Risolubilità per radicali

(Pywikibot v.2)
 
m (Pywikibot v.2)
 
(Una versione intermedia di un altro utente non mostrate)
Riga 1: Riga 1:
 
==Estensioni radicali==
 
==Estensioni radicali==
{{InizioDefinizione|titolo=|number=3.4|anchor=Definizione3_4}}
+
{{InizioDefinizione|title=|number=3.4|anchor=Definizione3_4}}
 
Un campo <math>M</math> della forma <math>K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r)</math> si dice un'''estensione radicale'' di <math>K</math>  se è vero che <math>\alpha_i^{n_i} \in K(\alpha_1, \dots,\alpha_{i-1})</math>, dove <math>n_i \ge 1</math>, per <math>i=1,\dots,r</math>.
 
Un campo <math>M</math> della forma <math>K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r)</math> si dice un'''estensione radicale'' di <math>K</math>  se è vero che <math>\alpha_i^{n_i} \in K(\alpha_1, \dots,\alpha_{i-1})</math>, dove <math>n_i \ge 1</math>, per <math>i=1,\dots,r</math>.
 
{{FineDefinizione}}
 
{{FineDefinizione}}
Riga 6: Riga 6:
  
  
{{InizioEsempio|titolo=|number=3.5|anchor=Esempio3_5}}
+
{{InizioEsempio|title=|number=3.5|anchor=Esempio3_5}}
 
*<math>\mathbb Q(\sqrt[3]{2})</math> è un'estensione radicale di <math>\mathbb Q</math> perché per <math>n_i = 3</math>, <math>\sqrt[3]{2}^{n_i} =2 \in \mathbb Q</math>.
 
*<math>\mathbb Q(\sqrt[3]{2})</math> è un'estensione radicale di <math>\mathbb Q</math> perché per <math>n_i = 3</math>, <math>\sqrt[3]{2}^{n_i} =2 \in \mathbb Q</math>.
 
*Per lo stesso motivo, <math>\mathbb Q(\sqrt[6]{5})</math> è un'estensione radicale di <math>\mathbb Q</math>.
 
*Per lo stesso motivo, <math>\mathbb Q(\sqrt[6]{5})</math> è un'estensione radicale di <math>\mathbb Q</math>.
Riga 14: Riga 14:
  
  
{{InizioOsservazione|titolo= osservazioni sulla definizione|number=3.3|anchor=Osservazione3_3}}
+
{{InizioOsservazione|title=osservazioni sulla definizione|number=3.3|anchor=Osservazione3_3}}
 
*In particolare, chiediamo che <math>\alpha_1^{n_1} \in K</math>.
 
*In particolare, chiediamo che <math>\alpha_1^{n_1} \in K</math>.
 
*Un'estensione radicale è sempre un'estensione di grado finito, perché per definizione <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>, e per il teorema della torre <math>|M:K| <\infty</math>.
 
*Un'estensione radicale è sempre un'estensione di grado finito, perché per definizione <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>, e per il teorema della torre <math>|M:K| <\infty</math>.
 
*A meno di aggiungere altri <math>\alpha_i</math>, posso sempre suporre <math>n_i = p_i</math> con <math>p_i</math> numero primo.
 
*A meno di aggiungere altri <math>\alpha_i</math>, posso sempre suporre <math>n_i = p_i</math> con <math>p_i</math> numero primo.
 
  
 
Sia ad esempio <math>K</math> un campo e <math>\alpha</math> tale che <math>\alpha^6 \in K</math>. Pongo <math>\beta = \alpha^2</math>, considero la catena di estensioni <math>K(\alpha,\beta) \supseteq K(\beta) \supseteq K</math>.
 
Sia ad esempio <math>K</math> un campo e <math>\alpha</math> tale che <math>\alpha^6 \in K</math>. Pongo <math>\beta = \alpha^2</math>, considero la catena di estensioni <math>K(\alpha,\beta) \supseteq K(\beta) \supseteq K</math>.
 
Questa è una catena di estensioni radicali infatti <math>\beta^3 \in K</math>, e <math>\alpha^2 \in K(\beta)</math>. D'altra parte <math>K(\alpha,\beta) = K(\alpha,\alpha^2) = K(\alpha)</math>. Allora <math>K(\alpha) \supseteq K</math> è radicale ma posso spezzarla come sopra per fare in modo che <math>n_i = p_i \forall i</math>, con <math>p_i</math> primo.
 
Questa è una catena di estensioni radicali infatti <math>\beta^3 \in K</math>, e <math>\alpha^2 \in K(\beta)</math>. D'altra parte <math>K(\alpha,\beta) = K(\alpha,\alpha^2) = K(\alpha)</math>. Allora <math>K(\alpha) \supseteq K</math> è radicale ma posso spezzarla come sopra per fare in modo che <math>n_i = p_i \forall i</math>, con <math>p_i</math> primo.
  
 
+
Più in generale, se considero <math>K(\alpha) \supseteq K</math>, e <math>\alpha^n \in K</math>, allora posso sempre scrivere <math>n = pt</math> con <math>p</math> numero primo. Pongo <math>\beta = \alpha^t</math>, e considero la catena di estensioni<math display="block">K(\alpha,\beta) \supseteq K(\beta) \supseteq K</math>Segue quindi che <math>\beta^p = \alpha^{pt} = \alpha^n \in K</math>. Inoltre <math>\alpha^t=\beta \in K(\beta)</math>. Se <math>t</math> non è un numero primo ripeto il ragionamento precedente e posso così costruire una catena di estensioni radicali in cui <math>n_i</math> è un numero primo per ogni <math>i</math>.
Più in generale, se considero <math>K(\alpha) \supseteq K</math>, e <math>\alpha^n \in K</math>, allora posso sempre scrivere <math>n = pt</math> con <math>p</math> numero primo. Pongo <math>\beta = \alpha^t</math>, e considero la catena di estensioni
 
<math display="block">K(\alpha,\beta) \supseteq K(\beta) \supseteq K</math>
 
Segue quindi che <math>\beta^p = \alpha^{pt} = \alpha^n \in K</math>. Inoltre <math>\alpha^t=\beta \in K(\beta)</math>. Se <math>t</math> non è un numero primo ripeto il ragionamento precedente e posso così costruire una catena di estensioni radicali in cui <math>n_i</math> è un numero primo per ogni <math>i</math>.
 
 
{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
  
Riga 37: Riga 33:
 
CASO PARTICOLARE: Se <math>K</math> ha caratteristica <math>p</math>, <math>f(x) := x^p-1 = (x-1)^p</math>, ma allora <math>L=K</math>, e <math>\mathcal G(L/K)=1</math> è ciclico, quindi vale la tesi.
 
CASO PARTICOLARE: Se <math>K</math> ha caratteristica <math>p</math>, <math>f(x) := x^p-1 = (x-1)^p</math>, ma allora <math>L=K</math>, e <math>\mathcal G(L/K)=1</math> è ciclico, quindi vale la tesi.
  
