Esempio di campo di spezzamento non normale

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<math>K</math> campo finito di caratteristica <math>p</math> avrà necessariamente ordine <math>p^n</math> per un certo <math>n \ge 1</math>.  Infatti <math>K</math> può essere considerato come spazio vettoriale su <math>F_p</math>. La dimensione di <math>K</math> come spazio vettoriale su <math>F_p</math> dev'essere necessariamente finita, diciamo <math>n</math>, allora esiste una base <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math> per <math>K</math> su <math>F_p</math>. Ogni elemento di <math>K</math> si scrive in modo unico come<math display="block">\sum_{i=1}^n a_i \alpha_i, \quad a_i \in F_p.</math>e quindi gli elementi di <math>K</math> sono <math>p^n</math> perché ciascun <math>a_i</math> può essere scelto in <math>p</math> modi.
 
<math>K</math> campo finito di caratteristica <math>p</math> avrà necessariamente ordine <math>p^n</math> per un certo <math>n \ge 1</math>.  Infatti <math>K</math> può essere considerato come spazio vettoriale su <math>F_p</math>. La dimensione di <math>K</math> come spazio vettoriale su <math>F_p</math> dev'essere necessariamente finita, diciamo <math>n</math>, allora esiste una base <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math> per <math>K</math> su <math>F_p</math>. Ogni elemento di <math>K</math> si scrive in modo unico come<math display="block">\sum_{i=1}^n a_i \alpha_i, \quad a_i \in F_p.</math>e quindi gli elementi di <math>K</math> sono <math>p^n</math> perché ciascun <math>a_i</math> può essere scelto in <math>p</math> modi.
  
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Un campo <math>K</math> ha <math>p^n</math> elementi se e solo se <math>K</math> è il campo di spezzamento su <math>F_p</math> di <math>f(x)=x^{p^n}-x</math>.
 
Un campo <math>K</math> ha <math>p^n</math> elementi se e solo se <math>K</math> è il campo di spezzamento su <math>F_p</math> di <math>f(x)=x^{p^n}-x</math>.
 
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Versione attuale delle 15:16, 21 mag 2018

Caratteristica di un campo finito[modifica | modifica wikitesto]

Dato un campo possiamo considerare l'applicazione tale che . è un omomorfismo di anelli, e . In particolare, siccome è un campo, è un dominio. Se è finito,

(se per assurdo fosse , contiene che sarebbe una copia isomorfa di e non sarebbe finito).

Perché sia un dominio, dev'essere con numero primo. Allora si dice che ha caratteristica . Notiamo anche che , dove pongo (campo con elementi). Identificando con , segue che è un sottocampo di ; in particolare coincide con il campo primo di ovvero l'intersezione di tutti i sottocampi di .

Ordine di un campo finito[modifica | modifica wikitesto]

campo finito di caratteristica avrà necessariamente ordine per un certo . Infatti può essere considerato come spazio vettoriale su . La dimensione di come spazio vettoriale su dev'essere necessariamente finita, diciamo , allora esiste una base per su . Ogni elemento di si scrive in modo unico come

e quindi gli elementi di sono perché ciascun può essere scelto in modi.

Teorema 2.6

Un campo ha elementi se e solo se è il campo di spezzamento su di .

 
Dimostrazione

: Sia un campo con , allora ha elementi ed è un gruppo; segue che per ogni , , equivalentemente per ogni , . Allora ha radici distinte in e pertanto si spezza in fattori lineari su . Siccome le radici di costituiscono tutto abbiamo che è campo di spezzamento di su . : Viceversa, prendo campo di spezzamento di su , sia l'insieme delle radici di in , cioè

Affermiamo che è un campo, infatti:

  • ;
  • chiusura rispetto alla somma: per , segue che , infatti
    dove nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica ;
  • chiusura rispetto al prodotto: dati , anche infatti si ha
  • chiusura rispetto agli inversi: per , infatti

se , infatti .

Segue che è un campo, la cardinalità di è perché e quindi non ha radici multiple.

contiene , allora deve necessariamente coincidere con .

 

Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo e un intero , esiste sempre un campo di ordine , e due campi di ordine sono isomorfi tra loro.

Normalità delle estensioni finite e gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Mostriamo che, dati campi finiti, l'estensione è normale, e è ciclico.

Mostro prima che basta considerare il caso in cui : in generale, considero la catena di estensioni , allora normale implica normale. Infatti, sia normale, allora è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora è anche campo di spezzamento su di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in devono dividere i fattori irriducibili in . Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che è normale. Inoltre, se è ciclico, anche , che è un sottogruppo in esso, è ciclico.

Consideriamo allora il caso , identificando con .

NORMALITÀ DI : L'estensione è normale perché è campo di spezzamento su di che non ha radici multiple. CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius tale che . Osservo che:

  1. è un omomorfismo perché#*;#*.
  2. è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché è un campo finito;
  3. fissa il campo elemento per elemento, cioè per ogni , .

Segue quindi che .

Determino l'ordine di e considero le sue potenze: per ogni , è tale che . Allora , perché è tale che .

Se per assurdo , esiste tale che , allora per ogni si avrebbe : quindi gli elementi di sarebbero radici del polinomio ; ma questo polinomio ha esattamente radici distinte, e gli elementi di sono , assurdo. Allora .

Segue quindi che contiene . Ma , e quindi coincide con il gruppo ciclico generato da .

Un gruppo ciclico di ordine ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine per ogni divisore di . Allora ha uno e un solo sottocampo di ordine per ogni divisore di .

Esempio di un campo di spezzamento non normale[modifica | modifica wikitesto]

In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.

Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile. Sia e un polinomio in monico e irriducibile; sia una radice di , e considero . Si ha , allora . è normale per le osservazioni precedenti, quindi è normale, e ammette una radice in . Segue quindi che si spezza su in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.

Questo argomento si può generalizzare al caso di con intero.

COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia , un'indeterminata su e consideriamo campo delle funzioni razionali nell'indeterminata a coefficienti in . Sia , campo delle funzioni razionali nell'indeterminata . Valgono le seguenti osservazioni:

  • , perché se lo fosse, si avrebbe dove sono polinomi in , . Sia e , allora
    e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè , che non può avvenire.
  • e è un'estensione algebrica semplice. Mostro che , e quindi che valgono le due inclusioni: perché e ; viceversa, , e quindi .

è algebrico su , perché può essere visto come radice del polinomio , a coefficienti in .

Inoltre, è il polinomio minimo di sopra . Infatti, in si ha (siamo in caratteristica e ). Se esiste una fattorizzazione non banale di in essa dev'essere della forma:

Sviluppando ottengo
Siccome i coefficienti di questo polinomio devono stare in , in particolare si ha , e siccome , , ma questo non avviene per quanto detto prima. Allora è irriducibile su ed è il polinomio minimo di su . Ha come unica radice di molteplicità .

  • Il gruppo si riduce all'identità. Infatti, siccome è un'estensione algebrica semplice di , si ha . Allora preso , dev'essere radice di , però l'unica radice di è , allora , cioè fissa e fissa , quindi fissa , cioè .
  • è campo di spezzamento di su , e non è normale perché non è separabile.
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