Gruppi risolubili

Considerata un'equazione di secondo grado della forma , le sue soluzioni sono date da

Esistono formule risolutive anche per equazioni di terzo e quarto grado.

Commutatore e gruppi derivati

Definizione 3.1

Siano un gruppo, e . Si definisce il commutatore di e , indicato con , l'elemento .

 

Si osserva che

e che se e solo se .

Definizione 3.2

Sia un gruppo, il derivato di , indicato con , è il sottogruppo di generato dai commutatori , al variare di .

 

Più in generale, definisco

Segue quindi che .

Questi sottogruppi sono normali in e addirittura caratteristici (invarianti per automorfismi): infatti se è un automorfismo di , dati , allora

cioè l'immagine mediante di un commutatore è il commutatore delle immagini degli elementi.

Segue subito che e' caratteristico in .

In generale, si vede facilmente che è caratteristico in , usando il fatto che, dati tre sottogruppi di , con caratteristico in e caratteristico in , allora è caratteristico in .

Gruppi risolubili

Definizione 3.3

Un gruppo si dice risolubile se esiste tale che .

 


Esempio 3.1

Tutti i gruppi abeliani sono risolubili, perché se è abeliano, , allora e .

 


Lemma 3.1

Sia un gruppo e un sottogruppo di . Se , allora è normale in , e il quoziente è abeliano. Viceversa, se è normale in e il quoziente è abeliano, allora è contenuto in .

 
Dimostrazione

PARTE 1: Sia . Mostriamo che è normale, cioè che contiene i coniugati dei suoi elementi, cioè per , . Osservo che

e siccome per ipotesi , allora , e quindi .
Inoltre siano laterali destri in . Mostro che il quoziente è abeliano:
e per definizione di prodotto di laterali:
dove l'ultimo passaggio vale perché i commutatori stanno in poiché stanno in . Segue quindi che il commutatore di due laterali è l'identità del quoziente, e quindi il quoziente è abeliano.

PARTE 2: Viceversa, se è un sottogruppo normale di con abeliano, allora . abeliano significa che dati due laterali , allora il commutatore è l'identità del quoziente, cioè

per i conti precedenti, e quindi ; segue che, siccome contiene i generatori di , allora è contenuto in .

 

Proprietà dei gruppi risolubili

Proprietà 1: se è risolubile, lo sono anche tutti i suoi sottogruppi e tutti i suoi quozienti.

Dimostrazione

RISOLUBILITÀ DEI SOTTOGRUPPI: supponiamo che sia risolubile allora esiste tale che . Sia un sottogruppo di , affermo che .

  • Per , .
  • Per , è generato da al variare di . L'insieme di generatori di è contenuto nell'insieme di generatori di che è
    allora .
  • In generale, se suppongo che sia un sottogruppo di , allora
    per il passo precedente.

RISOLUBILITÀ DEI QUOZIENTI: si verifica per induzione che se è normale in , allora

e, siccome è risolubile, esiste tale che , e per tale si ha , cioè anche il quoziente è risolubile.

 
Proprietà 2: sia un gruppo e un sottogruppo normale di , allora se e sono risolubili, anche è risolubile.
Dimostrazione

Per ipotesi è risolubile, allora esiste tale che , e questo implica, cioè . Inoltre, anche è risolubile, quindi esiste tale che . Allora , cioè , e quindi è risolubile con .

 


Esempio 3.2

Mostriamo che è un gruppo risolubile non abeliano. Se trovo normale in , tale che è risolubile e è risolubile, allora posso concludere che è risolubile. Sia il sottogruppo di generato dal 3-ciclo : allora , essendo ciclico, è abeliano e quindi anche risolubile.

Inoltre ha ordine , quindi è anch'esso ciclico e abeliano, e quindi risolubile.

 

Proprietà 3: Sia un gruppo, allora sono equivalenti:

  1. è risolubile
  2. ha una serie normale a quozienti abeliani, cioè esiste una catena di sottogruppi tale che
    con normale in e abeliano, per ogni .


Dimostrazione

: se è risolubile, esiste minimo tale che . Considero la serie dei derivati (serie derivata):

Siccome può essere considerato come il derivato di , si ha che è normale in e che il quoziente è abeliano per la proprietà 1, e quindi la serie derivata è una serie normale a quozienti abeliani.
: Sia una serie normale a quozienti abeliani, che esiste per ipotesi. Mostro che per ogni , . Se questo vale si ha in particolare che , quindi e è risolubile.
Per , ; suppongo vero l'asserto per e lo mostro per , cioè, supponendo che , mostro che .

