Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito

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==Separabilità==
 
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Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non nullo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in \bar K</math>, con <math>f(\alpha)=0</math>,  è una radice multipla di <math>f(x)</math> (cioè <math>(x-\alpha)^2 \mid f(x)</math>) se e solo se, posto <math>f'(x)</math> la derivata formale di <math>f(x)</math>, <math>f'(\alpha)=0</math>.
 
Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non nullo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in \bar K</math>, con <math>f(\alpha)=0</math>,  è una radice multipla di <math>f(x)</math> (cioè <math>(x-\alpha)^2 \mid f(x)</math>) se e solo se, posto <math>f'(x)</math> la derivata formale di <math>f(x)</math>, <math>f'(\alpha)=0</math>.
 
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<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: se <math>\alpha</math> è una radice multipla di <math>f(x)</math>, allora <math>f(x) = (x-\alpha)^2*g(x)</math>, e derivando ottengo
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<math display="block">f'(x) = h(x)+(x-\alpha) h'(x)</math>Se valuto in <math>\alpha</math>, siccome per ipotesi <math>f'(\alpha)=0</math>, segue che <math>h(\alpha)=0</math>, e quindi <math>x-\alpha \mid h(x)</math> e <math>h(x) = (x-\alpha) g(x)</math> e <math>f(x) = (x-\alpha)^2 g(x)</math>, cioè <math>\alpha</math> è radice multipla di <math>f(x)</math>.
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Se valuto in <math>\alpha</math>, siccome per ipotesi <math>f'(\alpha)=0</math>, segue che <math>h(\alpha)=0</math>, e quindi <math>x-\alpha \mid h(x)</math> e <math>h(x) = (x-\alpha) g(x)</math> e <math>f(x) = (x-\alpha)^2 g(x)</math>, cioè <math>\alpha</math> è radice multipla di <math>f(x)</math>.
 
 
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Sia <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, e <math>f(x)</math> un polinomio in <math>K[x]</math>. Allora
 
Sia <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, e <math>f(x)</math> un polinomio in <math>K[x]</math>. Allora
  
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*Siano <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, sia <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio irriducibile, dico che <math>f(x)</math> è ''separabile'' su <math>K</math> se le sue radici in <math>\bar K</math> sono tutte distinte.
 
*Siano <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, sia <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio irriducibile, dico che <math>f(x)</math> è ''separabile'' su <math>K</math> se le sue radici in <math>\bar K</math> sono tutte distinte.
 
*Data un'estensione di campi <math>M \supseteq K</math>, allora <math>\alpha \in M</math> algebrico su <math>K</math>  si dice ''separabile'' (su <math>K</math>) se è separabile il polinomio minimo di <math>\alpha</math> in <math>K[x]</math>.
 
*Data un'estensione di campi <math>M \supseteq K</math>, allora <math>\alpha \in M</math> algebrico su <math>K</math>  si dice ''separabile'' (su <math>K</math>) se è separabile il polinomio minimo di <math>\alpha</math> in <math>K[x]</math>.
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Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, allora
 
Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, allora
  
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<math display="block">f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, \, a_n \neq 0</math>
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<math display="block">f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, \, a_n \neq 0</math>quindi<math display="block">f'(x) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1},</math>e in un campo di caratteristica 0, <math>a_n \neq 0</math> implica <math>na_{n}\neq 0</math> ovvero <math>f'(x) \neq 0</math>.
quindi
 
<math display="block">f'(x) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1},</math>
 
e in un campo di caratteristica 0, <math>a_n \neq 0</math> implica <math>na_{n}\neq 0</math> ovvero <math>f'(x) \neq 0</math>.
 
  
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In caratteristica <math>p</math>,
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<math display="block">f'(x) = \sum_i i a_i x^{i-1} =0</math>quando <math>ia_i =0 \in K,\; \forall i</math>. Questo accade se <math>p\mid a_{i}</math>  oppure <math>p \mid i</math>.
  
