Risolubilità per radicali

Estensioni radicali

Definizione 3.4

Un campo della forma si dice un'estensione radicale di se è vero che , dove , per .

 


Esempio 3.5
  • è un'estensione radicale di perché per , .
  • Per lo stesso motivo, è un'estensione radicale di .
  • è una catena di estensioni radicali.
 


Osservazione 3.3 (osservazioni sulla definizione)
  • In particolare, chiediamo che .
  • Un'estensione radicale è sempre un'estensione di grado finito, perché per definizione è algebrico su , e per il teorema della torre .
  • A meno di aggiungere altri , posso sempre suporre con numero primo.

Sia ad esempio un campo e tale che . Pongo , considero la catena di estensioni . Questa è una catena di estensioni radicali infatti , e . D'altra parte . Allora è radicale ma posso spezzarla come sopra per fare in modo che , con primo.

Più in generale, se considero , e , allora posso sempre scrivere con numero primo. Pongo , e considero la catena di estensioni

Segue quindi che . Inoltre . Se non è un numero primo ripeto il ragionamento precedente e posso così costruire una catena di estensioni radicali in cui è un numero primo per ogni .

 

Lemmi preliminari

Lemma 3.2 (lemma 1)

Sia un numero primo e un campo. Sia il campo di spezzamento su del polinomio . Allora è ciclico, e in particolare risolubile (è abeliano).

 
Dimostrazione

CASO PARTICOLARE: Se ha caratteristica , , ma allora , e è ciclico, quindi vale la tesi.

CASO GENERALE: sia una radice di in una chiusura algebrica di . Allora ha come ordine moltiplicativo un divisore di , ovvero, siccome ho escluso , segue che ha ordine . Allora gli elementi dell'insieme

sono tutti distinti e sono tutte e sole le radici di .

Inoltre . Considero la mappa che ha come dominio e come codominio il gruppo degli automorfismi di : questa mappa associa a l'elemento , che è ben definito perché gli elementi di permutano le radici di .

è un omomorfismo di gruppi ed è iniettivo (infatti l'azione di su è univocamente determinata dall'azione di su ), e anche suriettivo: infatti, se considero il polinomio , esso è polinomio minimo di su , allora . Ma per il teorema fondamentale della teoria di Galois, , e quindi

ed eguagliando primo e ultimo membro segue che è suriettivo. Segue quindi che è ciclico, e siccome un gruppo ciclico è sempre abeliano, è anche risolubile.

Mia nota: il fatto che è vero perché gli automorfismi di un gruppo ciclico sono tanti quanti i suoi generatori, e in questo caso, ha generatori (tutti i suoi elementi tranne l'unità). Infatti, fissato un elemento , un elemento di è univocamente determinato quando determino l'immagine di , che dev'essere uno dei generatori di .

 


Lemma 3.3

Sia un campo, su cui il polinomio si spezza in fattori lineari (in altre parole deve contenere radici n-esime dell'unità), e prendo . Sia campo di spezzamento su del polinomio , allora è abeliano, e in particolare è risolubile.

 
Dimostrazione

Sia una radice di , le altre radici di questo polinomio sono della forma , per , con , cioè radice n-esima dell'unità. Si ha che , perché, per ipotesi, . Prendo , tali che , con . Siccome sono determinate dalla loro azione su , per mostrare che è abeliano, e quindi che , basta mostrare che .

( e infatti fissano )

e quindi , e è abeliano.

 


Osservazione 3.4

Nell'ipotesi che abbia caratteristica , posso aggiungere alla tesi del lemma precedente anche il fatto che è ciclico e non solo abeliano.

Infatti, per ipotesi contiene le radici di , in caratteristica 0 ha radici distinte perché la sua derivata è e . Chiamo

l'insieme delle radici di .

Allora le radici di sono della forma , per .

Considero una mappa , che associa a l'elemento (in particolare, se , questa mappa associa a l'elemento ).

Mostro che è un omomorfismo di gruppi. Siano tali che , , allora

Allora .
Quindi è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettivo. Siccome è ciclico, anche l'immagine che è un sottogruppo di è un gruppo ciclico, e quindi isomorfo all'immagine di è ciclico.

 

Teorema di risolubilità per radicali (prima parte)

Dai lemmi appena dimostrati segue
Teorema 3.2

Siano un campo di caratteristica 0 e un'estensione di radicale e normale. Allora è risolubile.

 


Dimostrazione

Posso scrivere dove per le osservazioni precedenti posso supporre che per numero primo, . Sia minimo per cui vale questa scrittura.

Ragiono per induzione su . Per semplicità di notazione pongo e .

CASO 1: CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Allora considero e considero la catena di estensioni .

Affermo che è normale. Infatti, siccome , è campo di spezzamento su di e ha caratteristica 0.

Inoltre, per il teorema fondamentale della teoria di Galois normale implica normale in , e . In particolare è ciclico e risolubile per il lemma 2, inoltre è risolubile per induzione, perché . Allora, per le proprietà dei gruppi risolubili, siccome ha un sottogruppo normale e risolubile e siccome il quoziente è risolubile, segue che anche è risolubile.