 +
CASO GENERALE: sia <math>\omega \neq 1</math> una radice di <math>f(x)</math> in una chiusura algebrica <math>\bar K</math>
 +
di <math>K</math>. Allora <math>\omega</math> ha come ordine moltiplicativo un divisore di <math>p</math>, ovvero, siccome ho escluso <math>o(\omega)=1</math>, segue che <math>\omega</math> ha ordine <math>p</math>. Allora gli elementi dell'insieme<math display="block">C = \{1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{p-1}\}</math>sono tutti distinti e sono tutte e sole le radici di <math>f(x)</math>.
  
CASO GENERALE: sia <math>\omega \neq 1</math> una radice di <math>f(x)</math> in una chiusura algebrica <math>\bar K</math>
 
di <math>K</math>. Allora <math>\omega</math> ha come ordine moltiplicativo un divisore di <math>p</math>, ovvero, siccome ho escluso <math>o(\omega)=1</math>, segue che <math>\omega</math> ha ordine <math>p</math>. Allora gli elementi dell'insieme
 
<math display="block">C = \{1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{p-1}\}</math>
 
sono tutti distinti e sono tutte e sole le radici di <math>f(x)</math>.
 
 
Inoltre <math>L=K(\omega)</math>.
 
Inoltre <math>L=K(\omega)</math>.
 
 
 
Considero la mappa <math>\phi</math> che ha come dominio <math>\mathcal G(L/K)</math> e come codominio il gruppo degli automorfismi di <math>C</math>: questa mappa associa a <math>g</math> l'elemento <math>g_{|_C}</math>, che è ben definito perché gli elementi di <math>G</math> permutano le radici di <math>f(x)</math>.
 
Considero la mappa <math>\phi</math> che ha come dominio <math>\mathcal G(L/K)</math> e come codominio il gruppo degli automorfismi di <math>C</math>: questa mappa associa a <math>g</math> l'elemento <math>g_{|_C}</math>, che è ben definito perché gli elementi di <math>G</math> permutano le radici di <math>f(x)</math>.
 
  
 
<math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi ed è iniettivo (infatti l'azione di <math>g</math> su <math>C</math> è univocamente determinata dall'azione di <math>g</math> su <math>\omega</math>), e anche suriettivo: infatti, se considero il polinomio <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, esso è polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>K</math>, allora <math>|L:K| = p-1</math>. Ma per il teorema fondamentale della teoria di Galois, <math>|L:K| = o(\mathcal G(L/K))</math>, e quindi
 
<math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi ed è iniettivo (infatti l'azione di <math>g</math> su <math>C</math> è univocamente determinata dall'azione di <math>g</math> su <math>\omega</math>), e anche suriettivo: infatti, se considero il polinomio <math>\phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1</math>, esso è polinomio minimo di <math>\omega</math> su <math>K</math>, allora <math>|L:K| = p-1</math>. Ma per il teorema fondamentale della teoria di Galois, <math>|L:K| = o(\mathcal G(L/K))</math>, e quindi
<math display="block">o(\mathcal G(L/K)) = p-1 = o(\rm{Aut(C)}</math>
+
<math display="block">o(\mathcal G(L/K)) = p-1 = o(\rm{Aut(C)}</math>ed eguagliando primo e ultimo membro segue che <math>\phi</math> è suriettivo. Segue quindi che <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico, e siccome un gruppo ciclico è sempre abeliano, è anche risolubile.
ed eguagliando primo e ultimo membro segue che <math>\phi</math> è suriettivo.
 
Segue quindi che <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico, e siccome un gruppo ciclico è sempre abeliano, è anche risolubile.
 
 
 
  
 
Mia nota: il fatto che <math>o(\rm{Aut(C)}) = p-1</math> è vero perché gli automorfismi di un gruppo ciclico sono tanti quanti i suoi generatori, e in questo caso, <math>C</math> ha <math>p-1</math> generatori (tutti i suoi elementi tranne l'unità). Infatti, fissato un elemento <math>\bar \omega \neq 1 \in C</math>, un elemento di <math>\rm{Aut(C)}</math> è univocamente determinato quando determino l'immagine di <math>\bar \omega</math>, che dev'essere uno dei generatori di <math>C</math>.
 
Mia nota: il fatto che <math>o(\rm{Aut(C)}) = p-1</math> è vero perché gli automorfismi di un gruppo ciclico sono tanti quanti i suoi generatori, e in questo caso, <math>C</math> ha <math>p-1</math> generatori (tutti i suoi elementi tranne l'unità). Infatti, fissato un elemento <math>\bar \omega \neq 1 \in C</math>, un elemento di <math>\rm{Aut(C)}</math> è univocamente determinato quando determino l'immagine di <math>\bar \omega</math>, che dev'essere uno dei generatori di <math>C</math>.
Riga 64: Riga 52:
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Sia <math>\alpha \in \bar K</math> una radice di <math>f(x)=x^n-a</math>, le altre radici di questo polinomio sono della forma <math>\alpha \omega^i</math>, per <math>i=0,\dots,n-1</math>, con <math>\omega^n = 1</math>, cioè <math>\omega</math> radice n-esima dell'unità.  Si ha che <math>L = K(\alpha)</math>, perché, per ipotesi, <math>\omega \in K</math>. Prendo <math>g,h \in \mathcal G(L/K)</math>, tali che <math>\alpha^g = \alpha \omega</math>, <math>\alpha^h = \alpha \varepsilon</math> con <math>\omega^n = \varepsilon^n = 1</math>. Siccome <math>g,h</math> sono determinate dalla loro azione su <math>\alpha</math>, per mostrare che <math>\mathcal G(L/K)</math> è abeliano, e quindi che <math>gh=hg</math>, '''basta mostrare che <math>\alpha^{gh} =\alpha^{hg}</math>'''.
+
Sia <math>\alpha \in \bar K</math> una radice di <math>f(x)=x^n-a</math>, le altre radici di questo polinomio sono della forma <math>\alpha \omega^i</math>, per <math>i=0,\dots,n-1</math>, con <math>\omega^n = 1</math>, cioè <math>\omega</math> radice n-esima dell'unità.  Si ha che <math>L = K(\alpha)</math>, perché, per ipotesi, <math>\omega \in K</math>. Prendo <math>g,h \in \mathcal G(L/K)</math>, tali che <math>\alpha^g = \alpha \omega</math>, <math>\alpha^h = \alpha \varepsilon</math> con <math>\omega^n = \varepsilon^n = 1</math>. Siccome <math>g,h</math> sono determinate dalla loro azione su <math>\alpha</math>, per mostrare che <math>\mathcal G(L/K)</math> è abeliano, e quindi che <math>gh=hg</math>, '''basta mostrare che <math>\alpha^{gh} =\alpha^{hg}</math>'''.<math display="block">\alpha^{gh} = (\alpha^g)^h = (\alpha \omega)^h = \alpha^h \omega^h =  \alpha \varepsilon \omega</math><math display="block">(\alpha)^{hg} = (\alpha^h)^g = (\alpha \varepsilon)^g = \alpha^g \varepsilon^g = \alpha \omega \varepsilon</math>(<math>g</math> e <math>h</math> infatti fissano <math>\omega</math>)
<math display="block">\alpha^{gh} = (\alpha^g)^h = (\alpha \omega)^h = \alpha^h \omega^h =  \alpha \varepsilon \omega</math><math display="block">(\alpha)^{hg} = (\alpha^h)^g = (\alpha \varepsilon)^g = \alpha^g \varepsilon^g = \alpha \omega \varepsilon</math>
 
