Inverso del teorema di risoluubilità per radicali

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==Riepilogo==
 
==Riepilogo==
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito, e indichiamo con <math>g_1,\dots,g_n</math> gli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math>. Allora, dato <math>\alpha \in M</math>, definiamo rispettivamente la traccia e la norma di <math>\alpha</math> in questo modo:
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Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione di grado finito, e indichiamo con <math>g_1,\dots,g_n</math> gli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math>. Allora, dato <math>\alpha \in M</math>, definiamo rispettivamente la traccia e la norma di <math>\alpha</math> in questo modo:<math display="block">t(\alpha) := \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}</math><math display="block">n(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}.</math>Osserviamo che <math>t(\alpha), n(\alpha) \in K</math>, <math>t(\alpha+\beta)=t(\alpha)+t(\beta)</math>, <math>n(\alpha \beta)=n(\alpha)*n(\beta)</math>, e per <math>a \in K</math>, <math>t(a) = na</math> e <math>n(a)=a^n</math>, infine la traccia è suriettiva nel caso di campi di caratteristica 0. Abbiamo dimostrato anche che se <math>a \in K, \alpha \in M</math>, allora<math display="block">t(a \alpha) = a*t(\alpha).</math>
<math display="block">t(\alpha) := \alpha^{g_1}+\alpha^{g_2}+\dots +\alpha^{g_n}</math><math display="block">n(\alpha) = \alpha^{g_1}*\alpha^{g_2}*\dots*\alpha^{g_n}.</math>
 
Osserviamo che <math>t(\alpha), n(\alpha) \in K</math>, <math>t(\alpha+\beta)=t(\alpha)+t(\beta)</math>, <math>n(\alpha \beta)=n(\alpha)*n(\beta)</math>, e per <math>a \in K</math>, <math>t(a) = na</math> e <math>n(a)=a^n</math>, infine la traccia è suriettiva nel caso di campi di caratteristica 0. Abbiamo dimostrato anche che se <math>a \in K, \alpha \in M</math>, allora
 
<math display="block">t(a \alpha) = a*t(\alpha).</math>
 
  
 
==Automorfismi linearmente indipendenti==
 
==Automorfismi linearmente indipendenti==
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{{InizioDefinizione|title=|number=3.9|anchor=Definizione3_9}}
Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> automorfismi di <math>K</math>. Diciamo che <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> sono ''linearmente indipendenti'' se la scrittura
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Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> automorfismi di <math>K</math>. Diciamo che <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math> sono ''linearmente indipendenti'' se la scrittura<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_n x^{\sigma_n}=0, \; \forall x \in K, \, a_1,\dots,a_n \in K</math>implica <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>.
<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_n x^{\sigma_n}=0, \; \forall x \in K, \, a_1,\dots,a_n \in K</math>
 
implica <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>.
 
 
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Supponiamo di avere <math>n</math> automorfismi di <math>K</math>, <math>\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n</math>, con <math>\sigma_i \neq \sigma_j</math> se <math>i \neq j</math>, e supponiamo per assurdo che siano linearmente dipendenti. Tra tutte le relazioni di dipendenza lineare di <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math>,  ne scegliamo una con il massimo numero di coefficienti <math>a_i</math> uguali a 0.
 
Supponiamo di avere <math>n</math> automorfismi di <math>K</math>, <math>\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n</math>, con <math>\sigma_i \neq \sigma_j</math> se <math>i \neq j</math>, e supponiamo per assurdo che siano linearmente dipendenti. Tra tutte le relazioni di dipendenza lineare di <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math>,  ne scegliamo una con il massimo numero di coefficienti <math>a_i</math> uguali a 0.
  
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A meno di riordinare, posso supporre che valga<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_r x^{\sigma_r}=0, \, \forall x \in K, \; a_i \neq 0 \;\forall i=1,\dots,r \, \hbox{formula 1}.</math>Se fosse <math>r=1</math>, si avrebbe <math>a_1 x^{\sigma_1}=0,\; \forall x</math>, ma questo non può avvenire (ad esempio, la relazione non vale per <math>x=1</math>, perché <math>a_1 \neq 0</math> e <math>x^{\sigma_1}=1 \neq 0</math>). Allora <math>r \ge 2</math>.
  
A meno di riordinare, posso supporre che valga
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Per ipotesi, <math>\sigma_1 \neq \sigma_2</math>, allora esiste <math>b \in K</math>  tale che <math>b^{\sigma_1} \neq b^{\sigma_2}</math>. La formula 1 rimane valida se sostituisco <math>x</math> con <math>bx</math> (<math>b \neq 0</math> e quando <math>x</math> varia in <math>K</math>, <math>bx</math> descrive tutto <math>K</math>). Allora ottengo:
<math display="block">a_1 x^{\sigma_1}+a_2 x^{\sigma_2}+\dots +a_r x^{\sigma_r}=0, \, \forall x \in K, \; a_i \neq 0 \;\forall i=1,\dots,r \, \hbox{formula 1}.</math>
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<math display="block">a_1 (bx)^{\sigma_1}+a_2 (bx)^{\sigma_2}+\dots +a_r (bx)^{\sigma_r} =0, \, \forall x \in K</math>ed esplicitando i prodotti<math display="block">a_1 b^{\sigma_1} x^{\sigma_1}+a_2 b^{\sigma_2} x^{\sigma_2}+\dots +a_r b^{\sigma_r} x^{\sigma_r} =0, \;\forall x \in K \, \hbox{formula 2}</math>Posso moltiplicare la formula 1 per <math>b^{\sigma_1}</math>, e ottengo:<math display="block">a_1 b^{\sigma_1} x^{\sigma_1}+a_2 b^{\sigma_1} x^{\sigma_2}+\dots +a_r b^{\sigma_1} x^{\sigma_r}=0,\; \forall x \in K, \hbox{formula 3}</math>Se sottraggo la formula 3 alla formula 2 ottengo<math display="block">a_2 (b^{\sigma_2}-b^{\sigma_1})*x^{\sigma_2}+a_3 (b^{\sigma_3}-b^{\sigma_1}) x^{\sigma_3}+\dots +a_r (b^{\sigma_r}-b^{\sigma_1}) x^{\sigma_r}=0, \, \forall x \in K</math>e questa è una relazione di dipendenza lineare degli automorfismi di lunghezza minore del minimo, assurdo!
Se fosse <math>r=1</math>, si avrebbe <math>a_1 x^{\sigma_1}=0,\; \forall x</math>, ma questo non può avvenire (ad esempio, la relazione non vale per <math>x=1</math>, perché <math>a_1 \neq 0</math> e <math>x^{\sigma_1}=1 \neq 0</math>). Allora <math>r \ge 2</math>.
 
  
 
Per ipotesi, <math>\sigma_1 \neq \sigma_2</math>, allora esiste <math>b \in K</math>  tale che <math>b^{\sigma_1} \neq b^{\sigma_2}</math>. La formula 1 rimane valida se sostituisco <math>x</math> con <math>bx</math> (<math>b \neq 0</math> e quando <math>x</math> varia in <math>K</math>, <math>bx</math> descrive tutto <math>K</math>). Allora ottengo:
 
<math display="block">a_1 (bx)^{\sigma_1}+a_2 (bx)^{\sigma_2}+\dots +a_r (bx)^{\sigma_r} =0, \, \forall x \in K</math>
 
ed esplicitando i prodotti
 
<math display="block">a_1 b^{\sigma_1} x^{\sigma_1}+a_2 b^{\sigma_2} x^{\sigma_2}+\dots +a_r b^{\sigma_r} x^{\sigma_r} =0, \;\forall x \in K \, \hbox{formula 2}</math>
 
Posso moltiplicare la formula 1 per <math>b^{\sigma_1}</math>, e ottengo:
 
<math display="block">a_1 b^{\sigma_1} x^{\sigma_1}+a_2 b^{\sigma_1} x^{\sigma_2}+\dots +a_r b^{\sigma_1} x^{\sigma_r}=0,\; \forall x \in K, \hbox{formula 3}</math>
 
Se sottraggo la formula 3 alla formula 2 ottengo
 
<math display="block">a_2 (b^{\sigma_2}-b^{\sigma_1})*x^{\sigma_2}+a_3 (b^{\sigma_3}-b^{\sigma_1}) x^{\sigma_3}+\dots +a_r (b^{\sigma_r}-b^{\sigma_1}) x^{\sigma_r}=0, \, \forall x \in K</math>
 
e questa è una relazione di dipendenza lineare degli automorfismi di lunghezza minore del minimo, assurdo!
 