CASO 2: NON CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Sia tale che . Considero il seguente diagramma (è un rettangolo):

Muovendomi sul lato sinistro del rettangolo si ha la catena di estensioni
L'estensione è normale per ipotesi, supponiamo che anche sia normale (dimostrazione ). Allora per il teorema fondamentale della teoria di Galois
Per le proprietà dei gruppi risolubili, se è risolubile lo è anche che è un suo quoziente.
Devo quindi mostrare che è risolubile: Girando verso destra sul rettangolo considero la catena di estensioni .

Si ha che è normale, perché è campo di spezzamento su di .

Per il teorema fondamentale della teoria di Galois

è ciclico e risolubile per il lemma 1; se è risolubile, segue che anche è risolubile per le proprietà dei gruppi risolubili.

Mostro quindi che è risolubile, per farlo considero la catena di estensioni . Osservo che è normale perché è campo di spezzamento su , e quindi anche su , del polinomio .

Per il teorema fondamentale della teoria di Galois

Per il lemma 2 si ha che è ciclico (infatti contiene radici dell'unità), dunque risolubile. Infine è risolubile per induzione perché . Allora l'asserto è dimostrato.

Rimane da mostrare che è normale.

 


Proposizione 3.2

Supponiamo di avere la catena di estensioni , e sappiamo che è normale e è normale. Supponiamo che ogni automorfismo di su si solleva a un automorfismo di su . Allora anche è normale.

 


Dimostrazione

Mostro che se è un elemento in , esiste tale che .

  1. Se , siccome è normale, esiste con , ma , allora .
  2. Se invece , siccome è normale, esisterà con . Per ipotesi, posso sollevare a .
 


Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Applicando la proposizione precedente, mostro che è normale. Considero la catena di estensioni , allora

  • è normale per ipotesi;
  • è normale perché è campo di spezzamento del polinomio su ;
  • gli automorfismi di su si possono sollevare ad automorfismi di su . Infatti, sia , allora . Se ho due campi e un automorfismo , se considero , e considero campo di spezzamento per su e campo di spezzamento per su , allora si solleva a un isomorfismo .
 

Composto di due campi

Definizione 3.5

Sia un campo, e sottocampi di . Allora il più piccolo sottocampo di che contiene e si dice composto di e , e si scrive duqnue

dove varia tra i sottocampi di con e .

 


Osservazione 3.5

Considero il caso in cui e sono campi intermedi tra e . Sia , e , allora

 


Lemma 3.4

Il composto di un numero finito di estensioni radicali è ancora un'estensione radicale.

 
Dimostrazione

E' sufficiente mostrare l'asserto nel caso di due estensioni. Siano estensioni radicali, supponiamo che con , , mentre con . Allora se considero il composto di e si ha:

che è ancora un'estensione radicale, infatti, siccome è radicale, e quindi a maggior ragione .

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • Sia una catena di estensioni, e supponiamo di sapere che è radicale. Allora lo è anche .
Dimostrazione

Se , con , per allora a maggior ragione , con .

 
  • Una chiusura spezzante di un'estensione radicale è ancora un'estensione radicale.
Dimostrazione

Sia un'estensione radicale, allora in particolare è un'estensione di grado finito. Considero una base di su , , ogni è algebrico su e quindi posso considerare polinomio minimo di su . Sia , e campo di spezzamento di su . Allora è anche campo di spezzamento di su , e ha coefficienti in .

Mostriamo che .

INCLUSIONE 1: è generato su dalle radici degli . Considero un'altra radice di diversa da . Allora esiste un isomorfismo tale che e . è campo di spezzamento di su e su , allora posso sollevare a un automorfismo di su , , che manda in .

In particolare , e quindi tutti i generatori di sono contenuti nel composto degli al variare di , e quindi .

INCLUSIONE 2: ovviamente contiene e quindi contiene tutti gli per . Segue che contiene anche il loro composto.

Voglio concludere che è radicale perché composto di un numero finito di estensioni radicali.

In particolare è finito perché è campo di spezzamento di un polinomio su e quindi . L'estensione in generale non e' normale (sto considerando la chiusura spezzante e non la chiusura normale) pero' so che, in generale, quindi anche .

In tutto sto considerando una composizione di un numero finito di estensioni radicali.

 
Il teorema precedente si può scrivere in una forma più generale:
Teorema 3.3

Sia un campo di caratteristica 0, e siano estensioni di campi, con un'estensione radicale. Allora è risolubile.

 
Dimostrazione

PASSO 1: posso assumere normale. Infatti, se non lo è, posso considerare la chiusura di rispetto a (cioè gli elementi fissati da ). Allora posso considerare la catena di estensioni .

Ma , e è normale; inoltre se è radicale, lo è anche , e quindi, a meno di rimpiazzare con . posso considerare normale.

PASSO 2: Posso anche assumere che sia normale. Infatti, se non lo fosse, posso considerare la chiusura spezzante di su . Quindi ho la catena . Per ipotesi la caratteristica di è 0, quindi è la chiusura normale di su , e è un'estensione normale di . Inoltre per l'osservazione precedente, la chiusura di estensioni radicali è radicale allora siccome è radicale, anche è radicale.

A meno di rimpiazzare con , posso supporre che sia un'estensione normale di .

PASSO 3: Dimostrazione dell'asserto. normale significa che . Per la versione precedente di questo teorema, normale e radicale implica che è risolubile, allora lo è anche che è un suo quoziente.

 
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