Per definizione di serie normale a quozienti abeliani, è normale in e è abeliano, allora per il primo lemma sui gruppi risolubili, . D'altra parte, siccome è un sottogruppo di , , allora, in conclusione

Quindi vale la tesi.

 


Esempio 3.3

Mostro che è un gruppo risolubile applicando quest'ultima proprietà. Osservo che è normale in . Inoltre,

è un sottogruppo normale in . Il quoziente ha ordine , e quindi è ciclico e abeliano. Allora è una serie normale a quozienti abeliani.

 

Affinché un gruppo finito non sia risolubile, deve esistere un certo indice tale che per ogni , cioè a partire da un certo indice il gruppo non deve più ridursi quando viene derivato.

Sia un gruppo semplice, cioè un gruppo che non ha sottogruppi normali non banali. Allora, se considero la serie dei derivati si ha: , e , e siccome è normale in , si hanno solo due possibilità:

  1. e in questo caso la serie dei derivati non si arresta, infatti si avrà ;
  2. , e siccome quoziente dev'essere abeliano, e in questo caso , segue che è abeliano, allora è un gruppo ciclico di ordine , con primo (perche'e' privo di sottogruppi non banali).
Esempio 3.4

Da queste osservazioni segue che non è risolubile perché ha come sottogruppo che è semplice (da dimostrare).

 


Osservazione 3.1

Dato un gruppo che agisce su un insieme transitivamente, e dati , esiste un elemento tale che . Allora tra gli stabilizzatori vale la relazione , cioè gli stabilizzatori sono tutti coniugati.

 


Proposizione 3.1

è semplice.

 
Dimostrazione

Fattorizzo l'ordine di : . Mostro che non ha sottogruppi normali non banali. Considero un sottogruppo normale in , con , e mostro che . Indico con l'insieme dei sottogruppi di Sylow di che sono ciclici e hanno ordine 3, e con l'insieme dei sottogruppi di Sylow di che hanno ordine 5 e sono ciclici.

Considero i casi possibili:

  • Supponiamo che , allora contiene un elemento di ordine 3. Siccome i 3-sylow di sono ciclici di ordine 3, esiste con . Siccome è normale, coincide con i suoi (sottogruppi) coniugati al variare di . Ora, per ogni , (con indico il coniugato di mediante ).

Siccome i 3-sylow sono tutti coniugati tra loro, li contiene tutti. Allora contiene tutti gli elementi di ordine 3 di , che sono i 3-cicli e sono ( possibilità di scelta per il primo elemento, per il secondo, per il terzo e divido per perché lo stesso 3-ciclo può essere scritto in 3 modi distinti).

Allora, siccome deve contenere tutti i 3-sylow e anche l'unità, si ha e . Allora l'unica possibilità è che abbia ordine . In particolare, .

  • Se , allora esiste con . Come prima, è normale e deve coincidere con i suoi coniugati. E quindi contiene tutti i coniugati di mediante gli elementi di . Siccome i 5-sylow sono tutti coniugati tra loro, li contiene tutti; allora contiene tutti gli elementi di di ordine 5, che sono i 5-cicli e sono . In particolare

abbiamo che .

In conclusione, se , anche e, viceversa, se , anche . Ma allora ha elementi, ma , e questo è assurdo perché si deve avere .

  • Rimane da valutare la possibilità , si può avere oppure .

Se , allora è un 2-Sylow in , ed è normale, allora è l'unico 2-sylow di (infatti un sottogruppo di Sylow normale in è sempre unico del suo ordine perché coincide con i suoi coniugati). Allora contiene tutti gli elementi di ordine 2 di , che sono i prodotti di due scambi e sono (divido per perché un prodotto di due scambi può essere scritto in modi distinti, posso invertire l'ordine dei due scambi e l'ordine degli elementi in ogni scambio). Ma , assurdo!