 
(notare che <math>b^{\sigma_2}-b^{\sigma_1} \neq 0</math>)
 
(notare che <math>b^{\sigma_2}-b^{\sigma_1} \neq 0</math>)
 
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{{InizioOsservazione|titolo=|number=3.6|anchor=Osservazione3_6}}
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{{InizioOsservazione|title=|number=3.6|anchor=Osservazione3_6}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, <math>G = \mathcal G(M/K) = \{g_1,\dots,g_n\}</math>.  Per <math>x \in M</math>, <math>t(x)</math> è una combinazione lineare di <math>g_1,\dots,g_n</math>,
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito, <math>G = \mathcal G(M/K) = \{g_1,\dots,g_n\}</math>.  Per <math>x \in M</math>, <math>t(x)</math> è una combinazione lineare di <math>g_1,\dots,g_n</math>,
 
con tutti i coefficienti uguali a 1.
 
con tutti i coefficienti uguali a 1.
 
  
 
Siccome per il lemma <math>g_1,\dots,g_n</math> sono linearmente indipendenti, non si può avere <math>t(x)=0,\; \forall x \in M</math>. Allora esiste <math>\alpha \in M</math>, tale che <math>t(\alpha)=c \neq 0</math>.
 
Siccome per il lemma <math>g_1,\dots,g_n</math> sono linearmente indipendenti, non si può avere <math>t(x)=0,\; \forall x \in M</math>. Allora esiste <math>\alpha \in M</math>, tale che <math>t(\alpha)=c \neq 0</math>.
  
 
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Dato <math>b \in K</math>, pongo <math>\beta := b c^{-1} \alpha</math>. Allora<math display="block">t(\beta) = b c^{-1} t(\alpha) = b.</math>ovvero '''la traccia è suriettiva'''.
Dato <math>b \in K</math>, pongo <math>\beta := b c^{-1} \alpha</math>. Allora
 
<math display="block">t(\beta) = b c^{-1} t(\alpha) = b.</math>
 
ovvero '''la traccia è suriettiva'''.
 
 
{{FineOsservazione}}
 
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==Elementi di traccia nulla==
 
==Elementi di traccia nulla==
{{InizioProposizione|titolo=|number=3.4|anchor=Proposizione3_4}}
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{{InizioProposizione|title=|number=3.4|anchor=Proposizione3_4}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un certo elemento <math>g</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in M</math> ha traccia 0 se e solo se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math> per un certo <math>\beta \in M</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un certo elemento <math>g</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in M</math> ha traccia 0 se e solo se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math> per un certo <math>\beta \in M</math>.
 
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{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: Siccome <math>\mathcal G(M/K)</math> è ciclico si ha <math>\mathcal G(M/K)=\{1,g,g^2,\dots,g^{n-1} \}</math>. Se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math>,
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<math>1 \longrightarrow 2</math>: Siccome <math>\mathcal G(M/K)</math> è ciclico si ha <math>\mathcal G(M/K)=\{1,g,g^2,\dots,g^{n-1} \}</math>. Se <math>\alpha = \beta-\beta^g</math>,<math display="block">t(\alpha) = (\beta-\beta^g)^1+(\beta-\beta^g)^g+\dots +(\beta-\beta^g)^{g^{n-1}}</math><math display="block">= \beta-\beta^g+\beta^g-\beta^{g^2}+\dots +\beta^{g^{n-1}}-\beta^{g^n}</math>e siccome <math>g^n=1</math>, <math>\beta^{g^n}=\beta</math> quindi<math display="block">= \beta-\beta^g+\beta^g-\beta^{g^2}+\dots +\beta^{g^{n-1}}-\beta = 0.</math><math>2 \longrightarrow 1</math>: sia <math>\alpha \in M</math> un elemento di traccia 0. Siccome la traccia è suriettiva, esiste un elemento <math>c \in M</math> di traccia 1. Definiamo i seguenti elementi:<math display="block">\delta_0 := \alpha*c</math><math display="block">\delta_1 := (\alpha+\alpha^g)*c^g</math><math display="block">\vdots</math><math display="block">\delta_i := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^i})*c^{g^i}</math><math display="block">\vdots</math><math display="block">\delta_{n-2} := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^{n-2}})*c^{g^{n-2}}</math><math display="block">\delta_{n-1} := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = t(\alpha)*c^{g^{n-1}} = 0</math>Inoltre<math display="block">\delta_i^g = (\alpha^g+\alpha^{g^2}+\dots +\alpha^{g^{i+1}})*c^{g^{i+1}} = \delta_{i+1}-\alpha c^{g^{i+1}}.</math>cioè<math display="block">\delta_{i+1}-\delta_i^g = \alpha c^{g^{i+1}}, \, \hbox{formula 1}</math>Pongo<math display="block">\beta =\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-2}</math>allora<math display="block">\beta-\beta^g = \delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-2}-\delta_0^g-\delta_1^g-\dots-\delta_{n-2}^g</math><math display="block">= \delta_0+(\delta_1-\delta_0^g)+(\delta_2-\delta_1^g)+\dots +(\delta_{n-2}-\delta_{n-3}^g)-\delta_{n-2}^g</math>I termini tra parentesi sono della forma <math>\delta_{i+1}-\delta_i^g</math> quindi posso usare la formula 1, e usando anche la definizione di <math>\delta_0</math>:<math display="block">\beta-\beta^g = \alpha*c+\alpha*c^g+\alpha*c^{g^2}+\dots +\alpha c^{g^{n-2}}-\delta_{n-2}^g</math>Si ricava anche<math display="block">\delta_{n-2}^g = (\alpha^g+\alpha^{g^2}+\cdots+\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = \delta_{n-1}-\alpha c^{g^{n-1}} = -\alpha c^{g^{n-1}}</math>perché <math>\delta_{n-1}=0</math>. Quindi<math display="block">\beta-\beta^g = \alpha c+\alpha c^g+\dots +\alpha c^{g^{n-2}}+\alpha c^{g^{n-1}} = \alpha t(c) = \alpha</math>perché <math>t(c)=1</math> per la scelta di <math>c</math>. Allora per ogni elemento <math>\alpha</math> di traccia nulla vale la relazione <math>\alpha = \beta-\beta^g</math>.
<math display="block">t(\alpha) = (\beta-\beta^g)^1+(\beta-\beta^g)^g+\dots +(\beta-\beta^g)^{g^{n-1}}</math><math display="block">= \beta-\beta^g+\beta^g-\beta^{g^2}+\dots +\beta^{g^{n-1}}-\beta^{g^n}</math>
 
e siccome <math>g^n=1</math>, <math>\beta^{g^n}=\beta</math> quindi
 
<math display="block">= \beta-\beta^g+\beta^g-\beta^{g^2}+\dots +\beta^{g^{n-1}}-\beta = 0.</math>
 
 
 
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: sia <math>\alpha \in M</math> un elemento di traccia 0. Siccome la traccia è suriettiva, esiste un elemento <math>c \in M</math> di traccia 1. Definiamo i seguenti elementi:
 
<math display="block">\delta_0 := \alpha*c</math>
 
<math display="block">\delta_1 := (\alpha+\alpha^g)*c^g</math>
 
<math display="block">\vdots</math>
 
<math display="block">\delta_i := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^i})*c^{g^i}</math>
 
<math display="block">\vdots</math>
 
<math display="block">\delta_{n-2} := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^{n-2}})*c^{g^{n-2}}</math>
 
<math display="block">\delta_{n-1} := (\alpha+\alpha^g+\dots +\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = t(\alpha)*c^{g^{n-1}} = 0</math>
 
Inoltre
 
<math display="block">\delta_i^g = (\alpha^g+\alpha^{g^2}+\dots +\alpha^{g^{i+1}})*c^{g^{i+1}} = \delta_{i+1}-\alpha c^{g^{i+1}}.</math>
 
cioè
 
<math display="block">\delta_{i+1}-\delta_i^g = \alpha c^{g^{i+1}}, \, \hbox{formula 1}</math>
 
Pongo
 
<math display="block">\beta =\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-2}</math>
 
allora
 
<math display="block">\beta-\beta^g = \delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-2}-\delta_0^g-\delta_1^g-\dots-\delta_{n-2}^g</math><math display="block">= \delta_0+(\delta_1-\delta_0^g)+(\delta_2-\delta_1^g)+\dots +(\delta_{n-2}-\delta_{n-3}^g)-\delta_{n-2}^g</math>
 
