Inverso del teorema di risoluubilità per radicali

m (Pywikibot v.2)
 
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==Automorfismi linearmente indipendenti==
 
==Automorfismi linearmente indipendenti==
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Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> automorfismi di <math>K</math>. Diciamo che <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> sono ''linearmente indipendenti'' se la scrittura<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_n x^{\sigma_n}=0, \; \forall x \in K, \, a_1,\dots,a_n \in K</math>implica <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>.
 
Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> automorfismi di <math>K</math>. Diciamo che <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> sono ''linearmente indipendenti'' se la scrittura<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_n x^{\sigma_n}=0, \; \forall x \in K, \, a_1,\dots,a_n \in K</math>implica <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>.
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, <math>G = \mathcal G(M/K) = \{g_1,\dots,g_n\}</math>.  Per <math>x \in M</math>, <math>t(x)</math> è una combinazione lineare di <math>g_1,\dots,g_n</math>,
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, <math>G = \mathcal G(M/K) = \{g_1,\dots,g_n\}</math>.  Per <math>x \in M</math>, <math>t(x)</math> è una combinazione lineare di <math>g_1,\dots,g_n</math>,
 
con tutti i coefficienti uguali a 1.
 
con tutti i coefficienti uguali a 1.
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==Elementi di traccia nulla==
 
==Elementi di traccia nulla==
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un certo elemento <math>g</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in M</math> ha traccia 0 se e solo se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math> per un certo <math>\beta \in M</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un certo elemento <math>g</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in M</math> ha traccia 0 se e solo se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math> per un certo <math>\beta \in M</math>.
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di campi, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine primo <math>p</math>, e sia <math>p</math> la caratteristica di <math>K</math>.  Allora <math>M = K(\alpha)</math> dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^p-x-a</math>, a coefficienti in <math>K[x]</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di campi, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine primo <math>p</math>, e sia <math>p</math> la caratteristica di <math>K</math>.  Allora <math>M = K(\alpha)</math> dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^p-x-a</math>, a coefficienti in <math>K[x]</math>.
 
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==Elementi di norma 1==
 
==Elementi di norma 1==
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, e <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico, generato da un elemento <math>g</math> di ordine <math>n</math>. Un elemento <math>\alpha \in M</math> ha norma 1 se e solo se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>, per un certo <math>\beta \neq 0 \in M</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, e <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico, generato da un elemento <math>g</math> di ordine <math>n</math>. Un elemento <math>\alpha \in M</math> ha norma 1 se e solo se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>, per un certo <math>\beta \neq 0 \in M</math>.
 
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un elemento <math>g</math>. Supponiamo che <math>K</math> contenga le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè che <math>x^n-1</math> si spezzi su <math>K</math> in fattori lineari.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un elemento <math>g</math>. Supponiamo che <math>K</math> contenga le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè che <math>x^n-1</math> si spezzi su <math>K</math> in fattori lineari.
  
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==Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)==
 
==Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)==
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Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> risolubile. Allora esiste un campo <math>E</math> tale che <math>E \supseteq M \supseteq K</math>, e tale che <math>E \supseteq K</math> sia un'estensione radicale.
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> risolubile. Allora esiste un campo <math>E</math> tale che <math>E \supseteq M \supseteq K</math>, e tale che <math>E \supseteq K</math> sia un'estensione radicale.
 
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{{FineDimostrazione}}
 
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Nella dimostrazione abbiamo supposto che <math>G</math>, essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice <math>p</math>, per un certo primo <math>p</math>. Mostriamo questo fatto.{{InizioDimostrazione|titolo=dimostrazione $\ast$}}
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Nella dimostrazione abbiamo supposto che <math>G</math>, essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice <math>p</math>, per un certo primo <math>p</math>. Mostriamo questo fatto.{{InizioDimostrazione|title=dimostrazione $\ast$}}
 
Dato un gruppo risolubile finito <math>G</math>, il suo derivato primo <math>G'</math> è un sottogruppo proprio di <math>G</math>, e il quoziente <math>G/G'</math> è un gruppo abeliano (osservazione 1).
 
