Chiusura spezzante e chiusura normale

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Siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, e supponiamo che <math>M</math> sia campo di spezzamento su <math>L</math> di un polinomio <math>f(x)</math> a coefficienti in <math>K</math>. Supponiamo anche che <math>L</math> si ottenga da <math>K</math> estendendolo con alcune radici di <math>f</math>. Allora <math>M</math> è anche campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f</math>.
 
Siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, e supponiamo che <math>M</math> sia campo di spezzamento su <math>L</math> di un polinomio <math>f(x)</math> a coefficienti in <math>K</math>. Supponiamo anche che <math>L</math> si ottenga da <math>K</math> estendendolo con alcune radici di <math>f</math>. Allora <math>M</math> è anche campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f</math>.
 
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#Viceversa, per definizione <math>K \subseteq M_0</math>, <math>\alpha_i \in M_0 \forall i=1,\dots,r</math> e quindi <math>L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_r) \subset M_0</math>;  siccome <math>f</math> si spezza su <math>M_0</math>, <math>M \subseteq M_0</math> per la minimalità di <math>M</math> come campo di spezzamento su <math>L</math>.
 
#Viceversa, per definizione <math>K \subseteq M_0</math>, <math>\alpha_i \in M_0 \forall i=1,\dots,r</math> e quindi <math>L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_r) \subset M_0</math>;  siccome <math>f</math> si spezza su <math>M_0</math>, <math>M \subseteq M_0</math> per la minimalità di <math>M</math> come campo di spezzamento su <math>L</math>.
 
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Vale la seguente proposizione:
 
Vale la seguente proposizione:
  
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti queste due affermazioni:
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti queste due affermazioni:
  
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<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: per ipotesi <math>M</math> è campo di spezzamento di un polinomio <math>f(x)</math> su <math>K</math>. Sia <math>g(x) \in K[x]</math> un polinomio monico e irriducibile che ammette una radice <math>\alpha</math> in <math>M</math>. Per assurdo, supponiamo che esista un elemento <math>\beta</math> con <math>g(\beta)=0</math> e <math>\beta \notin M</math>. Considero il diagramma fatto in questo modo:
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: per ipotesi <math>M</math> è campo di spezzamento di un polinomio <math>f(x)</math> su <math>K</math>. Sia <math>g(x) \in K[x]</math> un polinomio monico e irriducibile che ammette una radice <math>\alpha</math> in <math>M</math>. Per assurdo, supponiamo che esista un elemento <math>\beta</math> con <math>g(\beta)=0</math> e <math>\beta \notin M</math>. Considero il diagramma fatto in questo modo:
 
 
 
 
 
DESCRIZIONE:
 
DESCRIZIONE:
  
 
(in particolare <math>M</math> non contiene <math>K(\beta)</math>)
 
(in particolare <math>M</math> non contiene <math>K(\beta)</math>)
  
 
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RAPPRESENTAZIONE:<math display="block">\begin{array}{ccccc}M(\beta) & & & & \\\uparrow &\diagdown & & & \\M & & \diagdown & & \\\uparrow & & & \diagdown & \\K(\alpha) & & & & K(\beta) \\& \diagdown & & \diagup & \\ & & K &  &  \end{array}</math>Esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha) \to K(\beta)</math>  tale che <math>\alpha \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K}=1_K</math>. Considero la catena di estensioni <math>M \supseteq K(\alpha) \supseteq K</math>. Osservo che <math>M</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, e quindi lo è anche su <math>K(\alpha)</math>.
RAPPRESENTAZIONE:
 
<math display="block">\begin{array}{ccccc}M(\beta) & & & & \\\uparrow &\diagdown & & & \\M & & \diagdown & & \\\uparrow & & & \diagdown & \\K(\alpha) & & & & K(\beta) \\& \diagdown & & \diagup & \\ & & K &  &  \end{array}</math>
 
 
 
Esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha) \to K(\beta)</math>  tale che <math>\alpha \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K}=1_K</math>. Considero la catena di estensioni <math>M \supseteq K(\alpha) \supseteq K</math>. Osservo che <math>M</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, e quindi lo è anche su <math>K(\alpha)</math>.
 
 
 
  
 
Inoltre <math>M(\beta)</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K(\beta)</math>: infatti sia <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\beta)</math>, allora valgono le due inclusioni:
 
Inoltre <math>M(\beta)</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K(\beta)</math>: infatti sia <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\beta)</math>, allora valgono le due inclusioni:
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*Viceversa, <math>f</math> si spezza su <math>M_0</math> e <math>M_0 \supseteq K</math>, e quindi per la minimalità di <math>M</math> come campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, <math>M \subseteq M_0</math>.
 