In caratteristica <math>p</math>,
 
<math display="block">f'(x) = \sum_i i a_i x^{i-1} =0</math>
 
quando <math>ia_i =0 \in K,\; \forall i</math>. Questo accade se <math>p\mid a_{i}</math>  oppure <math>p \mid i</math>.
 
 
Se <math>p</math> divide <math>a_{i}</math> il monomio <math>a_{i}x^i</math> non e' presente in <math>f(x)</math>. Rimangono allora in <math>f(x)</math> i monomi <math>a_{i}x^{i}</math> con <math>p \mid i</math>.
 
Se <math>p</math> divide <math>a_{i}</math> il monomio <math>a_{i}x^i</math> non e' presente in <math>f(x)</math>. Rimangono allora in <math>f(x)</math> i monomi <math>a_{i}x^{i}</math> con <math>p \mid i</math>.
 
Segue che  <math>f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0</math> è della forma <math>b_m x^{pn}+ b_{m-1} x^{p(m-1)}+\dots +b_1 x^p+b_0</math>.
 
Segue che  <math>f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0</math> è della forma <math>b_m x^{pn}+ b_{m-1} x^{p(m-1)}+\dots +b_1 x^p+b_0</math>.
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Se chiamo <math>g(x) = b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\dots +b_1 x+b_0</math> , si ha che <math>f(x) = g(x^p)</math>.
 
Se chiamo <math>g(x) = b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\dots +b_1 x+b_0</math> , si ha che <math>f(x) = g(x^p)</math>.
 
E' anche chiaro che, viceversa, se <math>f(x) = g(x^p)</math> allora <math>f'(x)=0</math>.
 
E' anche chiaro che, viceversa, se <math>f(x) = g(x^p)</math> allora <math>f'(x)=0</math>.
 
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In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.
 
In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.
  
In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile.
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In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile.{{InizioTeorema|title=caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito|number=2.4|anchor=Teorema2_4}}
 
 
 
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti
  
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Prima della dimostrazione sono necessarie le seguenti osservazioni.{{InizioOsservazione|title=|number=2.12|anchor=Osservazione2_12}}
Prima della dimostrazione sono necessarie le seguenti osservazioni.
 
 
 
 
 
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Supponiamo di avere una catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>, e supponiamo che <math>M</math> sia un campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K</math>. Allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>L</math>.
 
Supponiamo di avere una catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>, e supponiamo che <math>M</math> sia un campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K</math>. Allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>L</math>.
 
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Se <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>L</math> di un polinomio <math>f(x) \in K[x]</math> e <math>L</math> è generato su <math>K</math> da alcune radici di <math>f(x)</math>, allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>.
 
Se <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>L</math> di un polinomio <math>f(x) \in K[x]</math> e <math>L</math> è generato su <math>K</math> da alcune radici di <math>f(x)</math>, allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>.
 
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Sia <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math> e mostro che <math>M = M_0</math>.
 
Sia <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math> e mostro che <math>M = M_0</math>.
 
  
 
Inclusione 1: <math>f(x) \in K[x]</math> si spezza su <math>M</math>, e <math>K\subseteq L\subseteq M</math> quindi <math>M_0 \subseteq M</math> per la minimalità di <math>M_0</math>.
 
Inclusione 1: <math>f(x) \in K[x]</math> si spezza su <math>M</math>, e <math>K\subseteq L\subseteq M</math> quindi <math>M_0 \subseteq M</math> per la minimalità di <math>M_0</math>.
 
  
 
Inclusione 2: Sia <math>L=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_r)</math> con <math>\alpha_i</math> radice di <math>f(x)</math>. Allora <math>M_0</math> contiene <math>K</math> essendo campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>, e contiene tutte le radici di <math>f(x)</math>, quindi contiene <math>L</math>.
 