Dato un gruppo risolubile finito <math>G</math>, il suo derivato primo <math>G'</math> è un sottogruppo proprio di <math>G</math>, e il quoziente <math>G/G'</math> è un gruppo abeliano (osservazione 1).
  
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Dal teorema precedente si evince:
 
Dal teorema precedente si evince:
  
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Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, <math>M</math> campo di spezzamento per <math>f</math> su <math>K</math>. Allora l'equazione <math>f(x)=0</math> è risolubile per radicali se e solo se <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, <math>M</math> campo di spezzamento per <math>f</math> su <math>K</math>. Allora l'equazione <math>f(x)=0</math> è risolubile per radicali se e solo se <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
 
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{{FineTeorema}}

Versione attuale delle 15:19, 21 mag 2018

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Sia un'estensione di grado finito, e indichiamo con gli elementi di . Allora, dato , definiamo rispettivamente la traccia e la norma di in questo modo:

Osserviamo che , , , e per , e , infine la traccia è suriettiva nel caso di campi di caratteristica 0. Abbiamo dimostrato anche che se , allora

Automorfismi linearmente indipendenti[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.9

Sia un campo, e siano automorfismi di . Diciamo che sono linearmente indipendenti se la scrittura

implica .

 


Lemma 3.5

Sia un campo, ogni insieme finito di automorfismi distinti di è linearmente indipendente.

 
Dimostrazione

Supponiamo di avere automorfismi di , , con se , e supponiamo per assurdo che siano linearmente dipendenti. Tra tutte le relazioni di dipendenza lineare di , ne scegliamo una con il massimo numero di coefficienti uguali a 0.

A meno di riordinare, posso supporre che valga

Se fosse , si avrebbe , ma questo non può avvenire (ad esempio, la relazione non vale per , perché e ). Allora .

Per ipotesi, , allora esiste tale che . La formula 1 rimane valida se sostituisco con ( e quando varia in , descrive tutto ). Allora ottengo:

ed esplicitando i prodotti
Posso moltiplicare la formula 1 per , e ottengo:
Se sottraggo la formula 3 alla formula 2 ottengo
e questa è una relazione di dipendenza lineare degli automorfismi di lunghezza minore del minimo, assurdo!

(notare che )

 


Osservazione 3.6

Sia un'estensione normale di grado finito, . Per , è una combinazione lineare di , con tutti i coefficienti uguali a 1.

Siccome per il lemma sono linearmente indipendenti, non si può avere . Allora esiste , tale che .

Dato , pongo . Allora

ovvero la traccia è suriettiva.

 

Elementi di traccia nulla[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 3.4

Sia un'estensione normale, con ciclico di ordine , generato da un certo elemento . Allora un elemento ha traccia 0 se e solo se per un certo .

 
Dimostrazione

: Siccome è ciclico si ha . Se ,

e siccome , quindi
: sia un elemento di traccia 0. Siccome la traccia è suriettiva, esiste un elemento di traccia 1. Definiamo i seguenti elementi:
Inoltre
cioè
Pongo
allora
I termini tra parentesi sono della forma quindi posso usare la formula 1, e usando anche la definizione di :
Si ricava anche
perché . Quindi
perché per la scelta di . Allora per ogni elemento di traccia nulla vale la relazione .

 


Proposizione 3.5 (applicazione)

Sia un'estensione normale di campi, con ciclico di ordine primo , e sia la caratteristica di . Allora dove è radice di un polinomio irriducibile della forma , a coefficienti in .

 
Dimostrazione

Supponiamo che sia generato da un elemento . Siccome , in caratteristica . Allora esiste tale che , posto , ottengo

cioè , (uguaglianza 1).
Inoltre, usando l'uguaglianza 1,
cioè (uguaglianza 2).