*Viceversa, <math>f</math> si spezza su <math>M_0</math> e <math>M_0 \supseteq K</math>, e quindi per la minimalità di <math>M</math> come campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, <math>M \subseteq M_0</math>.
 
Inoltre <math>\beta \in M_0</math> (<math>M_0</math> infatti contiene <math>K(\beta)</math>) e quindi <math>M_0 \supseteq M(\beta)</math>.
 
Inoltre <math>\beta \in M_0</math> (<math>M_0</math> infatti contiene <math>K(\beta)</math>) e quindi <math>M_0 \supseteq M(\beta)</math>.
 
  
 
Allora <math>\sigma</math> si solleva a un isomorfismo <math>\bar \sigma:M \to M(\beta)</math>, tale che <math>\bar \sigma_{|_K} = 1_K</math>, e che conserva le dimensioni su <math>K</math>, cioè <math>|M(\beta):K| = |M:K|</math>, ma per il teorema della torre vale anche la relazione <math>|M(\beta):K| = |M(\beta):M|*|M:K|</math>, cioè <math>|M(\beta):M|=1</math> e quindi <math>M(\beta)=M</math> e questo è assurdo perché abbiamo scelto <math>\beta \notin M</math>.
 
Allora <math>\sigma</math> si solleva a un isomorfismo <math>\bar \sigma:M \to M(\beta)</math>, tale che <math>\bar \sigma_{|_K} = 1_K</math>, e che conserva le dimensioni su <math>K</math>, cioè <math>|M(\beta):K| = |M:K|</math>, ma per il teorema della torre vale anche la relazione <math>|M(\beta):K| = |M(\beta):M|*|M:K|</math>, cioè <math>|M(\beta):M|=1</math> e quindi <math>M(\beta)=M</math> e questo è assurdo perché abbiamo scelto <math>\beta \notin M</math>.
  
 
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<math>2 \longrightarrow 1</math>: per ipotesi, <math>M</math> è un'estensione di <math>K</math> di grado finito. Considero una base <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}</math> di <math>M</math> su <math>K</math>, ogni <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K</math>, allora posso considerare il polinomio minimo <math>f_i(x) \in K[x]</math> di <math>\alpha_i</math> per ogni <math>i</math>. Pongo <math>f(x) = \prod_{i=1}^r f_i(x)</math>. Ciascun <math>f_i(x)</math> ammette una radice <math>\alpha_i \in M</math>; allora per ipotesi <math>f_i(x)</math> si spezza in fattori lineari su <math>M</math>, e lo stesso è vero per <math>f(x)</math>. '''Voglio mostrare che <math>M</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>'''. La minimalità segue dal fatto che <math>M = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> (se <math>M_0</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, sia <math>K</math> che <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math> stanno in <math>M_0</math>, e quindi <math>M \subseteq M_0</math>).
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: per ipotesi, <math>M</math> è un'estensione di <math>K</math> di grado finito. Considero una base <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}</math> di <math>M</math> su <math>K</math>, ogni <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K</math>, allora posso considerare il polinomio minimo <math>f_i(x) \in K[x]</math> di <math>\alpha_i</math> per ogni <math>i</math>. Pongo <math>f(x) = \prod_{i=1}^r f_i(x)</math>. Ciascun <math>f_i(x)</math> ammette una radice <math>\alpha_i \in M</math>; allora per ipotesi <math>f_i(x)</math> si spezza in fattori lineari su <math>M</math>, e lo stesso è vero per <math>f(x)</math>. '''Voglio mostrare che <math>M</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>'''. La minimalità segue dal fatto che <math>M = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> (se <math>M_0</math> è campo di spezzamento per <math>f(x)</math> su <math>K</math>, sia <math>K</math> che <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math> stanno in <math>M_0</math>, e quindi <math>M \subseteq M_0</math>).
 
