Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito

Separabilità

Proposizione 2.5

Sia un campo, un polinomio non nullo, una chiusura algebrica di . Allora un elemento , con , è una radice multipla di (cioè ) se e solo se, posto la derivata formale di , .

 
Dimostrazione

: se è una radice multipla di , allora , e derivando ottengo

e valutando in , ovviamente .

: viceversa, so che è una radice di , quindi . Derivando:

Se valuto in , siccome per ipotesi , segue che , e quindi e e , cioè è radice multipla di .

 


Osservazione 2.10

Sia un campo, una chiusura algebrica di , e un polinomio in . Allora

  1. ha una radice multipla se e solo se, detto , risulta .In tal caso le radici multiple di sono tutte e sole le radici di .
  2. se inoltre è irriducibile, ha radici multiple se e solo se .
 
Dimostrazione
  1. è una radice multipla di se e solo se , quindi se e solo se e , cioè , ovvero è una radice di .
  2. siccome è irriducibile, oppure . Si esclude la possibilità altrimenti non avrebbe radici multiple, e quindi ha radici multiple se e solo se , ma allora . Se questo non è possibile perché ha grado minore di . L'unica possibilità è quindi .
 


Definizione 2.5
  • Siano un campo, una chiusura algebrica di , sia un polinomio irriducibile, dico che è separabile su se le sue radici in sono tutte distinte.
  • Data un'estensione di campi , allora algebrico su si dice separabile (su ) se è separabile il polinomio minimo di in .
  • Se è algebrica, dico che è separabile su se ogni elemento di è separabile su .
 


Osservazione 2.11

Sia un campo, un polinomio non costante, allora

  • se la caratteristica di è 0, la derivata è un polinomio non nullo.
  • Se la caratteristica di è un numero primo positivo, se e solo se

per polinomio in .

 
Dimostrazione

quindi
e in un campo di caratteristica 0, implica ovvero .

In caratteristica ,

quando . Questo accade se oppure .

Se divide il monomio non e' presente in . Rimangono allora in i monomi con . Segue che è della forma .

Se chiamo , si ha che . E' anche chiaro che, viceversa, se allora .

 

In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.

In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile.
Teorema 2.4

Sia un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti

  1. l'estensione è normale
  2. è separabile su e è campo di spezzamento su
  3. è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
 
Prima della dimostrazione sono necessarie le seguenti osservazioni.
Osservazione 2.12

Supponiamo di avere una catena di estensioni , e supponiamo che sia un campo di spezzamento di su . Allora è campo di spezzamento di su .

 
Dimostrazione

Posso considerare come un polinomio a coefficienti in , si spezza in fattori lineari in perché è campo di spezzamento di su per ipotesi. Devo provare la minimalità di . Se chiamo il campo di spezzamento di su , allora per la minimalità di come campo di spezzamento. Viceversa, siccome è campo di spezzamento di su allora contiene e dunque contiene e contiene tutte le radici di . Segue che , cioè, per le due inclusioni, .

 


Osservazione 2.13

Se è campo di spezzamento su di un polinomio e è generato su da alcune radici di , allora è campo di spezzamento di su .

 
Dimostrazione

Sia il campo di spezzamento di su e mostro che .

Inclusione 1: si spezza su , e quindi per la minimalità di .

Inclusione 2: Sia con radice di . Allora contiene essendo campo di spezzamento di su , e contiene tutte le radici di , quindi contiene .

Si ha quindi .

 
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