I termini tra parentesi sono della forma <math>\delta_{i+1}-\delta_i^g</math> quindi posso usare la formula 1, e usando anche la definizione di <math>\delta_0</math>:
 
<math display="block">\beta-\beta^g = \alpha*c+\alpha*c^g+\alpha*c^{g^2}+\dots +\alpha c^{g^{n-2}}-\delta_{n-2}^g</math>
 
Si ricava anche
 
<math display="block">\delta_{n-2}^g = (\alpha^g+\alpha^{g^2}+\cdots+\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = \delta_{n-1}-\alpha c^{g^{n-1}} = -\alpha c^{g^{n-1}}</math>
 
perché <math>\delta_{n-1}=0</math>. Quindi
 
<math display="block">\beta-\beta^g = \alpha c+\alpha c^g+\dots +\alpha c^{g^{n-2}}+\alpha c^{g^{n-1}} = \alpha t(c) = \alpha</math>
 
perché <math>t(c)=1</math> per la scelta di <math>c</math>. Allora per ogni elemento <math>\alpha</math> di traccia nulla vale la relazione <math>\alpha = \beta-\beta^g</math>.
 
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}
  
  
  
{{InizioProposizione|titolo= applicazione|number=3.5|anchor=Proposizione3_5}}
+
{{InizioProposizione|title=applicazione|number=3.5|anchor=Proposizione3_5}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di campi, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine primo <math>p</math>, e sia <math>p</math> la caratteristica di <math>K</math>.  Allora <math>M = K(\alpha)</math> dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^p-x-a</math>, a coefficienti in <math>K[x]</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di campi, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine primo <math>p</math>, e sia <math>p</math> la caratteristica di <math>K</math>.  Allora <math>M = K(\alpha)</math> dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^p-x-a</math>, a coefficienti in <math>K[x]</math>.
 
{{FineProposizione}}
 
{{FineProposizione}}
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Supponiamo che <math>\mathcal G(M/K)</math> sia generato da un elemento <math>g</math>. Siccome <math>1 \in K</math>,  <math>t(1) = p*1 = 0</math> in caratteristica <math>p</math>. Allora esiste <math>\beta \in M</math> tale che <math>1 = \beta-\beta^g</math>, posto <math>\alpha = -\beta</math>, ottengo
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Supponiamo che <math>\mathcal G(M/K)</math> sia generato da un elemento <math>g</math>. Siccome <math>1 \in K</math>,  <math>t(1) = p*1 = 0</math> in caratteristica <math>p</math>. Allora esiste <math>\beta \in M</math> tale che <math>1 = \beta-\beta^g</math>, posto <math>\alpha = -\beta</math>, ottengo<math display="block">1 = \alpha^g-\alpha</math>cioè <math>\alpha^g = \alpha+1</math>, (uguaglianza 1).<br>
<math display="block">1 = \alpha^g-\alpha</math>
+
Inoltre, usando l'uguaglianza 1,<math display="block">(\alpha^p)^g = (\alpha^g)^p = (\alpha+1)^p = \alpha^p+1.</math>cioè <math>(\alpha^p)^g = \alpha^p+1</math> (uguaglianza 2).
cioè <math>\alpha^g = \alpha+1</math>, (uguaglianza 1).
 
 
 
 
 
Inoltre, usando l'uguaglianza 1,
 
<math display="block">(\alpha^p)^g = (\alpha^g)^p = (\alpha+1)^p = \alpha^p+1.</math>
 
cioè <math>(\alpha^p)^g = \alpha^p+1</math> (uguaglianza 2).
 
 
 
  
 
'''Pongo <math>a = \alpha^p-\alpha</math>, e mostro che <math>a \in K</math>'''. Poiché <math>M \supseteq K</math> è normale e quindi <math>G' = K</math>, basta provare che <math>a^g = a</math>. Usando le uguaglianze 1 e 2,
 
'''Pongo <math>a = \alpha^p-\alpha</math>, e mostro che <math>a \in K</math>'''. Poiché <math>M \supseteq K</math> è normale e quindi <math>G' = K</math>, basta provare che <math>a^g = a</math>. Usando le uguaglianze 1 e 2,
<math display="block">a^g = (\alpha^p-\alpha)^g = (\alpha^p)^g-\alpha^g = \alpha^p+1-\alpha-1 = \alpha^p-\alpha = a</math>
+
<math display="block">a^g = (\alpha^p-\alpha)^g = (\alpha^p)^g-\alpha^g = \alpha^p+1-\alpha-1 = \alpha^p-\alpha = a</math>allora <math>a \in K</math>.<br>
allora <math>a \in K</math>.
 
 
 
 
 
 
'''Mostro ora che <math>M=K(\alpha)</math>''': considero la catena di estensioni <math>M \supseteq K(\alpha) \supseteq K</math>, affermo che <math>K(\alpha) \neq K</math> perché <math>\alpha \notin K</math> (altrimenti, siccome <math>g</math> fissa <math>K</math>, si avrebbe  <math>\alpha^g-\alpha=0</math>, e questo non è vero perché per l'uguaglianza 1 <math>\alpha^g-\alpha=1</math>).
 
'''Mostro ora che <math>M=K(\alpha)</math>''': considero la catena di estensioni <math>M \supseteq K(\alpha) \supseteq K</math>, affermo che <math>K(\alpha) \neq K</math> perché <math>\alpha \notin K</math> (altrimenti, siccome <math>g</math> fissa <math>K</math>, si avrebbe  <math>\alpha^g-\alpha=0</math>, e questo non è vero perché per l'uguaglianza 1 <math>\alpha^g-\alpha=1</math>).
 
  
 
Siccome <math>|M:K|=p</math> primo, non ci sono campi intermedi propri tra <math>K</math> e <math>M</math>, quindi <math>M = K(\alpha)</math>.
 
Siccome <math>|M:K|=p</math> primo, non ci sono campi intermedi propri tra <math>K</math> e <math>M</math>, quindi <math>M = K(\alpha)</math>.
 
  
 
'''Rimane da mostrare che <math>f(x)=x^p-x-a</math> è irriducibile''': questo è vero perché <math>f(x)</math> è a coefficienti in <math>K</math>, è monico e ha grado <math>p</math>, allora sarà necessariamente il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math> e quindi è irriducibile.
 
'''Rimane da mostrare che <math>f(x)=x^p-x-a</math> è irriducibile''': questo è vero perché <math>f(x)</math> è a coefficienti in <math>K</math>, è monico e ha grado <math>p</math>, allora sarà necessariamente il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math> e quindi è irriducibile.
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==Elementi di norma 1==
 
==Elementi di norma 1==
{{InizioTeorema|titolo= Satz 90 di Hilbert|number=3.5|anchor=Teorema3_5}}
+
{{InizioTeorema|title=Satz 90 di Hilbert|number=3.5|anchor=Teorema3_5}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, e <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico, generato da un elemento <math>g</math> di ordine <math>n</math>. Un elemento <math>\alpha \in M</math> ha norma 1 se e solo se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>, per un certo <math>\beta \neq 0 \in M</math>.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, e <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico, generato da un elemento <math>g</math> di ordine <math>n</math>. Un elemento <math>\alpha \in M</math> ha norma 1 se e solo se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>, per un certo <math>\beta \neq 0 \in M</math>.
 