(<math>g</math> e <math>h</math> infatti fissano <math>\omega</math>)
 
 
 
  
 
e quindi <math>hg = gh</math>, e <math>\mathcal G(L/K)</math> è abeliano.
 
e quindi <math>hg = gh</math>, e <math>\mathcal G(L/K)</math> è abeliano.
Riga 74: Riga 59:
  
  
{{InizioOsservazione|titolo=|number=3.4|anchor=Osservazione3_4}}
+
{{InizioOsservazione|title=|number=3.4|anchor=Osservazione3_4}}
 
Nell'ipotesi che <math>K</math> abbia caratteristica <math>0</math>, posso aggiungere alla tesi del lemma precedente anche il fatto che <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico e non solo abeliano.
 
Nell'ipotesi che <math>K</math> abbia caratteristica <math>0</math>, posso aggiungere alla tesi del lemma precedente anche il fatto che <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico e non solo abeliano.
  
 
+
Infatti, <math>K</math> per ipotesi contiene le radici di <math>f(x)=x^n-1</math>, in caratteristica 0 <math>f(x)</math> ha <math>n</math> radici distinte perché la sua derivata è <math>f'(x)=n x^{n-1}</math> e <math>M.C.D.(f,f')=1</math>. Chiamo<math display="block">C := \{1, \omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1} \}</math>l'insieme delle radici di <math>f(x)</math>.
Infatti, <math>K</math> per ipotesi contiene le radici di <math>f(x)=x^n-1</math>, in caratteristica 0 <math>f(x)</math> ha <math>n</math> radici distinte perché la sua derivata è <math>f'(x)=n x^{n-1}</math> e <math>M.C.D.(f,f')=1</math>. Chiamo
 
<math display="block">C := \{1, \omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1} \}</math>
 
l'insieme delle radici di <math>f(x)</math>.
 
 
 
  
 
Allora le radici di <math>g(x) = x^n-a</math> sono della forma <math>\alpha \omega^i</math>, per <math>i=0,\dots,n-1</math>.
 
Allora le radici di <math>g(x) = x^n-a</math> sono della forma <math>\alpha \omega^i</math>, per <math>i=0,\dots,n-1</math>.
 
  
 
Considero una mappa <math>\phi:\mathcal G(L/K) \to C</math>, che associa a <math>g</math> l'elemento <math>\alpha^g/\alpha</math> (in particolare, se <math>\alpha^g = \alpha \omega^i</math>, questa mappa associa a <math>g</math> l'elemento <math>\omega^i</math>).
 
Considero una mappa <math>\phi:\mathcal G(L/K) \to C</math>, che associa a <math>g</math> l'elemento <math>\alpha^g/\alpha</math> (in particolare, se <math>\alpha^g = \alpha \omega^i</math>, questa mappa associa a <math>g</math> l'elemento <math>\omega^i</math>).
 
  
 
'''Mostro che <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi'''. Siano <math>g,h \in \mathcal G(L/K)</math> tali che <math>\alpha^g = \alpha \omega^i</math>, <math>\alpha^h =\alpha \omega^j</math>, allora
 
'''Mostro che <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi'''. Siano <math>g,h \in \mathcal G(L/K)</math> tali che <math>\alpha^g = \alpha \omega^i</math>, <math>\alpha^h =\alpha \omega^j</math>, allora
<math display="block">gh \mapsto \alpha^{gh} = (\alpha \omega^i)^h = \alpha \omega^j \omega^i = \alpha \omega^{i+j}</math>
+
<math display="block">gh \mapsto \alpha^{gh} = (\alpha \omega^i)^h = \alpha \omega^j \omega^i = \alpha \omega^{i+j}</math>Allora <math>\phi(gh) = \omega^{i+j} = \omega^i*\omega^j = \phi(g)*\phi(h)</math>.<br>
Allora <math>\phi(gh) = \omega^{i+j} = \omega^i*\omega^j = \phi(g)*\phi(h)</math>.
 
 
 
 
 
 
Quindi <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettivo. Siccome <math>C</math> è ciclico, anche l'immagine che è un sottogruppo di <math>C</math> è un gruppo ciclico, e quindi <math>\mathcal G(L/K)</math> isomorfo all'immagine di <math>\phi</math> è ciclico.
 
Quindi <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettivo. Siccome <math>C</math> è ciclico, anche l'immagine che è un sottogruppo di <math>C</math> è un gruppo ciclico, e quindi <math>\mathcal G(L/K)</math> isomorfo all'immagine di <math>\phi</math> è ciclico.
 
{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
  
 
==Teorema di risolubilità per radicali (prima parte)==
 
==Teorema di risolubilità per radicali (prima parte)==
Dai lemmi appena dimostrati segue
+
Dai lemmi appena dimostrati segue{{InizioTeorema|title=|number=3.2|anchor=Teorema3_2}}
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo=|number=3.2|anchor=Teorema3_2}}
 
 
Siano <math>K</math> un campo di caratteristica 0 e <math>M</math> un'estensione di <math>K</math> radicale e normale. Allora <math>\mathcal G(M/K)</math>  è risolubile.
 
Siano <math>K</math> un campo di caratteristica 0 e <math>M</math> un'estensione di <math>K</math> radicale e normale. Allora <math>\mathcal G(M/K)</math>  è risolubile.
 
{{FineTeorema}}
 
{{FineTeorema}}
Riga 109: Riga 82:
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
 
Posso scrivere <math>M = K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math> dove per le osservazioni precedenti posso supporre che per <math>p_i</math> numero primo, <math>\alpha_i^{p_i} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>. Sia <math>n</math> minimo per cui vale questa scrittura.
 
Posso scrivere <math>M = K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math> dove per le osservazioni precedenti posso supporre che per <math>p_i</math> numero primo, <math>\alpha_i^{p_i} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>. Sia <math>n</math> minimo per cui vale questa scrittura.
 
  
 
Ragiono per induzione su <math>n</math>. Per semplicità di notazione pongo <math>\alpha = \alpha_1</math> e <math>p = p_i</math>.
 
Ragiono per induzione su <math>n</math>. Per semplicità di notazione pongo <math>\alpha = \alpha_1</math> e <math>p = p_i</math>.
 
