibile sopra , e lo è anche .

Osservazione 2.8

Più in generale se è un numero primo, si ha che . Chiamo , questo polinomio è irriducibile su per argomenti analoghi a quelli precedenti.

Infatti, come prima

e per , per il criterio di Eisenstein è irriducibile su .

 

Tornando a , abbiamo mostrato che è il polinomio minimo di . In particolare, contiene tutti (e soli) gli elementi della forma , tali che è radice di .

Segue che . Di più, è il campo di spezzamento di sopra , perché implica che e quindi contiene tutte le radici di .

Ordine ed elementi del gruppo di Galois G[modifica | modifica wikitesto]

Come vedremo, l'estensione è normale. Se chiamo , si ha che per il teorema fondamentale della teoria di Galois.

Sia , allora è ancora una radice di . D'altra parte, presa una radice di , considero la mappa tale che che fissa elemento per elemento e manda in . Osservo che , perché , infatti

INCLUSIONE 1: e quindi ;

INCLUSIONE 2: perché è polinomio minimo di ogni sua radice. è invertibile perché e sono primi tra loro, allora, per opportuni posso scrivere

cioè e quindi .

Si ha anche che è invertibile.

Posso scrivere gli elementi di :

dove .

Verifico le relazioni tra gli elementi di :

Allora è ciclico di ordine 4, se pongo , allora gli elementi di sono .

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Essendo ciclico di ordine 4, ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è .

Segue che ha un solo campo intermedio , e .

Determiniamo esplicitamente gli elementi di , per definizione:

Osservo che
siccome è radice di , si ha , e sostituendo nell'espressione sopra ottengo
L'insieme è una base per , quindi chiedere che
equivale a chiedere che
da cui
quindi è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma
Se chiamo , si ha
allora , e il polinomio minimo di è .

 PrecedenteSuccessivo