Esempio di campo di spezzamento non normale

(Nessuna differenza)

Versione delle 15:04, 22 set 2017

Caratteristica di un campo finito

Dato un campo possiamo considerare l'applicazione tale che . è un omomorfismo di anelli, e . In particolare, siccome è un campo, è un dominio. Se è finito,

(se per assurdo fosse , contiene che sarebbe una copia isomorfa di e non sarebbe finito).


Perché sia un dominio, dev'essere con numero primo. Allora si dice che ha caratteristica .


Notiamo anche che , dove pongo (campo con elementi). Identificando con , segue che è un sottocampo di ; in particolare coincide con il campo primo di ovvero l'intersezione di tutti i sottocampi di .

Ordine di un campo finito

campo finito di caratteristica avrà necessariamente ordine per un certo . Infatti può essere considerato come spazio vettoriale su . La dimensione di come spazio vettoriale su dev'essere necessariamente finita, diciamo , allora esiste una base per su . Ogni elemento di si scrive in modo unico come

e quindi gli elementi di sono perché ciascun può essere scelto in modi.


Teorema 2.6

Un campo ha elementi se e solo se è il campo di spezzamento su di .

 
Dimostrazione

Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : Sia un campo con , allora ha elementi ed è un gruppo; segue che per ogni , , equivalentemente per ogni , . Allora ha radici distinte in e pertanto si spezza in fattori lineari su . Siccome le radici di costituiscono tutto abbiamo che è campo di spezzamento di su .


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 1} : Viceversa, prendo campo di spezzamento di su , sia l'insieme delle radici di in , cioè

Affermiamo che è un campo, infatti:

  • ;
  • chiusura rispetto alla somma: per , segue che , infatti

dove nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica ;

  • chiusura rispetto al prodotto: dati , anche infatti si ha

  • chiusura rispetto agli inversi: per , infatti

se , infatti .

Segue che è un campo, la cardinalità di è perché e quindi non ha radici multiple.

contiene , allora deve necessariamente coincidere con .

 


Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo e un intero , esiste sempre un campo di ordine , e due campi di ordine sono isomorfi tra loro.

Normalità delle estensioni finite e gruppo di Galois

Mostriamo che, dati campi finiti, l'estensione è normale, e è ciclico.


Mostro prima che basta considerare il caso in cui : in generale, considero la catena di estensioni , allora normale implica normale. Infatti, sia normale, allora è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora è anche campo di spezzamento su di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in devono dividere i fattori irriducibili in . Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che è normale. Inoltre, se è ciclico, anche , che è un sottogruppo in esso, è ciclico.


Consideriamo allora il caso , identificando con .


NORMALITÀ DI Errore del parser (funzione sconosciuta '\SUPSETEQ'): {\displaystyle M \SUPSETEQ K} : L'estensione è normale perché è campo di spezzamento su di che non ha radici multiple.


CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius tale che . Osservo che:

  1. è un omomorfismo perché#*;#*.
  2. è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché è un campo finito;
  3. fissa il campo elemento per elemento, cioè per ogni , .

Segue quindi che .


Determino l'ordine di e considero le sue potenze: per ogni , è tale che . Allora , perché è tale che .


Se per assurdo , esiste tale che , allora per ogni si avrebbe : quindi gli elementi di sarebbero radici del polinomio ; ma questo polinomio ha esattamente radici distinte, e gli elementi di sono , assurdo. Allora .


Segue quindi che contiene . Ma , e quindi coincide con il gruppo ciclico generato da .


Un gruppo ciclico di ordine ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine per ogni divisore di . Allora ha uno e un solo sottocampo di ordine per ogni divisore di .

Esempio di un campo di spezzamento non normale

In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.


Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile. Sia e un polinomio in monico e irriducibile; sia una radice di , e considero . Si ha , allora . è normale per le osservazioni precedenti, quindi è normale, e ammette una radice in . Segue quindi che si spezza su in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.


Questo argomento si può generalizzare al caso di con intero.


COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia , un'indeterminata su e consideriamo campo delle funzioni razionali nell'indeterminata a coefficienti in . Sia , campo delle funzioni razionali nell'indeterminata . Valgono le seguenti osservazioni:

  • , perché se lo fosse, si avrebbe dove sono polinomi in , . Sia e , allora

e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè , che non può avvenire.

  • e è un'estensione algebrica semplice. Mostro che , e quindi che valgono le due inclusioni: perché e ; viceversa, , e quindi .


è algebrico su , perché può essere visto come radice del polinomio , a coefficienti in .


Inoltre, è il polinomio minimo di sopra . Infatti, in si ha (siamo in caratteristica e ). Se esiste una fattorizzazione non banale di in essa dev'essere della forma:

Sviluppando ottengo
Siccome i coefficienti di questo polinomio devono stare in , in particolare si ha , e siccome , , ma questo non avviene per quanto detto prima. Allora è irriducibile su ed è il polinomio minimo di su . Ha come unica radice di molteplicità .

  • Il gruppo si riduce all'identità. Infatti, siccome è un'estensione algebrica semplice di , si ha . Allora preso , dev'essere radice di , però l'unica radice di è , allora , cioè fissa e fissa , quindi fissa , cioè .
  • è campo di spezzamento di su , e non è normale perché non è separabile.
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