  
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Allora considero <math>L = K(\alpha)</math> e considero la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>.
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Allora considero <math>L = K(\alpha)</math> e considero la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>.
 
  
 
'''Affermo che <math>L \supseteq K</math> è normale'''. Infatti, siccome <math>\alpha^p \in K</math>, <math>L = K(\alpha)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f(x)=x^p-\alpha^p</math> e <math>K</math> ha caratteristica 0.
 
'''Affermo che <math>L \supseteq K</math> è normale'''. Infatti, siccome <math>\alpha^p \in K</math>, <math>L = K(\alpha)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>f(x)=x^p-\alpha^p</math> e <math>K</math> ha caratteristica 0.
 
  
 
Inoltre, per il teorema fondamentale della teoria di Galois <math>L \supseteq K</math> normale implica <math>L'=\mathcal G(M/L)</math> normale in <math>\mathcal G(M/K)</math>, e <math>\mathcal G(L/K) \cong \frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math>. In particolare  <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico e risolubile per il lemma 2, inoltre <math>\mathcal G(M/L)</math> è risolubile per induzione, perché <math>M = L(\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math>. Allora, per le proprietà dei gruppi risolubili, siccome <math>\mathcal G(L/K)</math> ha un sottogruppo <math>\mathcal G(M/L)</math> normale e risolubile e siccome il quoziente <math>\frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math> è risolubile, segue che anche <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
 
Inoltre, per il teorema fondamentale della teoria di Galois <math>L \supseteq K</math> normale implica <math>L'=\mathcal G(M/L)</math> normale in <math>\mathcal G(M/K)</math>, e <math>\mathcal G(L/K) \cong \frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math>. In particolare  <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico e risolubile per il lemma 2, inoltre <math>\mathcal G(M/L)</math> è risolubile per induzione, perché <math>M = L(\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math>. Allora, per le proprietà dei gruppi risolubili, siccome <math>\mathcal G(L/K)</math> ha un sottogruppo <math>\mathcal G(M/L)</math> normale e risolubile e siccome il quoziente <math>\frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math> è risolubile, segue che anche <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
  
 
+
CASO 2: <MATH>K</MATH> NON CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Sia <math>\omega \in \bar K</math> tale che <math>\omega^p =1</math>. Considero il seguente diagramma (è un rettangolo):<math display="block">\begin{array}{cccccc} & & M(\omega) & & & \\& \diagup & & \diagdown & & \\  M & & & & \diagdown & \\ & \diagdown & & & & K(\omega) \\ & & \diagdown &  & \diagup &  \\  &  & & K &  &\end{array}</math>Muovendomi sul lato sinistro del rettangolo si ha la catena di estensioni<math display="block">M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>L'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale per ipotesi, '''supponiamo che anche <math>M(\omega) \supseteq K</math> sia normale''' (dimostrazione <math>\ast</math>). Allora per il teorema fondamentale della teoria di Galois<math display="block">\mathcal G(M/K) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K)}{\mathcal G(M(\omega)/M)}</math>Per le proprietà dei gruppi risolubili,  se <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile lo è anche <math>\mathcal G(M/K)</math> che è un suo quoziente.<br>
CASO 2: <MATH>K</MATH> NON CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Sia <math>\omega \in \bar K</math> tale che <math>\omega^p =1</math>. Considero il seguente diagramma (è un rettangolo):
 
<math display="block">\begin{array}{cccccc} & & M(\omega) & & & \\& \diagup & & \diagdown & & \\  M & & & & \diagdown & \\ & \diagdown & & & & K(\omega) \\ & & \diagdown &  & \diagup &  \\  &  & & K &  &\end{array}</math>
 
Muovendomi sul lato sinistro del rettangolo si ha la catena di estensioni:
 
<math display="block">M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>
 
L'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale per ipotesi, '''supponiamo che anche <math>M(\omega) \supseteq K</math> sia normale''' (dimostrazione <math>\ast</math>). Allora per il teorema fondamentale della teoria di Galois
 
<math display="block">\mathcal G(M/K) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K)}{\mathcal G(M(\omega)/M)}</math>
 
Per le proprietà dei gruppi risolubili,  se <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile lo è anche <math>\mathcal G(M/K)</math> che è un suo quoziente.
 
 
 
 
 
 
'''Devo quindi mostrare che <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile''': Girando verso destra sul rettangolo considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq K(\omega) \supseteq K</math>.
 
'''Devo quindi mostrare che <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile''': Girando verso destra sul rettangolo considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq K(\omega) \supseteq K</math>.
 
  
 
Si ha che <math>K(\omega) \supseteq K</math> è normale, perché <math>K(\omega)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>x^p-1</math>.
 
Si ha che <math>K(\omega) \supseteq K</math> è normale, perché <math>K(\omega)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di <math>x^p-1</math>.
 
  
 
Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
 
Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
 
<math display="block">\mathcal G(K(\omega)/K) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K)}{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))}</math><math>\mathcal G(K(\omega)/K)</math> è ciclico e risolubile per il lemma 1; se <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))</math> è risolubile, segue che anche <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile per le proprietà dei gruppi risolubili.
 
<math display="block">\mathcal G(K(\omega)/K) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K)}{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))}</math><math>\mathcal G(K(\omega)/K)</math> è ciclico e risolubile per il lemma 1; se <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))</math> è risolubile, segue che anche <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math> è risolubile per le proprietà dei gruppi risolubili.
 
  
 
'''Mostro quindi che <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))</math> è risolubile''', per farlo considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq K(\omega,\alpha) \supseteq K(\omega)</math>. Osservo che <math>K(\omega,\alpha) \supseteq K(\omega)</math> è normale perché <math>K(\omega,\alpha)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math>, e quindi anche su <math>K(\omega)</math>, del polinomio <math>x^p-\alpha^p</math>.
 
'''Mostro quindi che <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))</math> è risolubile''', per farlo considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq K(\omega,\alpha) \supseteq K(\omega)</math>. Osservo che <math>K(\omega,\alpha) \supseteq K(\omega)</math> è normale perché <math>K(\omega,\alpha)</math> è campo di spezzamento su <math>K</math>, e quindi anche su <math>K(\omega)</math>, del polinomio <math>x^p-\alpha^p</math>.
 