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<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>: Come prima, <math>\mathcal G(M/K) = \{1,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}</math>. Se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>,
+
<math>1 \longrightarrow 2</math>: Come prima, <math>\mathcal G(M/K) = \{1,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}</math>. Se <math>\alpha = \frac{\beta}{\beta^g}</math>,<math display="block">n(\alpha) = (\frac{\beta}{\beta^g})^1*(\frac{\beta}{\beta^g})^g*\dots*(\frac{\beta}{\beta^g})^{n-1}</math><math display="block">= \frac{\beta}{\beta^g}*\frac{\beta^g}{\beta^{g^2}}*\dots*\frac{\beta^{g^{n-1}}}{\beta^{g^n}} =</math>e siccome <math>\beta^{g^n} = \beta</math>:<math display="block">= \frac{\beta}{\beta^g}*\frac{\beta^g}{\beta^{g^2}}*\dots*\frac{\beta^{g^{n-1}}}{\beta} = 1.</math><math>2 \longrightarrow 1</math>: viceversa, sia <math>\alpha \in M</math> un elemento con norma 1. Allora per <math>c \in M</math>, definiamo<math display="block">\delta_0 := \alpha c</math><math display="block">\delta_1 := (\alpha*\alpha^g)*c^g</math><math display="block">\delta_2 := (\alpha*\alpha^g*\alpha^{g^2})*c^{g^2}</math><math display="block">\cdots</math><math display="block">\delta_i := (\alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^i})*c^{g^i}</math><math display="block">\cdots</math><math display="block">\delta_{n-1} := (\alpha*\alpha^g*\alpha^{g^2}*\dots*\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = n(\alpha)*c^{g^{n-1}} = c^{g^{n-1}}</math>Consideriamo la somma<math display="block">\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1} = a_0 c+a_1 c^g+a_2 c^{g^2}+\dots +a_{n-1} c^{g^{n-1}}</math>dove <math>a_i := \alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^i}</math>, e <math>a_{n-1}=1</math>.
<math display="block">n(\alpha) = (\frac{\beta}{\beta^g})^1*(\frac{\beta}{\beta^g})^g*\dots*(\frac{\beta}{\beta^g})^{n-1}</math><math display="block">= \frac{\beta}{\beta^g}*\frac{\beta^g}{\beta^{g^2}}*\dots*\frac{\beta^{g^{n-1}}}{\beta^{g^n}} =</math>
 
e siccome <math>\beta^{g^n} = \beta</math>:
 
<math display="block">= \frac{\beta}{\beta^g}*\frac{\beta^g}{\beta^{g^2}}*\dots*\frac{\beta^{g^{n-1}}}{\beta} = 1.</math>
 
 
 
<MATH>2 \LONGRIGHTARROW 1</MATH>: viceversa, sia <math>\alpha \in M</math> un elemento con norma 1. Allora per <math>c \in M</math>, definiamo
 
<math display="block">\delta_0 := \alpha c</math>
 
<math display="block">\delta_1 := (\alpha*\alpha^g)*c^g</math>
 
<math display="block">\delta_2 := (\alpha*\alpha^g*\alpha^{g^2})*c^{g^2}</math>
 
<math display="block">\cdots</math>
 
<math display="block">\delta_i := (\alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^i})*c^{g^i}</math>
 
<math display="block">\cdots</math>
 
<math display="block">\delta_{n-1} := (\alpha*\alpha^g*\alpha^{g^2}*\dots*\alpha^{g^{n-1}})*c^{g^{n-1}} = n(\alpha)*c^{g^{n-1}} = c^{g^{n-1}}</math>
 
Consideriamo la somma
 
<math display="block">\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1} = a_0 c+a_1 c^g+a_2 c^{g^2}+\dots +a_{n-1} c^{g^{n-1}}</math>
 
dove <math>a_i := \alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^i}</math>, e <math>a_{n-1}=1</math>.
 
Se fosse
 
<math display="block">\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1}=0,\; \forall c \in M</math>
 
cioè
 
<math display="block">a_0 c+a_1 c^g+a_2 c^{g^2}+\dots +a_{n-1} c^{g^{n-1}} =0,\; \forall c \in M</math>
 
avrei una relazione di dipendenza lineare tra <math>1,g,g^2,\dots,g^{n-1}</math>, ma questo non può avvenire perché <math>1,g,g^2,\dots,g^{n-1}</math> sono  linearmente indipendenti essendo automorfismi (distinti) di un campo <math>M</math>. Allora esiste <math>c</math> per cui la somma non sia 0, chiamo <math>\beta</math> la somma in corrispondenza di tale <math>c</math>, e quindi <math>\beta \neq 0</math>.
 
  
 +
Se fosse<math display="block">\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1}=0,\; \forall c \in M</math>cioè<math display="block">a_0 c+a_1 c^g+a_2 c^{g^2}+\dots +a_{n-1} c^{g^{n-1}} =0,\; \forall c \in M</math>avrei una relazione di dipendenza lineare tra <math>1,g,g^2,\dots,g^{n-1}</math>, ma questo non può avvenire perché <math>1,g,g^2,\dots,g^{n-1}</math> sono  linearmente indipendenti essendo automorfismi (distinti) di un campo <math>M</math>. Allora esiste <math>c</math> per cui la somma non sia 0, chiamo <math>\beta</math> la somma in corrispondenza di tale <math>c</math>, e quindi <math>\beta \neq 0</math>.
  
 
Osservo che
 
Osservo che
<math display="block">\delta_i^g = \alpha^g*\alpha^{g^2}*\dots*\alpha^{g^{i+1}}*c^{g^{i+1}} = \frac{\delta_{i+1}}{\alpha}</math>
+
<math display="block">\delta_i^g = \alpha^g*\alpha^{g^2}*\dots*\alpha^{g^{i+1}}*c^{g^{i+1}} = \frac{\delta_{i+1}}{\alpha}</math>cioè <math>\alpha \delta_i^g = \delta_{i+1} \forall i=1,\dots,n-2</math> (formula 1). Negli altri due casi:<math display="block">i=0, \, \longrightarrow \,  \delta_0^g = \alpha^g c^g = \frac{\delta_1}{\alpha}</math>quindi la formula 1 vale anche per <math>i=0</math>.<math display="block">i=n-1 \longrightarrow \, \delta_{n-1}^g = (\alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^{n-1}}*c^{g^{n-1}})^g</math><math display="block">= (n(\alpha))^g*(c^{g^{n-1}})^g = 1*c^{g^n} =c, \, \hbox{formula 2}</math>Calcoliamo <math>\beta^g</math>.<math display="block">\beta^g = (\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1})^g = \delta_0^g+\delta_1^g+\dots +\delta_{n-1}^g</math>e usando le formule 1 e 2:<math display="block">= \delta_1/\alpha+\delta_2/\alpha+\dots +\delta_{n-1}/\alpha+c = 1/\alpha*(\delta_1+\delta_2+\dots +\delta_{n-1}+\alpha c)</math>ma <math>\alpha c = \delta_0</math>, quindi<math display="block">\beta^g = \alpha*(\delta_1+\delta_2+\dots +\delta_{n-1}+\delta_0) = \alpha \beta, \, \longrightarrow \alpha = \beta/\beta^g</math>cioè ogni elemento <math>\alpha</math> di norma unitaria è tale che <math>\alpha= \frac{\beta}{\beta^g}</math>.
cioè <math>\alpha \delta_i^g = \delta_{i+1} \forall i=1,\dots,n-2</math> (formula 1). Negli altri due casi:
 
<math display="block">i=0, \, \longrightarrow \,  \delta_0^g = \alpha^g c^g = \frac{\delta_1}{\alpha}</math>
 
quindi la formula 1 vale anche per <math>i=0</math>.
 
<math display="block">i=n-1 \longrightarrow \, \delta_{n-1}^g = (\alpha*\alpha^g*\dots*\alpha^{g^{n-1}}*c^{g^{n-1}})^g</math><math display="block">= (n(\alpha))^g*(c^{g^{n-1}})^g = 1*c^{g^n} =c, \, \hbox{formula 2}</math>
 
Calcoliamo <math>\beta^g</math>.
 
<math display="block">\beta^g = (\delta_0+\delta_1+\dots +\delta_{n-1})^g = \delta_0^g+\delta_1^g+\dots +\delta_{n-1}^g</math>
 
e usando le formule 1 e 2:
 
<math display="block">= \delta_1/\alpha+\delta_2/\alpha+\dots +\delta_{n-1}/\alpha+c = 1/\alpha*(\delta_1+\delta_2+\dots +\delta_{n-1}+\alpha c)</math>
 
ma <math>\alpha c = \delta_0</math>, quindi
 
<math display="block">\beta^g = \alpha*(\delta_1+\delta_2+\dots +\delta_{n-1}+\delta_0) = \alpha \beta, \, \longrightarrow \alpha = \beta/\beta^g</math>
 
cioè ogni elemento <math>\alpha</math> di norma unitaria è tale che <math>\alpha= \frac{\beta}{\beta^g}</math>.
 
 
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{{InizioProposizione|titolo=|number=3.6|anchor=Proposizione3_6}}
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{{InizioProposizione|title=|number=3.6|anchor=Proposizione3_6}}
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un elemento <math>g</math>. Supponiamo che <math>K</math> contenga le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè che <math>x^n-1</math> si spezzi su <math>K</math> in fattori lineari.
 
