Traccia e norma

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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, e considero <math>\mathcal G(M/K)=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}</math>.  Se <math>\alpha \in M</math>, definiamo
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, e considero <math>\mathcal G(M/K)=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}</math>.  Se <math>\alpha \in M</math>, definiamo<math display="block">T(\alpha) = \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}, \, \rm{ traccia\; di \; } \alpha</math><math display="block">N(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}, \, \rm{norma \; di \;} \alpha</math>
<math display="block">T(\alpha) = \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}, \, \rm{ traccia\; di \; } \alpha</math><math display="block">N(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}, \, \rm{norma \; di \;} \alpha</math>
 
 
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Valgono le seguenti osservazioni:
 
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*'''<math>T(\alpha)</math> e <math>N(\alpha)</math> stanno in <math>K</math>'''. Infatti, dato <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, se lo applico alla traccia ottengo:
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*'''<math>T(\alpha)</math> e <math>N(\alpha)</math> stanno in <math>K</math>'''. Infatti, dato <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, se lo applico alla traccia ottengo:<math display="block">(T(\alpha))^g = \alpha^{g_1 g}+\alpha^{g_2 g}+\dots +\alpha^{g_n g} = T(\alpha)</math>infatti l'insieme <math>\{g_1 g, \, g_2 g, \, \dots, g_n g\}</math> è uguale al gruppo di partenza. Allora <math>T(\alpha)</math> viene fissato da ogni elemento di <math>\mathcal G(M/K)</math>, e siccome <math>M \supseteq K</math> è normale, segue che <math>\alpha \in K</math>.
<math display="block">(T(\alpha))^g = \alpha^{g_1 g}+\alpha^{g_2 g}+\dots +\alpha^{g_n g} = T(\alpha)</math>
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Vale un discorso analogo per la norma.
infatti l'insieme <math>\{g_1 g, \, g_2 g, \, \dots, g_n g\}</math> è uguale al gruppo di partenza. Allora <math>T(\alpha)</math> viene fissato da ogni elemento di <math>\mathcal G(M/K)</math>, e siccome <math>M \supseteq K</math> è normale, segue che <math>\alpha \in K</math>.
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*'''<math>T(\alpha)</math> è additiva e <math>N(\alpha)</math> è moltiplicativa'''. Infatti<math display="block">T(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta)^{g_1}+(\alpha+\beta)^{g_2}+\dots +(\alpha+\beta)^{g_n}</math>
 
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e per le proprietà dei morfismi:<math display="block">= \alpha^{g_1}+\beta^{g_1}+\alpha^{g_2}+\beta^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}+\beta^{g_n}</math><math display="block">= T(\alpha)+T(\beta).</math>e vale un discorso analogo per la norma.
  
Vale un discorso analogo per la norma.
 
*'''<math>T(\alpha)</math> è additiva e <math>N(\alpha)</math> è moltiplicativa'''. Infatti
 
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e per le proprietà dei morfismi:
 
<math display="block">= \alpha^{g_1}+\beta^{g_1}+\alpha^{g_2}+\beta^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}+\beta^{g_n}</math><math display="block">= T(\alpha)+T(\beta).</math>
 
e vale un discorso analogo per la norma.
 
 
*'''Per <math>a \in K</math>, <math>T(a) = n a</math> e <math>N(a) =a^n</math>'''. Infatti <math>a</math> viene fissato da tutti gli elementi del  gruppo di Galois.
 
*'''Per <math>a \in K</math>, <math>T(a) = n a</math> e <math>N(a) =a^n</math>'''. Infatti <math>a</math> viene fissato da tutti gli elementi del  gruppo di Galois.
  
 
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Per <math>a \in K, \eta \in M</math>, si ha che<math display="block">T(a \eta) = (a \eta)^{g_1}+(a \eta)^{g_2}+\dots +(a \eta)^{g_n}</math><math display="block">= a^{g_1} \eta^{g_1} +a^{g_2} \eta^{g_2}+\dots +a^{g_n} \eta^{g_n}</math>e siccome <math>a</math> viene fissato dai <math>g_i</math>:<math display="block">= a \eta^{g_1} +a \eta^{g_2}+\dots +a \eta^{g_n}</math><math display="block">= a T(\eta).</math>L'applicazione è <math>K</math>-lineare, e <math>|K:K| = 1</math>, allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.
<math display="block">T(a \eta) = (a \eta)^{g_1}+(a \eta)^{g_2}+\dots +(a \eta)^{g_n}</math><math display="block">= a^{g_1} \eta^{g_1} +a^{g_2} \eta^{g_2}+\dots +a^{g_n} \eta^{g_n}</math>
 
e siccome <math>a</math> viene fissato dai <math>g_i</math>:
 
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L'applicazione è <math>K</math>-lineare, e <math>|K:K| = 1</math>, allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.
 
 
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Versione attuale delle 15:04, 21 mag 2018

Definizione 3.8

Sia un'estensione normale di grado finito, e considero . Se , definiamo

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • e stanno in . Infatti, dato , se lo applico alla traccia ottengo:
    infatti l'insieme è uguale al gruppo di partenza. Allora viene fissato da ogni elemento di , e siccome è normale, segue che .

Vale un discorso analogo per la norma.

  • è additiva e è moltiplicativa. Infatti

e per le proprietà dei morfismi:

e vale un discorso analogo per la norma.

  • Per , e . Infatti viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.
Esercizio 3.1

Sia un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia è suriettiva.

 
Dimostrazione

Per , si ha che

e siccome viene fissato dai :
L'applicazione è -lineare, e , allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.

 
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