  
 
Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
 
Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
<math display="block">\mathcal G(K(\omega,\alpha)/K(\omega)) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))}{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega,\alpha))}</math>
+
<math display="block">\mathcal G(K(\omega,\alpha)/K(\omega)) \cong \frac{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega))}{\mathcal G(M(\omega)/K(\omega,\alpha))}</math>Per il lemma 2 si ha che <math>\mathcal G(K(\omega,\alpha):K(\omega))</math> è ciclico (infatti <math>K(\omega)</math> contiene radici dell'unità), dunque risolubile. Infine <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega,\alpha))</math> è risolubile per induzione perché <math>M(\omega) = K(\omega,\alpha)(\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math>.
Per il lemma 2 si ha che <math>\mathcal G(K(\omega,\alpha):K(\omega))</math> è ciclico (infatti <math>K(\omega)</math> contiene radici dell'unità), dunque risolubile. Infine <math>\mathcal G(M(\omega)/K(\omega,\alpha))</math> è risolubile per induzione perché <math>M(\omega) = K(\omega,\alpha)(\alpha_2,\dots,\alpha_n)</math>.
 
 
Allora l'asserto è dimostrato.
 
Allora l'asserto è dimostrato.
 
  
 
'''Rimane da mostrare che <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale'''.
 
'''Rimane da mostrare che <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale'''.
Riga 156: Riga 110:
  
  
{{InizioProposizione|titolo=|number=3.2|anchor=Proposizione3_2}}
+
{{InizioProposizione|title=|number=3.2|anchor=Proposizione3_2}}
 
Supponiamo di avere la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>, e sappiamo che <math>M \supseteq L</math> è normale e <math>L \supseteq K</math> è normale. Supponiamo che ogni automorfismo di <math>L</math> su <math>K</math> si solleva a un automorfismo di <math>M</math> su <math>K</math>. Allora anche <math>M \supseteq K</math> è normale.
 
Supponiamo di avere la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>, e sappiamo che <math>M \supseteq L</math> è normale e <math>L \supseteq K</math> è normale. Supponiamo che ogni automorfismo di <math>L</math> su <math>K</math> si solleva a un automorfismo di <math>M</math> su <math>K</math>. Allora anche <math>M \supseteq K</math> è normale.
 
{{FineProposizione}}
 
{{FineProposizione}}
Riga 171: Riga 125:
  
  
{{InizioDimostrazione|titolo=dimostrazione $\ast$}}
+
{{InizioDimostrazione|title=dimostrazione $\ast$}}
 
Applicando la proposizione precedente, mostro che <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale. Considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>, allora
 
Applicando la proposizione precedente, mostro che <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale. Considero la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>, allora
  
Riga 180: Riga 134:
  
 
==Composto di due campi==
 
==Composto di due campi==
{{InizioDefinizione|titolo=|number=3.5|anchor=Definizione3_5}}
+
{{InizioDefinizione|title=|number=3.5|anchor=Definizione3_5}}
Sia <math>N</math> un campo, e <math>L,M</math> sottocampi di <math>N</math>. Allora il più piccolo sottocampo di <math>N</math> che contiene <math>L</math> e <math>M</math> si dice ''composto di <math>L</math> e <math>M</math>'', e si scrive <math>M \vee L</math>
+
Sia <math>N</math> un campo, e <math>L,M</math> sottocampi di <math>N</math>. Allora il più piccolo sottocampo di <math>N</math> che contiene <math>L</math> e <math>M</math> si dice ''composto di <math>L</math> e <math>M</math>'', e si scrive <math>M \vee L</math>duqnue<math display="block">M \vee L = \cup  F</math>dove <math>F</math> varia tra i sottocampi di <math>N</math> con
duqnue
 
<math display="block">M \vee L = \cup  F</math>
 
dove <math>F</math> varia tra i sottocampi di <math>N</math> con
 
 
<math>M \subseteq F</math> e <math>L \subseteq F</math>.
 
<math>M \subseteq F</math> e <math>L \subseteq F</math>.
 
{{FineDefinizione}}
 
{{FineDefinizione}}
Riga 190: Riga 141:
  
  
{{InizioOsservazione|titolo=|number=3.5|anchor=Osservazione3_5}}
+
{{InizioOsservazione|title=|number=3.5|anchor=Osservazione3_5}}
 
Considero il caso in cui <math>N \supseteq K</math> e <math>M,L</math> sono campi intermedi tra <math>N</math> e <math>K</math>.
 
Considero il caso in cui <math>N \supseteq K</math> e <math>M,L</math> sono campi intermedi tra <math>N</math> e <math>K</math>.
Sia <math>L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math>, e <math>M = K(\beta_1,\dots,\beta_s)</math>, allora
+
Sia <math>L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math>, e <math>M = K(\beta_1,\dots,\beta_s)</math>, allora<math display="block">L \vee M = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_s).</math>
<math display="block">L \vee M = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_s).</math>
 
 
{{FineOsservazione}}
 
{{FineOsservazione}}
  
Riga 204: Riga 154:
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
 
E' sufficiente mostrare l'asserto nel caso di due estensioni. Siano <math>M \supseteq K, \, L \supseteq K</math> estensioni radicali, supponiamo che <math>L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> con <math>\alpha_i^{m_i} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>, <math>\forall i=1,\dots,r</math>, mentre <math>M = K(\beta_1,\dots,\beta_s)</math> con <math>\beta_j^{n_j} \in K(\beta_1,\dots,\beta_{j-1})</math><math>\forall j=1,\dots,s</math>.
 
E' sufficiente mostrare l'asserto nel caso di due estensioni. Siano <math>M \supseteq K, \, L \supseteq K</math> estensioni radicali, supponiamo che <math>L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math> con <math>\alpha_i^{m_i} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1})</math>, <math>\forall i=1,\dots,r</math>, mentre <math>M = K(\beta_1,\dots,\beta_s)</math> con <math>\beta_j^{n_j} \in K(\beta_1,\dots,\beta_{j-1})</math><math>\forall j=1,\dots,s</math>.
Allora se considero il composto di <math>M</math> e <math>L</math> si ha:
+
Allora se considero il composto di <math>M</math> e <math>L</math> si ha:<math display="block">M \vee L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_s)</math>che è ancora un'estensione radicale, infatti, siccome <math>M \supseteq K</math> è radicale,  <math>\beta_1^{n_1} \in K</math> e quindi a maggior ragione <math>\beta_1^{n_1} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math>.
<math display="block">M \vee L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_1,\dots,\beta_s)</math>
 
che è ancora un'estensione radicale, infatti, siccome <math>M \supseteq K</math> è radicale,  <math>\beta_1^{n_1} \in K</math> e quindi a maggior ragione <math>\beta_1^{n_1} \in K(\alpha_1,\dots,\alpha_r)</math>.
 
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}
 
 
 
  
 
Valgono le seguenti osservazioni:
 
Valgono le seguenti osservazioni:
 
 
*Sia <math>M \supseteq L \supseteq K</math> una catena di estensioni, e supponiamo di sapere che <math>M \supseteq K</math> è radicale. Allora lo è anche <math>M \supseteq L</math>.
 
*Sia <math>M \supseteq L \supseteq K</math> una catena di estensioni, e supponiamo di sapere che <math>M \supseteq K</math> è radicale. Allora lo è anche <math>M \supseteq L</math>.
  