 
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Sia <math>L \supseteq K</math> è un'estensione di grado finito.  Allora esiste <math>M</math> campo tale che <math>M \supseteq L \supseteq K</math> che soddisfa queste due proprietà:
 
Sia <math>L \supseteq K</math> è un'estensione di grado finito.  Allora esiste <math>M</math> campo tale che <math>M \supseteq L \supseteq K</math> che soddisfa queste due proprietà:
  
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Data un'estensione <math>M \supseteq K</math> di grado finito, il campo <math>M</math> di cui la proposizione precedente afferma l'esistenza si dice ''chiusura spezzante'' di <math>L</math> su <math>K</math>. Se <math>L</math> come estensione di <math>K</math> è separabile, <math>M \supseteq K</math> è normale e in questo caso <math>M</math> si dice ''chiusura normale'' di <math>L</math> su <math>K</math>.
 
Data un'estensione <math>M \supseteq K</math> di grado finito, il campo <math>M</math> di cui la proposizione precedente afferma l'esistenza si dice ''chiusura spezzante'' di <math>L</math> su <math>K</math>. Se <math>L</math> come estensione di <math>K</math> è separabile, <math>M \supseteq K</math> è normale e in questo caso <math>M</math> si dice ''chiusura normale'' di <math>L</math> su <math>K</math>.
 
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Il fatto che se <math>L \supseteq K</math> è separabile allora <math>M \supseteq K</math>  è normale è vero perché <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f(x)=\prod_{i=1}^r f_i(x)</math>, dove <math>f_i(x)</math> è il polinomio minimo di <math>\alpha_i \in L</math>; se suppongo che <math>L</math> è separabile su <math>K</math>, allora <math>f_i(x)</math> dev'essere un polinomio separabile per ogni <math>i</math>, e quindi <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
 
Il fatto che se <math>L \supseteq K</math> è separabile allora <math>M \supseteq K</math>  è normale è vero perché <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f(x)=\prod_{i=1}^r f_i(x)</math>, dove <math>f_i(x)</math> è il polinomio minimo di <math>\alpha_i \in L</math>; se suppongo che <math>L</math> è separabile su <math>K</math>, allora <math>f_i(x)</math> dev'essere un polinomio separabile per ogni <math>i</math>, e quindi <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
 
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{{InizioOsservazione|title=come ottenere $M$ da $L$|number=2.16|anchor=Osservazione2_16}}
 
Considero una base <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\}</math> di <math>L</math> su <math>K</math> e considero il polinomio minimo <math>f_i(x)</math> di <math>\alpha_i</math>, per <math>i=1,\dots,r</math>.  Pongo <math>f(x) = \prod_{i=1}^r f_i(x)</math>, e sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>L</math>, allora <math>M</math> contiene tutte le radici di ciascun <math>f_i(x)</math>.
 
Considero una base <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\}</math> di <math>L</math> su <math>K</math> e considero il polinomio minimo <math>f_i(x)</math> di <math>\alpha_i</math>, per <math>i=1,\dots,r</math>.  Pongo <math>f(x) = \prod_{i=1}^r f_i(x)</math>, e sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>L</math>, allora <math>M</math> contiene tutte le radici di ciascun <math>f_i(x)</math>.
 
  
 
Siano <math>\alpha_i,\beta</math> radici di <math>f_i(x)</math>. Esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha_i) \to K(\beta)</math> tale che <math>\alpha_i \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K} = 1_K</math>. <math>M</math> è anche campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\alpha_i)</math> e <math>K(\beta)</math>. Allora <math>\sigma</math> si solleva a un elemento <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, tale che <math>\alpha_i^g = \beta \in M</math>.  D'altra parte <math>\alpha_i^g \in L^g</math>, e <math>M</math> è generato da <math>(L^g)_{g \in \mathcal G(M/K)}</math>.
 
Siano <math>\alpha_i,\beta</math> radici di <math>f_i(x)</math>. Esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha_i) \to K(\beta)</math> tale che <math>\alpha_i \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K} = 1_K</math>. <math>M</math> è anche campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\alpha_i)</math> e <math>K(\beta)</math>. Allora <math>\sigma</math> si solleva a un elemento <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, tale che <math>\alpha_i^g = \beta \in M</math>.  D'altra parte <math>\alpha_i^g \in L^g</math>, e <math>M</math> è generato da <math>(L^g)_{g \in \mathcal G(M/K)}</math>.
 
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{{FineOsservazione}}

Versione attuale delle 14:34, 21 mag 2018

Osservazione 2.14

Siano estensioni di campi, e supponiamo che sia campo di spezzamento su di un polinomio a coefficienti in . Supponiamo anche che si ottenga da estendendolo con alcune radici di . Allora è anche campo di spezzamento su di .

