Condizioni equivalenti alla normalità di un'estensione

Teorema 2.5

Sia un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

  1. è un'estensione normale
  2. è separabile su e è campo di spezzamento di un polinomio su .
  3. è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
 
Dimostrazione

Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : prima mostro che è separabile su . Prendo , e considero il suo polinomio minimo . Poiché ammette una radice e l'estensione è normale, allora si spezza su in fattori lineari distinti (per un risultato sulle estensioni normali dimostrato parlando di stabilita', precisamente il Lemma 0.2.4 della Lezione del 17 marzo). Allora è separabile pertanto lo è .


Consideriamo ora una base per su ; siccome è finita ciascun è algebrico su , e sia il polinomio minimo di su . Poniamo . Mostro che è campo di spezzamento di su .


Ciascun si spezza su in fattori lineari (distinti), e quindi anche si spezza su in fattori lineari. Osservo che , infatti ovviamente , e viceversa, siccome gli sono una base per su , ogni elemento si può scrivere come

allora .


Sia il campo di spezzamento di su . Siccome si spezza in fattori lineari su , per la minimalità di . Viceversa, e essendo radici di . Ma è un campo e quindi contiene .


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 3} : per ipotesi è il campo di spezzamento su di un certo polinomio a coefficienti in . Sia

la fattorizzazione in irriducibili di in . Ciascun è il polinomio minimo di ogni sua radice, e le radici di ciascun sono tutte in . Dall'ipotesi che è separabile segue che ogni dev'essere separabile.


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 3 \LONGRIGHTARROW 1} : per mostrare che è normale è sufficiente mostrare che con . Infatti, sappiamo che , e , inoltre è sempre normale. Consideriamo la catena di estensioni . Allora ; di conseguenza, per la normalità di , , quindi

Se provo che , sostituendo nella formula precedente ottengo che , cioè cioè , e quindi è normale.


Per mostrare la relazione, procedo per induzione sul grado di su . Se , non c'è niente da dimostrare, perché . Allora posso supporre . Per ipotesi è campo di spezzamento su di un polinomio , i cui fattori irriducibili sono separabili. significa che ammette un fattore irriducibile di grado . Considero radice di , che esiste perché è campo di spezzamento di , e sia . è separabile quindi .


Pongo . agisce su e lo stabilizzatore di (indicato con ) è . Allora (cardinalità dell'orbita). Inoltre agisce transitivamente su , infatti dato , esiste un isomorfismo tale che e . è campo di spezzamento per su , e quindi anche per sia su che su . Allora, per un lemma dimostrato parlando dell'unicità dei campi di spezzamento, si solleva a un automorfismo di che manda in ed è l'identità su , cioè esiste con . Allora , e (relazione 1).


Considero la catena di estensioni , e perché . è campo di spezzamento per su e quindi anche per su . I fattori irriducibili di in dividono quelli di in . Allora siccome i secondi sono separabili, anche i primi sono separabili. Per induzione, .


Per concludere, sfruttando l'ipotesi induttiva e il fatto che , si ha

 


Da questa dimostrazione si evince il seguente fatto: sia un'estensione di campi, con campo di spezzamento su di un certo polinomio . Sia un polinomio irriducibile e sia

Se , allora agisce transitivamente su .

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