Riga 224: Riga 168:
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Sia <math>L \supseteq K</math> un'estensione radicale, allora in particolare <math>L \supseteq K</math> è un'estensione di grado finito.
+
Sia <math>L \supseteq K</math> un'estensione radicale, allora in particolare <math>L \supseteq K</math> è un'estensione di grado finito. Considero una base di <math>L</math> su <math>K</math>, <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math>, ogni <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K</math> e quindi posso considerare <math>f_i(x)</math> polinomio minimo di <math>\alpha_i</math> su <math>K</math>. Sia <math>f(x) = \prod_{i=1}^n f_i(x)</math>, e <math>M</math> campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>L</math>. Allora <math>M</math> è anche campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>, e <math>f</math> ha coefficienti in <math>K</math>.
Considero una base di <math>L</math> su <math>K</math>, <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math>, ogni <math>\alpha_i</math> è algebrico su <math>K</math> e quindi posso considerare <math>f_i(x)</math> polinomio minimo di <math>\alpha_i</math> su <math>K</math>. Sia <math>f(x) = \prod_{i=1}^n f_i(x)</math>, e <math>M</math> campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>L</math>. Allora <math>M</math> è anche campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>, e <math>f</math> ha coefficienti in <math>K</math>.
 
 
 
  
 
'''Mostriamo che <math>M = \vee_{g \in \mathcal G(M/K)} \{ L^g\}</math>.'''
 
'''Mostriamo che <math>M = \vee_{g \in \mathcal G(M/K)} \{ L^g\}</math>.'''
  
 
INCLUSIONE 1: <math>M</math> è generato su <math>K</math> dalle radici degli <math>f_i(x)</math>.  Considero <math>\beta</math> un'altra radice di <math>f_i(x)</math> diversa da <math>\alpha_i</math>. Allora esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha_i) \to K(\beta)</math> tale che <math>\alpha_i \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K} = 1_K</math>.
 
INCLUSIONE 1: <math>M</math> è generato su <math>K</math> dalle radici degli <math>f_i(x)</math>.  Considero <math>\beta</math> un'altra radice di <math>f_i(x)</math> diversa da <math>\alpha_i</math>. Allora esiste un isomorfismo <math>\sigma:K(\alpha_i) \to K(\beta)</math> tale che <math>\alpha_i \mapsto \beta</math> e <math>\sigma_{|_K} = 1_K</math>.
 
 
 
<math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\alpha_i)</math> e su <math>K(\beta)</math>, allora posso sollevare <math>\sigma</math> a un automorfismo di <math>M</math> su <math>K</math>, <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, che manda <math>\alpha_i</math> in <math>\beta</math>.
 
<math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K(\alpha_i)</math> e su <math>K(\beta)</math>, allora posso sollevare <math>\sigma</math> a un automorfismo di <math>M</math> su <math>K</math>, <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, che manda <math>\alpha_i</math> in <math>\beta</math>.
 
  
 
In particolare <math>\beta = \alpha_i^g \in L^g</math>, e quindi tutti i generatori di <math>M</math> sono contenuti nel composto degli <math>L^g</math> al variare di <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, e quindi <math>M \subseteq \vee_{g \in \mathcal G(M/K)} \{ L^g\}</math>.
 
In particolare <math>\beta = \alpha_i^g \in L^g</math>, e quindi tutti i generatori di <math>M</math> sono contenuti nel composto degli <math>L^g</math> al variare di <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, e quindi <math>M \subseteq \vee_{g \in \mathcal G(M/K)} \{ L^g\}</math>.
 
  
 
INCLUSIONE 2: ovviamente <math>M</math> contiene  <math>L</math> e quindi contiene tutti gli <math>L^g</math> per <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>. Segue che contiene anche il loro composto.
 
INCLUSIONE 2: ovviamente <math>M</math> contiene  <math>L</math> e quindi contiene tutti gli <math>L^g</math> per <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>. Segue che contiene anche il loro composto.
  
 +
Voglio concludere che '''<math>M \supseteq K</math>  è radicale perché composto di un numero finito di estensioni radicali'''.
  
Voglio concludere che '''<math>M \supseteq K</math>  è radicale perché composto di un numero finito di estensioni radicali'''.
 
 
In particolare <math>\mathcal G(M/K)</math> è finito perché <math>M</math> è campo di spezzamento di un polinomio su <math>K</math> e quindi <math>|M:K| <\infty</math>. L'estensione in generale non e' normale (sto considerando la chiusura spezzante e non la chiusura normale) pero' so che, in generale,
 
In particolare <math>\mathcal G(M/K)</math> è finito perché <math>M</math> è campo di spezzamento di un polinomio su <math>K</math> e quindi <math>|M:K| <\infty</math>. L'estensione in generale non e' normale (sto considerando la chiusura spezzante e non la chiusura normale) pero' so che, in generale,
 
<math>o(\mathcal G(M/K))\leq |M:K|</math> quindi anche <math>o(\mathcal G(M/K))<\infty</math>.
 
<math>o(\mathcal G(M/K))\leq |M:K|</math> quindi anche <math>o(\mathcal G(M/K))<\infty</math>.
 +
 
In tutto sto considerando una composizione di un numero finito di estensioni radicali.
 
In tutto sto considerando una composizione di un numero finito di estensioni radicali.
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}
  
 
+
Il teorema precedente si può scrivere in una forma più generale:{{InizioTeorema|title=|number=3.3|anchor=Teorema3_3}}
Il teorema precedente si può scrivere in una forma più generale:
 
 
 
 
 
{{InizioTeorema|titolo=|number=3.3|anchor=Teorema3_3}}
 
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, e siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, con <math>M \supseteq K</math> un'estensione radicale.  Allora <math>\mathcal G(L/K)</math> è risolubile.
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, e siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, con <math>M \supseteq K</math> un'estensione radicale.  Allora <math>\mathcal G(L/K)</math> è risolubile.
 
{{FineTeorema}}
 
{{FineTeorema}}
Riga 258: Riga 193:
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
 
PASSO 1: '''posso assumere <math>L \supseteq K</math> normale'''. Infatti, se non lo è, posso considerare la chiusura <math>K_0</math> di <math>K</math> rispetto a <math>\mathcal G(L/K)</math> (cioè gli elementi fissati da <math>\mathcal G(L/K)</math>). Allora posso considerare la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K_0 \supseteq K</math>.
 
PASSO 1: '''posso assumere <math>L \supseteq K</math> normale'''. Infatti, se non lo è, posso considerare la chiusura <math>K_0</math> di <math>K</math> rispetto a <math>\mathcal G(L/K)</math> (cioè gli elementi fissati da <math>\mathcal G(L/K)</math>). Allora posso considerare la catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K_0 \supseteq K</math>.
 
  
 
Ma <math>\mathcal G(L/K) = \mathcal G(L/K_0)</math>, e <math>L \supseteq K_0</math> è normale; inoltre se <math>M \supseteq K</math> è radicale, lo è anche <math>M \supseteq K_0</math>, e quindi, a meno di rimpiazzare <math>K</math> con <math>K_0</math>. posso considerare <math>L \supseteq K</math> normale.
 