 
Dimostrazione

è campo di spezzamento di su , allora si spezza in fattori lineari su . Scriviamo poi dove per . Sia il campo di spezzamento di su , mostro che valgono le due inclusioni:

  1. perché contiene e contiene le radici di essendo campo di spezzamento di su .
  2. Viceversa, per definizione , e quindi ; siccome si spezza su , per la minimalità di come campo di spezzamento su .
 

Vale la seguente proposizione:

Proposizione 2.6

Sia un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti queste due affermazioni:

  1. è campo di spezzamento su (di un certo polinomio a coefficienti in );
  2. per ogni polinomio monico e irriducibile , se ammette una radice in , allora ammette tutte le sue radici in (o equivalentemente, si spezza in fattori lineari su ).
 
Dimostrazione

: per ipotesi è campo di spezzamento di un polinomio su . Sia un polinomio monico e irriducibile che ammette una radice in . Per assurdo, supponiamo che esista un elemento con e . Considero il diagramma fatto in questo modo: DESCRIZIONE:

(in particolare non contiene )

RAPPRESENTAZIONE:

Esiste un isomorfismo tale che e . Considero la catena di estensioni . Osservo che è campo di spezzamento per su , e quindi lo è anche su .

Inoltre è campo di spezzamento per su : infatti sia il campo di spezzamento di su , allora valgono le due inclusioni:

  • e si spezza su , allora per la minimalità di , ;
  • Viceversa, si spezza su e , e quindi per la minimalità di come campo di spezzamento per su , .

Inoltre ( infatti contiene ) e quindi .

Allora si solleva a un isomorfismo , tale che , e che conserva le dimensioni su , cioè , ma per il teorema della torre vale anche la relazione , cioè e quindi e questo è assurdo perché abbiamo scelto .

: per ipotesi, è un'estensione di di grado finito. Considero una base di su , ogni è algebrico su , allora posso considerare il polinomio minimo di per ogni . Pongo . Ciascun ammette una radice ; allora per ipotesi si spezza in fattori lineari su , e lo stesso è vero per . Voglio mostrare che è campo di spezzamento per su . La minimalità segue dal fatto che (se è campo di spezzamento per su , sia che stanno in , e quindi ).

 


Proposizione 2.7 (esistenza della chiusura spezzante)

Sia è un'estensione di grado finito. Allora esiste campo tale che che soddisfa queste due proprietà:

  1. è campo di spezzamento su ;
  2. nessun campo compreso tra e e diverso da è campo di spezzamento su .

Inoltre se è un campo con e soddisfa le proprietà 1 e 2, allora esiste un isomorfismo tale che .

 
Dimostrazione

Per ipotesi, è un'estensione di di grado finito, e quindi posso considerare base di su . Sia il polinomio minimo di su , e sia . Sia il campo di spezzamento su di . Mostro che soddisfa le due richieste della proposizione:

  1. si ottiene estendendo con alcune radici di , cioè , e è campo di spezzamento per su . Segue quindi che è campo di spezzamento di su .
  2. sia un campo tale che , e suppongo che sia campo di spezzamento per su . Ora allora per perché . Il polinomio minimo di ammette una radice in , e è campo di spezzamento su , perciò si spezza su . Allora anche si spezza in fattori lineari su , e contiene , pertanto contiene che è campo di spezzameno di su . L'altra inclusione vale per ipotesi, allora .

Infine, sia un campo con , che soddisfa le condizioni 1 e 2. Con argomenti analoghi ai precedenti segue che esiste un isomorfismo che è l'identità su , perché sono campi di spezzamento dello stesso polinomio su .

 


Definizione 2.6

Data un'estensione di grado finito, il campo di cui la proposizione precedente afferma l'esistenza si dice chiusura spezzante di su . Se come estensione di è separabile, è normale e in questo caso si dice chiusura normale di su .

 


Osservazione 2.15

Il fatto che se è separabile allora è normale è vero perché è campo di spezzamento su di , dove è il polinomio minimo di ; se suppongo che è separabile su , allora dev'essere un polinomio separabile per ogni , e quindi è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.

 


Osservazione 2.16 (come ottenere $M$ da $L$)

Considero una base di su e considero il polinomio minimo di , per . Pongo , e sia il campo di spezzamento di su , allora contiene tutte le radici di ciascun .

Siano radici di . Esiste un isomorfismo tale che e . è anche campo di spezzamento di su e . Allora si solleva a un elemento , tale che . D'altra parte , e è generato da .

 
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