  • Se , allora , dove è il prodotto di due scambi, e fissa una sola tra le cinque cifre dell'insieme , diciamo . Allora , e quindi , sta nello stabilizzatore della cifra fissata.

agisce in modo transitivo sull'insieme , allora gli stabilizzatori degli elementi di sono tutti coniugati. Segue che che è normale è contenuto in ogni coniugato dello stabilizzatore , e quindi sta nello stabilizzatore di ogni cifra. Ma questo non può avvenire perché è il prodotto di due scambi, assurdo.

  • L'unica possibilità rimanente è quindi .
 

Semplicità di A_n n ge 5

Teorema 3.1

è semplice per .

 
Dimostrazione

CASO BASE: per , ha ordine , in particolare i 3-sylow di sono ciclici di ordine 3, e i 5-sylow di sono ciclici di ordine 5.

Consideriamo sottogruppo normale di , e mostriamo che .

Considero i casi possibili:

  • . Allora esiste un con .

Nota: per indicare scrivo .

Dato , , allora per ogni . Siccome i 3-sylow di sono tutti coniugati, segue che contiene tutti i 3-sylow di . Equivalentemente, contiene tutti i 3-cicli di che sono . Questo significa che (infatti contiene anche l'unità), inoltre , e quindi, oltre alla possibilità , l'unica altra alternativa è che , cioè .

  • . Allora esiste con . Allora per ogni , , e come prima contiene tutti i 5-sylow di che sono tutti coniugati tra di loro; equivalentemene contiene tutti i 5-cicli, che sono . Allora, oltre al caso , l'unica alternativa è che , quindi .

Da questi due casi segue che se e solo se . In ciascun caso ha almeno elementi, e contemporaneamente , quindi in questi casi l'unica possibilità è e quindi .

  • : segue che e ci sono due sottocasi:
    • Se , è un 2-sylow di , e siccome è normale, è l'unico 2-sylow di , e quindi contiene gli elementi di che hanno ordine 2, ovvero contiene tutti i prodotti di due trasposizioni, chesono , assurdo.
    • Se , allora si avrà dove è prodotto di due trasposizioni. Segue che (), dove è lo stabilizzatore di una delle cifre nell'insieme , cioè . Per , . D'altra parte, opera transitivamente sull'insieme delle cifre, e quindi gli stabilizzatori sono tutti coniugati. Allora è contenuto in ciascuno stabilizzatore, cioè fissa ogni cifra di , assurdo!

PASSO INDUTTIVO: sia e supponiamo semplice, mostriamo allora che è semplice.

Considero sottogruppo normale di , e vogliamo mostrare che .

Sia , e chiamo lo stabilizzatore di . e quindi è semplice per induzione.

Considero l'intersezione : siccome è normale, è normale in . è semplice, allora oppure . Considero i due casi:

  • . Allora , e per , . Inoltre agisce in modo transitivo su , allora per ogni , perché i sono tutti coniugati.

Allora contiene tutti gli elementi di che fissano la cifra per ogni , in particolare tra questi ci sono tutti i prodotti di due trasposizioni. Siccome essi generano (infatti ogni permutazione pari è scritta come il prodotto di un numero pari di scambi), segue che .

  • . Per ogni tale che , , quindi, per ogni , l'unico elemento di che fissa tale cifra è l'identità.

Sia con , e ne considero la struttura ciclica. Allora possono verificarsi due casi:

Caso 1: contiene un -ciclo con

Caso 2: è prodotto di trasposizioni.

A meno di riordinare le cifre possiamo supporre, considerando i due casi, che

Caso 1: nella scrittura di come prodotto di trasposizioni compare il ciclo , cioè ;

Caso 2: .

Chiamo il coniugato di mediante il 3-ciclo , che è contenuto in e si ottiene applicando alle cifre di , quindi:

Caso 1:

Caso 2: Allora in entrambi i casi. Osservo poi che l'elemento fissa la cifra 1, infatti:

Caso 1: ;

Caso 2: .

Concludo che , essendo prodotto di elementi di , sta in , e fissa la cifra 1, quindi sta in ma è diverso dall'identità, assurdo!

 


Osservazione 3.2

Sia risolubile e semplice: allora, per la risolubilità, non può essere tutto ; inoltre per la semplicità l'unica possibilità è che , allora è abeliano. Segue che non può avere sottogruppi (tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano infatti sono normali in ) e quindi dev'essere ciclico di ordine con primo.

 

Il fatto che per è semplice implica che non è risolubile per .

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