Ma <math>\mathcal G(L/K) = \mathcal G(L/K_0)</math>, e <math>L \supseteq K_0</math> è normale; inoltre se <math>M \supseteq K</math> è radicale, lo è anche <math>M \supseteq K_0</math>, e quindi, a meno di rimpiazzare <math>K</math> con <math>K_0</math>. posso considerare <math>L \supseteq K</math> normale.
 
  
 
PASSO 2: '''Posso anche assumere che <math>M \supseteq K</math> sia normale'''. Infatti, se non lo fosse, posso considerare la chiusura spezzante <math>N</math> di <math>M</math> su <math>K</math>. Quindi ho la catena <math>N \supseteq M \supseteq L \supseteq K</math>. Per ipotesi la caratteristica di <math>K</math> è 0, quindi <math>N</math> è la chiusura normale di <math>M</math> su <math>K</math>, e <math>N</math> è un'estensione normale di <math>K</math>. Inoltre per l'osservazione precedente, la chiusura di estensioni radicali è radicale allora siccome <math>M \supseteq K</math> è radicale, anche <math>N \supseteq K</math> è radicale.
 
PASSO 2: '''Posso anche assumere che <math>M \supseteq K</math> sia normale'''. Infatti, se non lo fosse, posso considerare la chiusura spezzante <math>N</math> di <math>M</math> su <math>K</math>. Quindi ho la catena <math>N \supseteq M \supseteq L \supseteq K</math>. Per ipotesi la caratteristica di <math>K</math> è 0, quindi <math>N</math> è la chiusura normale di <math>M</math> su <math>K</math>, e <math>N</math> è un'estensione normale di <math>K</math>. Inoltre per l'osservazione precedente, la chiusura di estensioni radicali è radicale allora siccome <math>M \supseteq K</math> è radicale, anche <math>N \supseteq K</math> è radicale.
  
 
+
A meno di rimpiazzare <math>M</math> con <math>N</math>, posso supporre che <math>M</math> sia un'estensione normale di <math>K</math>.
A meno di ripiazzare <math>M</math> con <math>N</math>, posso supporre che <math>M</math> sia un'estensione normale di <math>K</math>.
 
 
 
  
 
PASSO 3: '''Dimostrazione dell'asserto'''. <math>L \supseteq K</math> normale significa che <math>\mathcal G(L/K) \cong \frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math>. Per la versione precedente di questo teorema, <math>M \supseteq K</math> normale e radicale implica che <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile, allora lo è anche <math>\mathcal G(L/K)</math> che è un suo quoziente.
 
PASSO 3: '''Dimostrazione dell'asserto'''. <math>L \supseteq K</math> normale significa che <math>\mathcal G(L/K) \cong \frac{\mathcal G(M/K)}{\mathcal G(M/L)}</math>. Per la versione precedente di questo teorema, <math>M \supseteq K</math> normale e radicale implica che <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile, allora lo è anche <math>\mathcal G(L/K)</math> che è un suo quoziente.
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}

Versione attuale delle 14:46, 21 mag 2018

Estensioni radicali[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.4

Un campo della forma si dice un'estensione radicale di se è vero che , dove , per .

 


Esempio 3.5
  • è un'estensione radicale di perché per , .
  • Per lo stesso motivo, è un'estensione radicale di .
  • è una catena di estensioni radicali.
 


Osservazione 3.3 (osservazioni sulla definizione)
  • In particolare, chiediamo che .
  • Un'estensione radicale è sempre un'estensione di grado finito, perché per definizione è algebrico su , e per il teorema della torre .
  • A meno di aggiungere altri , posso sempre suporre con numero primo.

Sia ad esempio un campo e tale che . Pongo , considero la catena di estensioni . Questa è una catena di estensioni radicali infatti , e . D'altra parte . Allora è radicale ma posso spezzarla come sopra per fare in modo che , con primo.

Più in generale, se considero , e , allora posso sempre scrivere con numero primo. Pongo , e considero la catena di estensioni

Segue quindi che . Inoltre . Se non è un numero primo ripeto il ragionamento precedente e posso così costruire una catena di estensioni radicali in cui è un numero primo per ogni .

 

Lemmi preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Lemma 3.2 (lemma 1)

Sia un numero primo e un campo. Sia il campo di spezzamento su del polinomio . Allora è ciclico, e in particolare risolubile (è abeliano).

 
Dimostrazione

CASO PARTICOLARE: Se ha caratteristica , , ma allora , e è ciclico, quindi vale la tesi.

CASO GENERALE: sia una radice di in una chiusura algebrica di . Allora ha come ordine moltiplicativo un divisore di , ovvero, siccome ho escluso , segue che ha ordine . Allora gli elementi dell'insieme

sono tutti distinti e sono tutte e sole le radici di .

Inoltre . Considero la mappa che ha come dominio e come codominio il gruppo degli automorfismi di : questa mappa associa a l'elemento , che è ben definito perché gli elementi di permutano le radici di .

è un omomorfismo di gruppi ed è iniettivo (infatti l'azione di su è univocamente determinata dall'azione di su ), e anche suriettivo: infatti, se considero il polinomio , esso è polinomio minimo di su , allora . Ma per il teorema fondamentale della teoria di Galois, , e quindi

ed eguagliando primo e ultimo membro segue che è suriettivo. Segue quindi che è ciclico, e siccome un gruppo ciclico è sempre abeliano, è anche risolubile.

Mia nota: il fatto che è vero perché gli automorfismi di un gruppo ciclico sono tanti quanti i suoi generatori, e in questo caso, ha generatori (tutti i suoi elementi tranne l'unità). Infatti, fissato un elemento , un elemento di è univocamente determinato quando determino l'immagine di , che dev'essere uno dei generatori di .

 


Lemma 3.3

Sia un campo, su cui il polinomio si spezza in fattori lineari (in altre parole deve contenere radici n-esime dell'unità), e prendo . Sia campo di spezzamento su del polinomio , allora è abeliano, e in particolare è risolubile.

 
Dimostrazione

Sia una radice di , le altre radici di questo polinomio sono della forma , per , con , cioè radice n-esima dell'unità. Si ha che , perché, per ipotesi, . Prendo , tali che , con . Siccome sono determinate dalla loro azione su , per mostrare che è abeliano, e quindi che , basta mostrare che .

( e infatti fissano )

e quindi , e è abeliano.

 


Osservazione 3.4

Nell'ipotesi che abbia caratteristica , posso aggiungere alla tesi del lemma precedente anche il fatto che è ciclico e non solo abeliano.

Infatti, per ipotesi contiene le radici di , in caratteristica 0 ha radici distinte perché la sua derivata è e . Chiamo

l'insieme delle radici di .