Inclusione 2: Sia <math>L=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_r)</math> con <math>\alpha_i</math> radice di <math>f(x)</math>. Allora <math>M_0</math> contiene <math>K</math> essendo campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>, e contiene tutte le radici di <math>f(x)</math>, quindi contiene <math>L</math>.
 
  
 
Si ha quindi <math>M = M_0</math>.
 
Si ha quindi <math>M = M_0</math>.
 
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Versione attuale delle 14:56, 21 mag 2018

Separabilità[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 2.5

Sia un campo, un polinomio non nullo, una chiusura algebrica di . Allora un elemento , con , è una radice multipla di (cioè ) se e solo se, posto la derivata formale di , .

 
Dimostrazione

: se è una radice multipla di , allora , e derivando ottengo

e valutando in , ovviamente .

: viceversa, so che è una radice di , quindi . Derivando:

Se valuto in , siccome per ipotesi , segue che , e quindi e e , cioè è radice multipla di .

 


Osservazione 2.10

Sia un campo, una chiusura algebrica di , e un polinomio in . Allora

  1. ha una radice multipla se e solo se, detto , risulta .In tal caso le radici multiple di sono tutte e sole le radici di .
  2. se inoltre è irriducibile, ha radici multiple se e solo se .
 
Dimostrazione
  1. è una radice multipla di se e solo se , quindi se e solo se e , cioè , ovvero è una radice di .
  2. siccome è irriducibile, oppure . Si esclude la possibilità altrimenti non avrebbe radici multiple, e quindi ha radici multiple se e solo se , ma allora . Se questo non è possibile perché ha grado minore di . L'unica possibilità è quindi .
 


Definizione 2.5
  • Siano un campo, una chiusura algebrica di , sia un polinomio irriducibile, dico che è separabile su se le sue radici in sono tutte distinte.
  • Data un'estensione di campi , allora algebrico su si dice separabile (su ) se è separabile il polinomio minimo di in .
  • Se è algebrica, dico che è separabile su se ogni elemento di è separabile su .
 


Osservazione 2.11

Sia un campo, un polinomio non costante, allora

  • se la caratteristica di è 0, la derivata è un polinomio non nullo.
  • Se la caratteristica di è un numero primo positivo, se e solo se

per polinomio in .

 
Dimostrazione

quindi
e in un campo di caratteristica 0, implica ovvero .

In caratteristica ,

quando . Questo accade se oppure .

Se divide il monomio non e' presente in . Rimangono allora in i monomi con . Segue che è della forma .

Se chiamo , si ha che . E' anche chiaro che, viceversa, se allora .

 

In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.

In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile.
Teorema 2.4 (caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito)

Sia un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti

  1. l'estensione è normale
  2. è separabile su e è campo di spezzamento su
  3. è campo di spezzamento su di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
 
Prima della dimostrazione sono necessarie le seguenti osservazioni.
Osservazione 2.12

Supponiamo di avere una catena di estensioni , e supponiamo che sia un campo di spezzamento di su . Allora è campo di spezzamento di su .

 
Dimostrazione

Posso considerare come un polinomio a coefficienti in , si spezza in fattori lineari in perché è campo di spezzamento di su per ipotesi. Devo provare la minimalità di . Se chiamo il campo di spezzamento di su , allora per la minimalità di come campo di spezzamento. Viceversa, siccome è campo di spezzamento di su allora contiene e dunque contiene e contiene tutte le radici di . Segue che , cioè, per le due inclusioni, .

 


Osservazione 2.13

Se è campo di spezzamento su di un polinomio e è generato su da alcune radici di , allora è campo di spezzamento di su .

 
Dimostrazione

Sia il campo di spezzamento di su e mostro che .

Inclusione 1: si spezza su , e quindi per la minimalità di .

Inclusione 2: Sia con radice di . Allora contiene essendo campo di spezzamento di su , e contiene tutte le radici di , quindi contiene .

Si ha quindi .

 
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