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> ciclico di ordine <math>n</math>, generato da un elemento <math>g</math>. Supponiamo che <math>K</math> contenga le radici <math>n</math>-esime dell'unità, cioè che <math>x^n-1</math> si spezzi su <math>K</math> in fattori lineari.
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Supponiamo che la caratteristica di <math>K</math> non divida <math>n</math>. Allora <math>M=K(\alpha)</math>, dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^n-a</math> a coefficienti in <math>K</math>.
 
Supponiamo che la caratteristica di <math>K</math> non divida <math>n</math>. Allora <math>M=K(\alpha)</math>, dove <math>\alpha</math> è radice di un polinomio irriducibile della forma <math>x^n-a</math> a coefficienti in <math>K</math>.
 
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Il polinomio <math>f(x)=x^n-1</math> ha <math>n</math> radici distinte, perché la sua derivata è <math>n x^{n-1}</math> e <math>M.C.D.(x^n-1, \, n x^{n-1})=1</math> per l'ipotesi sulla caratteristica di <math>K</math>.
 
Il polinomio <math>f(x)=x^n-1</math> ha <math>n</math> radici distinte, perché la sua derivata è <math>n x^{n-1}</math> e <math>M.C.D.(x^n-1, \, n x^{n-1})=1</math> per l'ipotesi sulla caratteristica di <math>K</math>.
 
  
 
Tutte le radici di <math>f(x)</math> stanno in <math>K</math>, formano un sottogruppo ciclico <math>\Omega</math> di <math>\mathcal G(M/K)</math> in particolare <math>\Omega=\{1,\varepsilon,\varepsilon^2, \cdots, \varepsilon^{n-1}\}</math>.
 
Tutte le radici di <math>f(x)</math> stanno in <math>K</math>, formano un sottogruppo ciclico <math>\Omega</math> di <math>\mathcal G(M/K)</math> in particolare <math>\Omega=\{1,\varepsilon,\varepsilon^2, \cdots, \varepsilon^{n-1}\}</math>.
 
  
 
Siccome <math>\varepsilon \in K</math>, segue subito che <math>n(\varepsilon) = \varepsilon^n = 1</math>.
 
Siccome <math>\varepsilon \in K</math>, segue subito che <math>n(\varepsilon) = \varepsilon^n = 1</math>.
 
Allora per la Satz 90 di Hilbert, esiste <math>\beta \in M</math> per cui <math>\varepsilon = \frac{\beta}{\beta^g}</math>. Se pongo <math>\alpha = 1/\beta</math>, si ha che <math>\varepsilon = \frac{\alpha^g}{\alpha}</math>, cioè <math>\alpha^g = \alpha \varepsilon</math> (uguaglianza 1).
 
Allora per la Satz 90 di Hilbert, esiste <math>\beta \in M</math> per cui <math>\varepsilon = \frac{\beta}{\beta^g}</math>. Se pongo <math>\alpha = 1/\beta</math>, si ha che <math>\varepsilon = \frac{\alpha^g}{\alpha}</math>, cioè <math>\alpha^g = \alpha \varepsilon</math> (uguaglianza 1).
  
 
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'''Voglio provare che <math>\alpha^n \in K</math>'''. Siccome l'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale, basta mostrare che <math>(\alpha^n)^g = \alpha^n</math>, applicando l'uguaglianza 1 si ha:<math display="block">(\alpha^n)^g = (\alpha^g)^n = (\alpha \varepsilon)^n = \alpha^n \varepsilon^n = \alpha^n.</math>Allora <math>\alpha^n=a \in K</math>.<br>
'''Voglio provare che <math>\alpha^n \in K</math>'''. Siccome l'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale, basta mostrare che <math>(\alpha^n)^g = \alpha^n</math>, applicando l'uguaglianza 1 si ha:
 
<math display="block">(\alpha^n)^g = (\alpha^g)^n = (\alpha \varepsilon)^n = \alpha^n \varepsilon^n = \alpha^n.</math>
 
Allora <math>\alpha^n=a \in K</math>.
 
 
 
 
 
 
Considero <math>L := K(\alpha)</math>, che è campo di spezzamento su <math>K</math> del polinomio <math>x^n-\alpha^n = x^n-a \in K[x]</math>. Si verificano due casi:
 
Considero <math>L := K(\alpha)</math>, che è campo di spezzamento su <math>K</math> del polinomio <math>x^n-\alpha^n = x^n-a \in K[x]</math>. Si verificano due casi:
  
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CASO 1: <math>N=P</math> PRIMO. Tra <math>M</math> e <math>K</math> non ci sono campi intermedi propri perché <math>|M:K|=p</math>.  <math>L</math> è un campo intermedio diverso da <math>K</math>, perché <math>\alpha \notin K</math> (infatti <math>\alpha \in K</math> significherebbe <math>\varepsilon = \alpha^g/\alpha = 1</math>, e questo non avviene). Allora necessariamente <math>L=M</math>, <math>\alpha</math> è radice del polinomio <math>x^p-\alpha^p</math> a coefficienti in <math>K</math> e, siccome <math>|M:L| =p</math>, questo polinomio è il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math> e pertanto è necessariamente irriducibile.
  
CASO 1: <MATH>N=P</MATH> PRIMO. Tra <math>M</math> e <math>K</math> non ci sono campi intermedi propri perché <math>|M:K|=p</math>.  <math>L</math> è un campo intermedio diverso da <math>K</math>, perché <math>\alpha \notin K</math> (infatti <math>\alpha \in K</math> significherebbe <math>\varepsilon = \alpha^g/\alpha = 1</math>, e questo non avviene). Allora necessariamente <math>L=M</math>, <math>\alpha</math> è radice del polinomio <math>x^p-\alpha^p</math> a coefficienti in <math>K</math> e, siccome <math>|M:L| =p</math>, questo polinomio è il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math> e pertanto è necessariamente irriducibile.
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CASO 2: <math>N</math> NON PRIMO. Considero <math>L=K(\alpha)</math>, <math>L</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> del polinomio <math>x^n-\alpha^n = x^n-a \in K[x]</math>. Le radici di questo polinomio sono gli elementi dell'insieme
 
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<math display="block">\{\alpha, \alpha \varepsilon, \alpha \varepsilon^2, \dots, \alpha \varepsilon^{n-1} \}.</math>In particolare<math display="block">\alpha^g = \alpha \varepsilon</math><math display="block">\alpha^{g^2} = (\alpha \varepsilon)^g = \alpha^g \varepsilon^g = \alpha \varepsilon^2, \dots \dots</math><math display="block">\alpha^{g^i} = \alpha \varepsilon^i, \dots \dots</math>Inoltre si ha che <math>L \supseteq K</math> è normale, ovvero <math>L</math> è stabile sotto l'azione degli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math>. Allora, gli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math> inducono per restrizione automorfismi di <math>L</math> su <math>K</math>, in particolare inducono <math>n</math> automorfismi distinti perché se <math>i \neq j</math>, <math>\alpha^{g^i} \neq \alpha^{g^j}</math>. Allora<math display="block">|L:K| =o(\mathcal G(L/K) \ge n = |M:K| = o(\mathcal G(M/K)),</math>allora <math>L = M</math> (infatti vale anche la disuguaglianza <math>o(\mathcal G(L/K)) \le o(\mathcal G(M/K))</math> perché <math>\mathcal G(L/K)</math> è un sottogruppo di <math>\mathcal G(M/K)</math>).<br>
 
 
CASO 2: <MATH>N</MATH> NON PRIMO. Considero <math>L=K(\alpha)</math>, <math>L</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> del polinomio <math>x^n-\alpha^n = x^n-a \in K[x]</math>. Le radici di questo polinomio sono gli elementi dell'insieme
 
<math display="block">\{\alpha, \alpha \varepsilon, \alpha \varepsilon^2, \dots, \alpha \varepsilon^{n-1} \}.</math>
 
In particolare
 
<math display="block">\alpha^g = \alpha \varepsilon</math>
 
<math display="block">\alpha^{g^2} = (\alpha \varepsilon)^g = \alpha^g \varepsilon^g = \alpha \varepsilon^2, \dots \dots</math>
 
<math display="block">\alpha^{g^i} = \alpha \varepsilon^i, \dots \dots</math>
 
<math display="block"></math>
 
Inoltre si ha che <math>L \supseteq K</math> è normale, ovvero <math>L</math> è stabile sotto l'azione degli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math>. Allora, gli elementi di <math>\mathcal G(M/K)</math> inducono per restrizione automorfismi di <math>L</math> su <math>K</math>, in particolare inducono <math>n</math> automorfismi distinti perché se <math>i \neq j</math>, <math>\alpha^{g^i} \neq \alpha^{g^j}</math>. Allora
 
<math display="block">|L:K| =o(\mathcal G(L/K) \ge n = |M:K| = o(\mathcal G(M/K)),</math>
 
allora <math>L = M</math> (infatti vale anche la disuguaglianza <math>o(\mathcal G(L/K)) \le o(\mathcal G(M/K))</math> perché <math>\mathcal G(L/K)</math> è un sottogruppo di <math>\mathcal G(M/K)</math>).
 