Allora le radici di sono della forma , per .

Considero una mappa , che associa a l'elemento (in particolare, se , questa mappa associa a l'elemento ).

Mostro che è un omomorfismo di gruppi. Siano tali che , , allora

Allora .
Quindi è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettivo. Siccome è ciclico, anche l'immagine che è un sottogruppo di è un gruppo ciclico, e quindi isomorfo all'immagine di è ciclico.

 

Teorema di risolubilità per radicali (prima parte)[modifica | modifica wikitesto]

Dai lemmi appena dimostrati segue
Teorema 3.2

Siano un campo di caratteristica 0 e un'estensione di radicale e normale. Allora è risolubile.

 


Dimostrazione

Posso scrivere dove per le osservazioni precedenti posso supporre che per numero primo, . Sia minimo per cui vale questa scrittura.

Ragiono per induzione su . Per semplicità di notazione pongo e .

CASO 1: CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Allora considero e considero la catena di estensioni .

Affermo che è normale. Infatti, siccome , è campo di spezzamento su di e ha caratteristica 0.

Inoltre, per il teorema fondamentale della teoria di Galois normale implica normale in , e . In particolare è ciclico e risolubile per il lemma 2, inoltre è risolubile per induzione, perché . Allora, per le proprietà dei gruppi risolubili, siccome ha un sottogruppo normale e risolubile e siccome il quoziente è risolubile, segue che anche è risolubile.

CASO 2: NON CONTIENE LE RADICI P-ESIME DELL'UNITÀ. Sia tale che . Considero il seguente diagramma (è un rettangolo):

Muovendomi sul lato sinistro del rettangolo si ha la catena di estensioni
L'estensione è normale per ipotesi, supponiamo che anche sia normale (dimostrazione ). Allora per il teorema fondamentale della teoria di Galois
Per le proprietà dei gruppi risolubili, se è risolubile lo è anche che è un suo quoziente.
Devo quindi mostrare che è risolubile: Girando verso destra sul rettangolo considero la catena di estensioni .

Si ha che è normale, perché è campo di spezzamento su di .

Per il teorema fondamentale della teoria di Galois

è ciclico e risolubile per il lemma 1; se è risolubile, segue che anche è risolubile per le proprietà dei gruppi risolubili.

Mostro quindi che è risolubile, per farlo considero la catena di estensioni . Osservo che è normale perché è campo di spezzamento su , e quindi anche su , del polinomio .

Per il teorema fondamentale della teoria di Galois

Per il lemma 2 si ha che è ciclico (infatti contiene radici dell'unità), dunque risolubile. Infine è risolubile per induzione perché . Allora l'asserto è dimostrato.

Rimane da mostrare che è normale.

 


Proposizione 3.2

Supponiamo di avere la catena di estensioni , e sappiamo che è normale e è normale. Supponiamo che ogni automorfismo di su si solleva a un automorfismo di su . Allora anche è normale.

 


Dimostrazione

Mostro che se è un elemento in , esiste tale che .

  1. Se , siccome è normale, esiste con , ma , allora .
  2. Se invece , siccome è normale, esisterà con . Per ipotesi, posso sollevare a .
 


Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Applicando la proposizione precedente, mostro che è normale. Considero la catena di estensioni , allora

  • è normale per ipotesi;
  • è normale perché è campo di spezzamento del polinomio su ;
  • gli automorfismi di su si possono sollevare ad automorfismi di su . Infatti, sia , allora . Se ho due campi e un automorfismo , se considero , e considero campo di spezzamento per su e campo di spezzamento per su , allora si solleva a un isomorfismo .
 

Composto di due campi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.5

Sia un campo, e sottocampi di . Allora il più piccolo sottocampo di che contiene e si dice composto di e , e si scrive duqnue

dove varia tra i sottocampi di con e .

 


Osservazione 3.5

Considero il caso in cui e sono campi intermedi tra e . Sia , e , allora

 


Lemma 3.4

Il composto di un numero finito di estensioni radicali è ancora un'estensione radicale.

 
Dimostrazione

E' sufficiente mostrare l'asserto nel caso di due estensioni. Siano estensioni radicali, supponiamo che con , , mentre con . Allora se considero il composto di e si ha:

che è ancora un'estensione radicale, infatti, siccome è radicale, e quindi a maggior ragione .

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • Sia una catena di estensioni, e supponiamo di sapere che è radicale. Allora lo è anche .
Dimostrazione

Se , con , per allora a maggior ragione , con .

 
  • Una chiusura spezzante di un'estensione radicale è ancora un'estensione radicale.
Dimostrazione

Sia un'estensione radicale, allora in particolare è un'estensione di grado finito. Considero una base di su , , ogni è algebrico su e quindi posso considerare polinomio minimo di su . Sia , e campo di spezzamento di su . Allora è anche campo di spezzamento di su , e ha coefficienti in .

Mostriamo che .

INCLUSIONE 1: è generato su dalle radici degli . Considero un'altra radice di diversa da . Allora esiste un isomorfismo tale che e . è campo di spezzamento di su e su , allora posso sollevare a un automorfismo di su , , che manda in .

In particolare , e quindi tutti i generatori di sono contenuti nel composto degli al variare di , e quindi .

INCLUSIONE 2: ovviamente contiene e quindi contiene tutti gli per . Segue che contiene anche il loro composto.

Voglio concludere che è radicale perché composto di un numero finito di estensioni radicali.

In particolare è finito perché è campo di spezzamento di un polinomio su e quindi . L'estensione in generale non e' normale (sto considerando la chiusura spezzante e non la chiusura normale) pero' so che, in generale, quindi anche .

In tutto sto considerando una composizione di un numero finito di estensioni radicali.

 
Il teorema precedente si può scrivere in una forma più generale:
Teorema 3.3

Sia un campo di caratteristica 0, e siano estensioni di campi, con un'estensione radicale. Allora è risolubile.

 
Dimostrazione

PASSO 1: posso assumere normale. Infatti, se non lo è, posso considerare la chiusura di rispetto a (cioè gli elementi fissati da ). Allora posso considerare la catena di estensioni .

Ma , e è normale; inoltre se è radicale, lo è anche , e quindi, a meno di rimpiazzare con . posso considerare normale.

PASSO 2: Posso anche assumere che sia normale. Infatti, se non lo fosse, posso considerare la chiusura spezzante di su . Quindi ho la catena . Per ipotesi la caratteristica di è 0, quindi è la chiusura normale di su , e è un'estensione normale di . Inoltre per l'osservazione precedente, la chiusura di estensioni radicali è radicale allora siccome è radicale, anche è radicale.

A meno di rimpiazzare con , posso supporre che sia un'estensione normale di .

PASSO 3: Dimostrazione dell'asserto. normale significa che . Per la versione precedente di questo teorema, normale e radicale implica che è risolubile, allora lo è anche che è un suo quoziente.

 
 PrecedenteSuccessivo