Pongo , e mostro che . Poiché è normale e quindi , basta provare che . Usando le uguaglianze 1 e 2,

allora .
Mostro ora che : considero la catena di estensioni , affermo che perché (altrimenti, siccome fissa , si avrebbe , e questo non è vero perché per l'uguaglianza 1 ).

Siccome primo, non ci sono campi intermedi propri tra e , quindi .

Rimane da mostrare che è irriducibile: questo è vero perché è a coefficienti in , è monico e ha grado , allora sarà necessariamente il polinomio minimo di su e quindi è irriducibile.

 

Elementi di norma 1[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 3.5 (Satz 90 di Hilbert)

Sia un'estensione normale, e ciclico, generato da un elemento di ordine . Un elemento ha norma 1 se e solo se , per un certo .

 
Dimostrazione

: Come prima, . Se ,

e siccome :
: viceversa, sia un elemento con norma 1. Allora per , definiamo
Consideriamo la somma
dove , e .

Se fosse

cioè
avrei una relazione di dipendenza lineare tra , ma questo non può avvenire perché sono linearmente indipendenti essendo automorfismi (distinti) di un campo . Allora esiste per cui la somma non sia 0, chiamo la somma in corrispondenza di tale , e quindi .

Osservo che

cioè (formula 1). Negli altri due casi:
quindi la formula 1 vale anche per .
Calcoliamo .
e usando le formule 1 e 2:
ma , quindi
cioè ogni elemento di norma unitaria è tale che .

 


Proposizione 3.6

Sia un'estensione normale, con ciclico di ordine , generato da un elemento . Supponiamo che contenga le radici -esime dell'unità, cioè che si spezzi su in fattori lineari.

Supponiamo che la caratteristica di non divida . Allora , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma a coefficienti in .

 
Dimostrazione

Il polinomio ha radici distinte, perché la sua derivata è e per l'ipotesi sulla caratteristica di .

Tutte le radici di stanno in , formano un sottogruppo ciclico di in particolare .

Siccome , segue subito che . Allora per la Satz 90 di Hilbert, esiste per cui . Se pongo , si ha che , cioè (uguaglianza 1).

Voglio provare che . Siccome l'estensione è normale, basta mostrare che , applicando l'uguaglianza 1 si ha:

Allora .
Considero , che è campo di spezzamento su del polinomio . Si verificano due casi:

CASO 1: PRIMO. Tra e non ci sono campi intermedi propri perché . è un campo intermedio diverso da , perché (infatti significherebbe , e questo non avviene). Allora necessariamente , è radice del polinomio a coefficienti in e, siccome , questo polinomio è il polinomio minimo di su e pertanto è necessariamente irriducibile.

CASO 2: NON PRIMO. Considero , è campo di spezzamento su del polinomio . Le radici di questo polinomio sono gli elementi dell'insieme

In particolare
Inoltre si ha che è normale, ovvero è stabile sotto l'azione degli elementi di . Allora, gli elementi di inducono per restrizione automorfismi di su , in particolare inducono automorfismi distinti perché se , . Allora
allora (infatti vale anche la disuguaglianza perché è un sottogruppo di ).
Infine, come prima, si ha che il polinomio è irriducibile essendo il polinomio minimo di su .

 

Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 3.6

Sia un campo di caratteristica 0, sia un'estensione normale, con risolubile. Allora esiste un campo tale che , e tale che sia un'estensione radicale.

 
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione sul grado di su .

Chiamo , per ipotesi è risolubile e finito. Allora esiste sottogruppo normale di , con primo (dimostrazione ).

CASO 1: CONTIENE LE RADICI -ESIME DELL'UNITÀ. Qui mostriamo in realtà che è radicale. Pongo , allora è un campo intermedio tra e , è normale in e quindi è un'estensione normale di . Inoltre .

Siccome , è ciclico di ordine e, poiche' contiene le radici dell'unità per ipotesi, posso applicare il risultato precedente. Segue che , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma . Allora è radicale perché .