 
 
 
 
 
Infine, come prima, si ha che il polinomio <math>x^n-\alpha^n</math> è irriducibile essendo il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>.
 
Infine, come prima, si ha che il polinomio <math>x^n-\alpha^n</math> è irriducibile essendo il polinomio minimo di <math>\alpha</math> su <math>K</math>.
 
{{FineDimostrazione}}
 
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==Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)==
 
==Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)==
{{InizioTeorema|titolo=|number=3.6|anchor=Teorema3_6}}
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{{InizioTeorema|title=|number=3.6|anchor=Teorema3_6}}
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> risolubile. Allora esiste un campo <math>E</math> tale che <math>E \supseteq M \supseteq K</math>, e tale che <math>E \supseteq K</math> sia un'estensione radicale.
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale, con <math>\mathcal G(M/K)</math> risolubile. Allora esiste un campo <math>E</math> tale che <math>E \supseteq M \supseteq K</math>, e tale che <math>E \supseteq K</math> sia un'estensione radicale.
 
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La dimostrazione è per induzione sul grado di <math>M</math> su <math>K</math>.
 
La dimostrazione è per induzione sul grado di <math>M</math> su <math>K</math>.
 
  
 
Chiamo <math>G= \mathcal G(M/K)</math>, per ipotesi <math>G</math> è risolubile e finito. Allora esiste <math>H</math> sottogruppo normale di <math>G</math>, con <math>|G:H| = p</math> primo (dimostrazione <math>\ast</math>).
 
Chiamo <math>G= \mathcal G(M/K)</math>, per ipotesi <math>G</math> è risolubile e finito. Allora esiste <math>H</math> sottogruppo normale di <math>G</math>, con <math>|G:H| = p</math> primo (dimostrazione <math>\ast</math>).
 
  
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> CONTIENE LE RADICI <MATH>P</MATH>-ESIME DELL'UNITÀ. '''Qui mostriamo in realtà che <math>M \supseteq K</math> è radicale'''. Pongo <math>L = H'</math>, allora <math>L</math> è un campo intermedio tra <math>M</math> e <math>K</math>, <math>H</math> è normale in <math>G</math> e quindi <math>L</math> è un'estensione normale di <math>K</math>. Inoltre <math>|L:K| = |K':L'| = |G:H| = p</math>.
 
CASO 1: <MATH>K</MATH> CONTIENE LE RADICI <MATH>P</MATH>-ESIME DELL'UNITÀ. '''Qui mostriamo in realtà che <math>M \supseteq K</math> è radicale'''. Pongo <math>L = H'</math>, allora <math>L</math> è un campo intermedio tra <math>M</math> e <math>K</math>, <math>H</math> è normale in <math>G</math> e quindi <math>L</math> è un'estensione normale di <math>K</math>. Inoltre <math>|L:K| = |K':L'| = |G:H| = p</math>.
 
 
  
 
Siccome <math>o(\mathcal G(L/K)) = |L:K| = p</math>, <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico di ordine <math>p</math> e, poiche'<math>K</math> contiene le radici dell'unità per ipotesi, posso applicare il risultato precedente.
 
Siccome <math>o(\mathcal G(L/K)) = |L:K| = p</math>, <math>\mathcal G(L/K)</math> è ciclico di ordine <math>p</math> e, poiche'<math>K</math> contiene le radici dell'unità per ipotesi, posso applicare il risultato precedente.
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Allora <math>L \supseteq K</math> è radicale perché <math>\alpha^p \in K</math>.
 
Allora <math>L \supseteq K</math> è radicale perché <math>\alpha^p \in K</math>.
  
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Siccome <math>G</math> è risolubile per ipotesi, <math>H</math>, che è un suo sottogruppo, è anch'esso risolubile. Inoltre poiché <math>|L:K|=p</math>,  <math>|M:L| < |M:K|</math>. Allora, per induzione, <math>M \supseteq L</math> è radicale, cioè <math>M = L(\beta_1,\dots,\beta_s)</math>, con <math>\beta_i^{n_i} \in L(\beta_1,\dots,\beta_{i-1})</math>. Inoltre <math>L=K(\alpha)</math> e <math>L \supseteq K</math> un'estensione radicale, segue che<math display="block">M = L(\beta_1,\dots,\beta_s) = K(\alpha)(\beta_1,\dots,\beta_s) = K(\alpha,\beta_1,\dots,\beta_s)</math>e <math>M \supseteq K</math> è radicale.
  
Siccome <math>G</math> è risolubile per ipotesi, <math>H</math>, che è un suo sottogruppo, è anch'esso risolubile. Inoltre poiché <math>|L:K|=p</math>,  <math>|M:L| < |M:K|</math>. Allora, per induzione, <math>M \supseteq L</math> è radicale, cioè <math>M = L(\beta_1,\dots,\beta_s)</math>, con <math>\beta_i^{n_i} \in L(\beta_1,\dots,\beta_{i-1})</math>. Inoltre <math>L=K(\alpha)</math> e <math>L \supseteq K</math> un'estensione radicale, segue che
+
CASO 2: <math>K</math> NON CONTIENE LE RADICI <math>P</math>-ESIME DELL'UNITÀ. Sia <math>\omega \in \bar K</math> tale che <math>\omega^p = 1</math>. Considero il seguente diagramma:
<math display="block">M = L(\beta_1,\dots,\beta_s) = K(\alpha)(\beta_1,\dots,\beta_s) = K(\alpha,\beta_1,\dots,\beta_s)</math>
+
<math display="block">\begin{array}{cccccc}  & & M(\omega) & & &  \\ & \diagup & & \diagdown &  & \\  M & & & & \diagdown & \\  & \diagdown & & & & K(\omega) \\& & \diagdown &  & \diagup & \\  & & & K & & \end{array}</math>Girando in senso antiorario ho la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>, per ipotesi <math>M \supseteq K</math> è normale, <math>M(\omega)</math> è campo di spezzamento su <math>M</math> di  <math>x^p-1</math>,  e <math>K</math> ha caratteristica 0, quindi anche <math>M(\omega) \supseteq M</math> è normale. Inoltre posso sollevare gli automorfismi di <math>M</math> su <math>K</math> a automorfismi di <math>M(\omega)</math> su <math>K</math>, allora, per una proposizione dimostrata precedentemente (Lezione del 14 aprile, proposizione 0.2.8), <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale.
e <math>M \supseteq K</math> è radicale.
 
 
 
 
 
CASO 2: <MATH>K</MATH> NON CONTIENE LE RADICI <MATH>P</MATH>-ESIME DELL'UNITÀ. Sia <math>\omega \in \bar K</math> tale che <math>\omega^p = 1</math>. Considero il seguente diagramma:
 
<math display="block">\begin{array}{cccccc}  & & M(\omega) & & &  \\ & \diagup & & \diagdown &  & \\  M & & & & \diagdown & \\  & \diagdown & & & & K(\omega) \\& & \diagdown &  & \diagup & \\  & & & K & & \end{array}</math>
 
Girando in senso antiorario ho la catena di estensioni <math>M(\omega) \supseteq M \supseteq K</math>, per ipotesi <math>M \supseteq K</math> è normale, <math>M(\omega)</math> è campo di spezzamento su <math>M</math> di  <math>x^p-1</math>,  e <math>K</math> ha caratteristica 0, quindi anche <math>M(\omega) \supseteq M</math> è normale. Inoltre posso sollevare gli automorfismi di <math>M</math> su <math>K</math> a automorfismi di <math>M(\omega)</math> su <math>K</math>, allora, per una proposizione dimostrata precedentemente (Lezione del 14 aprile, proposizione 0.2.8), <math>M(\omega) \supseteq K</math> è normale.
 
