Traccia e norma

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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, e considero <math>\mathcal G(M/K)=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}</math>.  Se <math>\alpha \in M</math>, definiamo<math display="block">T(\alpha) = \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}, \, \rm{ traccia\; di \; } \alpha</math><math display="block">N(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}, \, \rm{norma \; di \;} \alpha</math>
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, e considero <math>\mathcal G(M/K)=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}</math>.  Se <math>\alpha \in M</math>, definiamo<math display="block">T(\alpha) = \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}, \, \rm{ traccia\; di \; } \alpha</math><math display="block">N(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}, \, \rm{norma \; di \;} \alpha</math>
 
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*'''Per <math>a \in K</math>, <math>T(a) = n a</math> e <math>N(a) =a^n</math>'''. Infatti <math>a</math> viene fissato da tutti gli elementi del  gruppo di Galois.
 
*'''Per <math>a \in K</math>, <math>T(a) = n a</math> e <math>N(a) =a^n</math>'''. Infatti <math>a</math> viene fissato da tutti gli elementi del  gruppo di Galois.
  
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Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia
 
<math>T : M \to K</math> è suriettiva.
 
<math>T : M \to K</math> è suriettiva.

Versione attuale delle 15:04, 21 mag 2018

Definizione 3.8

Sia un'estensione normale di grado finito, e considero . Se , definiamo

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • e stanno in . Infatti, dato , se lo applico alla traccia ottengo:
    infatti l'insieme è uguale al gruppo di partenza. Allora viene fissato da ogni elemento di , e siccome è normale, segue che .

Vale un discorso analogo per la norma.

  • è additiva e è moltiplicativa. Infatti

e per le proprietà dei morfismi:

e vale un discorso analogo per la norma.

  • Per , e . Infatti viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.
Esercizio 3.1

Sia un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia è suriettiva.

 
Dimostrazione

Per , si ha che

e siccome viene fissato dai :
L'applicazione è -lineare, e , allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.

 
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