Siccome è risolubile per ipotesi, , che è un suo sottogruppo, è anch'esso risolubile. Inoltre poiché , . Allora, per induzione, è radicale, cioè , con . Inoltre e un'estensione radicale, segue che

e è radicale.

CASO 2: NON CONTIENE LE RADICI -ESIME DELL'UNITÀ. Sia tale che . Considero il seguente diagramma:

Girando in senso antiorario ho la catena di estensioni , per ipotesi è normale, è campo di spezzamento su di , e ha caratteristica 0, quindi anche è normale. Inoltre posso sollevare gli automorfismi di su a automorfismi di su , allora, per una proposizione dimostrata precedentemente (Lezione del 14 aprile, proposizione 0.2.8), è normale.

Inoltre, l'ipotesi normale implica che è stabile sotto l'azione degli elementi di . In particolare, è possibile definire un omomorfismo di gruppi tale che , che è iniettivo: infatti, dati , essi fissano , cioè . Se imponiamo si ha che , e quindi sono uguali come automorfismi di su . Segue che il gruppo di partenza, è isomorfo a un sottogruppo di , e siccome quest'ultimo è risolubile, anche lo è. Possono quindi verificarsi due casi:

  1. è isomorfo a un sottogruppo proprio di . Questo vuol dire che è un'estensione normale, perché è un campo intermedio tra e (in generale, data la catena di estensioni , se è normale segue che è normale).Si ha , allora per induzione esiste campo con tale che è un'estensione radicale. Ma è un'estensione radicale di , allora per un ragionamento analogo al caso precedente è radicale, e .
  2. . Allora è risolubile e contiene un sottogruppo normale con (questo perche'e' isomorfo a , quindi contiene un sottogruppo isomorfo ad ). Ragionando come nel primo caso, pongo , allora, poiché è normale in , è un'estensione normale di , con ciclico di ordine .Per il risultato precedente, siccome contiene radici -esime dell'unità per costruzione, segue che , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma con .Poi, , e è risolubile essendo un sottogruppo di , allora per induzione esiste tale che dove è radicale. Ma , e quindi è un'estensione radicale di . Quindi anche è un'estensione radicale di .
 
Nella dimostrazione abbiamo supposto che , essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice , per un certo primo . Mostriamo questo fatto.
Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Dato un gruppo risolubile finito , il suo derivato primo è un sottogruppo proprio di , e il quoziente è un gruppo abeliano (osservazione 1).

Inoltre, mostriamo che, dato un gruppo qualsiasi finito e normale a quoziente abeliano, se non ha ordine primo, posso trovare un sottogruppo in con e normale in , e abeliano (osservazione 2).

Supponiamo che non abbia ordine primo allora con primo, e il quoziente contiene un sottogruppo di ordine , i cui elementi sono laterali destri di : per certi .

Allora pongo e osservo che

  1. è chiuso rispetto al prodotto: siano , elementi di , allora
    e poiché è un gruppo, . Inoltre e' un sottogruppo di quindi per un certo allora e
    e , quindi .
  2. è un sottogruppo di , infatti vale la chiusura rispetto al prodotto e poi contiene e quindi è non vuoto.
  3. è normale. Per le proprietà del derivato, siccome è abeliano, .Dato , , mostro che . Osservo che
    quindi
    ma , e siccome è normale, , e , allora è normale in .
  4. contiene propriamente.
  5. infine è abeliano per le proprietà del derivato, infatti.

Torniamo a risolubile finito. Per l'osservazione 1, è abeliano; se ha ordine un numero primo l'asserto è vero, cioè ho trovato un sottogruppo normale in di indice ; altrimenti, per l'osservazione 2, posso passare da a un sottogruppo che lo contiene propriamente e che sia normale in e sia a quoziente abeliano, e ripeto il procedimento su .

 

Dal teorema precedente si evince:

Teorema 3.7

Sia un campo di caratteristica 0, un polinomio non costante, campo di spezzamento per su . Allora l'equazione è risolubile per radicali se e solo se è risolubile.

 
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