 
 
 
 
  
 
Inoltre, l'ipotesi <math>M \supseteq K</math> normale implica che <math>M</math> è  stabile sotto l'azione degli elementi di <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math>.  In particolare, è possibile definire un omomorfismo di gruppi <math>\phi:\mathcal G(M(\omega)/K(\omega)) \to \mathcal G(M/K)</math>
 
Inoltre, l'ipotesi <math>M \supseteq K</math> normale implica che <math>M</math> è  stabile sotto l'azione degli elementi di <math>\mathcal G(M(\omega)/K)</math>.  In particolare, è possibile definire un omomorfismo di gruppi <math>\phi:\mathcal G(M(\omega)/K(\omega)) \to \mathcal G(M/K)</math>
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Nella dimostrazione abbiamo supposto che <math>G</math>, essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice <math>p</math>, per un certo primo <math>p</math>. Mostriamo questo fatto.{{InizioDimostrazione|title=dimostrazione $\ast$}}
Nella dimostrazione abbiao supposto che <math>G</math>, essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice <math>p</math>, per un certo primo <math>p</math>. Mostriamo questo fatto.
 
 
 
 
 
{{InizioDimostrazione|titolo=dimostrazione $\ast$}}
 
 
Dato un gruppo risolubile finito <math>G</math>, il suo derivato primo <math>G'</math> è un sottogruppo proprio di <math>G</math>, e il quoziente <math>G/G'</math> è un gruppo abeliano (osservazione 1).
 
Dato un gruppo risolubile finito <math>G</math>, il suo derivato primo <math>G'</math> è un sottogruppo proprio di <math>G</math>, e il quoziente <math>G/G'</math> è un gruppo abeliano (osservazione 1).
 
  
 
Inoltre, mostriamo che, '''dato un gruppo qualsiasi  <math>G</math> finito e <math>N \le G</math> normale a quoziente abeliano, se <math>G/N</math> non ha ordine primo, posso trovare un sottogruppo <math>N'</math> in <math>G</math> con <math>N < N'</math> e <math>N'</math> normale in <math>G</math>, e <math>G/N'</math> abeliano''' (osservazione 2).
 
Inoltre, mostriamo che, '''dato un gruppo qualsiasi  <math>G</math> finito e <math>N \le G</math> normale a quoziente abeliano, se <math>G/N</math> non ha ordine primo, posso trovare un sottogruppo <math>N'</math> in <math>G</math> con <math>N < N'</math> e <math>N'</math> normale in <math>G</math>, e <math>G/N'</math> abeliano''' (osservazione 2).
 
  
 
Supponiamo che <math>G/N</math> non abbia ordine primo allora <math>o(G/N) = pn</math> con <math>p</math> primo, e il quoziente contiene un sottogruppo di ordine <math>p</math>, i cui elementi sono laterali destri di <math>N</math>: <math>Ng_1, N g_2, \dots, N g_p</math> per certi <math>g_i \in G</math>.
 
Supponiamo che <math>G/N</math> non abbia ordine primo allora <math>o(G/N) = pn</math> con <math>p</math> primo, e il quoziente contiene un sottogruppo di ordine <math>p</math>, i cui elementi sono laterali destri di <math>N</math>: <math>Ng_1, N g_2, \dots, N g_p</math> per certi <math>g_i \in G</math>.
 
  
 
Allora pongo <math>N' = \bigcup_{g_i \in G} N g_i</math> e osservo che
 
Allora pongo <math>N' = \bigcup_{g_i \in G} N g_i</math> e osservo che
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#'''<math>N'</math> contiene <math>N</math> propriamente'''.
 
#'''<math>N'</math> contiene <math>N</math> propriamente'''.
 
#infine '''<math>G/(N')</math> è abeliano'''  per le proprietà del derivato, infatti<math>G' \subseteq N \subset N'</math>.
 
#infine '''<math>G/(N')</math> è abeliano'''  per le proprietà del derivato, infatti<math>G' \subseteq N \subset N'</math>.
 
  
 
Torniamo a <math>G</math> risolubile finito. Per l'osservazione 1, <math>G/G'</math> è abeliano; se <math>G/G'</math> ha ordine un numero primo l'asserto è vero, cioè ho trovato un sottogruppo normale in <math>G</math> di indice <math>p</math>; altrimenti, per l'osservazione 2, posso passare da <math>G'</math> a un sottogruppo <math>N</math> che lo contiene propriamente e che sia normale in <math>G</math> e sia a quoziente abeliano, e ripeto il procedimento su <math>G/N</math><math>\dots</math>.
 
Torniamo a <math>G</math> risolubile finito. Per l'osservazione 1, <math>G/G'</math> è abeliano; se <math>G/G'</math> ha ordine un numero primo l'asserto è vero, cioè ho trovato un sottogruppo normale in <math>G</math> di indice <math>p</math>; altrimenti, per l'osservazione 2, posso passare da <math>G'</math> a un sottogruppo <math>N</math> che lo contiene propriamente e che sia normale in <math>G</math> e sia a quoziente abeliano, e ripeto il procedimento su <math>G/N</math><math>\dots</math>.
 
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Dal teorema precedente si evince:
 
Dal teorema precedente si evince:
  
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Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, <math>M</math> campo di spezzamento per <math>f</math> su <math>K</math>. Allora l'equazione <math>f(x)=0</math> è risolubile per radicali se e solo se <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
 
Sia <math>K</math> un campo di caratteristica 0, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, <math>M</math> campo di spezzamento per <math>f</math> su <math>K</math>. Allora l'equazione <math>f(x)=0</math> è risolubile per radicali se e solo se <math>\mathcal G(M/K)</math> è risolubile.
 
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Versione attuale delle 15:19, 21 mag 2018

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Sia un'estensione di grado finito, e indichiamo con gli elementi di . Allora, dato , definiamo rispettivamente la traccia e la norma di in questo modo:

Osserviamo che , , , e per , e , infine la traccia è suriettiva nel caso di campi di caratteristica 0. Abbiamo dimostrato anche che se , allora

Automorfismi linearmente indipendenti[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.9

Sia un campo, e siano automorfismi di . Diciamo che sono linearmente indipendenti se la scrittura

implica .

 


Lemma 3.5

Sia un campo, ogni insieme finito di automorfismi distinti di è linearmente indipendente.

 
Dimostrazione

Supponiamo di avere automorfismi di , , con se , e supponiamo per assurdo che siano linearmente dipendenti. Tra tutte le relazioni di dipendenza lineare di , ne scegliamo una con il massimo numero di coefficienti uguali a 0.

A meno di riordinare, posso supporre che valga

Se fosse , si avrebbe , ma questo non può avvenire (ad esempio, la relazione non vale per , perché e ). Allora .

Per ipotesi, , allora esiste tale che . La formula 1 rimane valida se sostituisco con ( e quando varia in , descrive tutto ). Allora ottengo:

ed esplicitando i prodotti
Posso moltiplicare la formula 1 per , e ottengo:
Se sottraggo la formula 3 alla formula 2 ottengo
e questa è una relazione di dipendenza lineare degli automorfismi di lunghezza minore del minimo, assurdo!

(notare che )

 


Osservazione 3.6

Sia un'estensione normale di grado finito, . Per , è una combinazione lineare di , con tutti i coefficienti uguali a 1.

Siccome per il lemma sono linearmente indipendenti, non si può avere . Allora esiste , tale che .

Dato , pongo . Allora

ovvero la traccia è suriettiva.

 

Elementi di traccia nulla[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 3.4

Sia un'estensione normale, con ciclico di ordine , generato da un certo elemento . Allora un elemento ha traccia 0 se e solo se per un certo .

 
Dimostrazione

: Siccome è ciclico si ha . Se ,

e siccome , quindi
: sia un elemento di traccia 0. Siccome la traccia è suriettiva, esiste un elemento di traccia 1. Definiamo i seguenti elementi:
Inoltre
cioè
Pongo
allora
I termini tra parentesi sono della forma quindi posso usare la formula 1, e usando anche la definizione di :
Si ricava anche
perché . Quindi
perché per la scelta di . Allora per ogni elemento di traccia nulla vale la relazione .

 


Proposizione 3.5 (applicazione)

Sia un'estensione normale di campi, con ciclico di ordine primo , e sia la caratteristica di . Allora dove è radice di un polinomio irriducibile della forma , a coefficienti in .

 
Dimostrazione

Supponiamo che sia generato da un elemento . Siccome , in caratteristica . Allora esiste tale che , posto , ottengo

cioè , (uguaglianza 1).
Inoltre, usando l'uguaglianza 1,
cioè (uguaglianza 2).

Pongo , e mostro che . Poiché è normale e quindi , basta provare che . Usando le uguaglianze 1 e 2,

allora .
Mostro ora che : considero la catena di estensioni , affermo che perché (altrimenti, siccome fissa , si avrebbe , e questo non è vero perché per l'uguaglianza 1 ).

Siccome primo, non ci sono campi intermedi propri tra e , quindi .

Rimane da mostrare che è irriducibile: questo è vero perché è a coefficienti in , è monico e ha grado , allora sarà necessariamente il polinomio minimo di su e quindi è irriducibile.

 

Elementi di norma 1[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 3.5 (Satz 90 di Hilbert)

Sia un'estensione normale, e ciclico, generato da un elemento di ordine . Un elemento ha norma 1 se e solo se , per un certo .

 
Dimostrazione

: Come prima, . Se ,

e siccome :
: viceversa, sia un elemento con norma 1. Allora per , definiamo
Consideriamo la somma
dove , e .

Se fosse

cioè
avrei una relazione di dipendenza lineare tra , ma questo non può avvenire perché sono linearmente indipendenti essendo automorfismi (distinti) di un campo . Allora esiste per cui la somma non sia 0, chiamo la somma in corrispondenza di tale , e quindi .

Osservo che

cioè (formula 1). Negli altri due casi:
quindi la formula 1 vale anche per .
Calcoliamo .
e usando le formule 1 e 2:
ma , quindi
cioè ogni elemento di norma unitaria è tale che .

 


Proposizione 3.6

Sia un'estensione normale, con ciclico di ordine , generato da un elemento . Supponiamo che contenga le radici -esime dell'unità, cioè che si spezzi su in fattori lineari.

Supponiamo che la caratteristica di non divida . Allora , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma a coefficienti in .

 
Dimostrazione

Il polinomio ha radici distinte, perché la sua derivata è e per l'ipotesi sulla caratteristica di .

Tutte le radici di stanno in , formano un sottogruppo ciclico di in particolare .

Siccome , segue subito che . Allora per la Satz 90 di Hilbert, esiste per cui . Se pongo , si ha che , cioè (uguaglianza 1).

Voglio provare che . Siccome l'estensione è normale, basta mostrare che , applicando l'uguaglianza 1 si ha:

Allora .
Considero , che è campo di spezzamento su del polinomio . Si verificano due casi:

CASO 1: PRIMO. Tra e non ci sono campi intermedi propri perché . è un campo intermedio diverso da , perché (infatti significherebbe , e questo non avviene). Allora necessariamente , è radice del polinomio a coefficienti in e, siccome , questo polinomio è il polinomio minimo di su e pertanto è necessariamente irriducibile.

CASO 2: NON PRIMO. Considero , è campo di spezzamento su del polinomio . Le radici di questo polinomio sono gli elementi dell'insieme

In particolare
Inoltre si ha che è normale, ovvero è stabile sotto l'azione degli elementi di . Allora, gli elementi di inducono per restrizione automorfismi di su , in particolare inducono automorfismi distinti perché se , . Allora
allora (infatti vale anche la disuguaglianza perché è un sottogruppo di ).
Infine, come prima, si ha che il polinomio è irriducibile essendo il polinomio minimo di su .

 

Teorema di risolubilità per radicali (seconda parte)[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 3.6

Sia un campo di caratteristica 0, sia un'estensione normale, con risolubile. Allora esiste un campo tale che , e tale che sia un'estensione radicale.

 
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione sul grado di su .

Chiamo , per ipotesi è risolubile e finito. Allora esiste sottogruppo normale di , con primo (dimostrazione ).

CASO 1: CONTIENE LE RADICI -ESIME DELL'UNITÀ. Qui mostriamo in realtà che è radicale. Pongo , allora è un campo intermedio tra e , è normale in e quindi è un'estensione normale di . Inoltre .

Siccome , è ciclico di ordine e, poiche' contiene le radici dell'unità per ipotesi, posso applicare il risultato precedente. Segue che , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma . Allora è radicale perché .

Siccome è risolubile per ipotesi, , che è un suo sottogruppo, è anch'esso risolubile. Inoltre poiché , . Allora, per induzione, è radicale, cioè , con . Inoltre e un'estensione radicale, segue che

e è radicale.

CASO 2: NON CONTIENE LE RADICI -ESIME DELL'UNITÀ. Sia tale che . Considero il seguente diagramma:

Girando in senso antiorario ho la catena di estensioni , per ipotesi è normale, è campo di spezzamento su di , e ha caratteristica 0, quindi anche è normale. Inoltre posso sollevare gli automorfismi di su a automorfismi di su , allora, per una proposizione dimostrata precedentemente (Lezione del 14 aprile, proposizione 0.2.8), è normale.

Inoltre, l'ipotesi normale implica che è stabile sotto l'azione degli elementi di . In particolare, è possibile definire un omomorfismo di gruppi tale che , che è iniettivo: infatti, dati , essi fissano , cioè . Se imponiamo si ha che , e quindi sono uguali come automorfismi di su . Segue che il gruppo di partenza, è isomorfo a un sottogruppo di , e siccome quest'ultimo è risolubile, anche lo è. Possono quindi verificarsi due casi:

  1. è isomorfo a un sottogruppo proprio di . Questo vuol dire che è un'estensione normale, perché è un campo intermedio tra e (in generale, data la catena di estensioni , se è normale segue che è normale).Si ha , allora per induzione esiste campo con tale che è un'estensione radicale. Ma è un'estensione radicale di , allora per un ragionamento analogo al caso precedente è radicale, e .
  2. . Allora è risolubile e contiene un sottogruppo normale con (questo perche'e' isomorfo a , quindi contiene un sottogruppo isomorfo ad ). Ragionando come nel primo caso, pongo , allora, poiché è normale in , è un'estensione normale di , con ciclico di ordine .Per il risultato precedente, siccome contiene radici -esime dell'unità per costruzione, segue che , dove è radice di un polinomio irriducibile della forma con .Poi, , e è risolubile essendo un sottogruppo di , allora per induzione esiste tale che dove è radicale. Ma , e quindi è un'estensione radicale di . Quindi anche è un'estensione radicale di .
 
Nella dimostrazione abbiamo supposto che , essendo un gruppo finito e risolubile, abbia un sottogruppo normale di indice , per un certo primo . Mostriamo questo fatto.
Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Dato un gruppo risolubile finito , il suo derivato primo è un sottogruppo proprio di , e il quoziente è un gruppo abeliano (osservazione 1).

Inoltre, mostriamo che, dato un gruppo qualsiasi finito e normale a quoziente abeliano, se non ha ordine primo, posso trovare un sottogruppo in con e normale in , e abeliano (osservazione 2).

Supponiamo che non abbia ordine primo allora con primo, e il quoziente contiene un sottogruppo di ordine , i cui elementi sono laterali destri di : per certi .

Allora pongo e osservo che

  1. è chiuso rispetto al prodotto: siano , elementi di , allora
    e poiché è un gruppo, . Inoltre e' un sottogruppo di quindi per un certo allora e
    e , quindi .
  2. è un sottogruppo di , infatti vale la chiusura rispetto al prodotto e poi contiene e quindi è non vuoto.
  3. è normale. Per le proprietà del derivato, siccome è abeliano, .Dato , , mostro che . Osservo che
    quindi
    ma , e siccome è normale, , e , allora è normale in .
  4. contiene propriamente.
  5. infine è abeliano per le proprietà del derivato, infatti.

Torniamo a risolubile finito. Per l'osservazione 1, è abeliano; se ha ordine un numero primo l'asserto è vero, cioè ho trovato un sottogruppo normale in di indice ; altrimenti, per l'osservazione 2, posso passare da a un sottogruppo che lo contiene propriamente e che sia normale in e sia a quoziente abeliano, e ripeto il procedimento su .

 

Dal teorema precedente si evince:

Teorema 3.7

Sia un campo di caratteristica 0, un polinomio non costante, campo di spezzamento per su . Allora l'equazione è risolubile per radicali se e solo se è risolubile.

 
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