Considerata un'equazione di secondo grado della forma
, le sue soluzioni sono date da

Esistono formule risolutive anche per equazioni di terzo e quarto grado.
Commutatore e gruppi derivati
Definizione 3.1
Siano
un gruppo, e
. Si definisce il commutatore di
e
, indicato con
, l'elemento
.
Si osserva che
![{\displaystyle ab=ba*[a,b]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a6415bafbcab95cb80f7a0bf937051001be5dbbf)
e che

se e solo se
![{\displaystyle [a,b]=1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0a8518418ab79032b36e5f810a3826cd999dc07d)
.
Definizione 3.2
Sia
un gruppo, il derivato di
, indicato con
, è il sottogruppo di
generato dai commutatori
, al variare di
.
Più in generale, definisco




Segue quindi che

.
Questi sottogruppi sono normali in
e addirittura caratteristici (invarianti per automorfismi): infatti se
è un automorfismo di
, dati
, allora
![{\displaystyle \alpha ([a,b])=\alpha (a^{-1}b^{-1}ab)=\alpha (a^{-1})\alpha (b^{-1})\alpha (a)\alpha (b)=[\alpha (a),\alpha (b)],}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d828dd32fdf5bcf1bb6bb11534e5f54b2486d98c)
cioè l'immagine mediante

di un commutatore è il commutatore delle immagini degli elementi.
Segue subito che

e' caratteristico in

.
In generale, si vede facilmente che
è caratteristico in
, usando il fatto che,
dati tre sottogruppi
di
, con
caratteristico in
e
caratteristico in
, allora
è caratteristico in
.
Gruppi risolubili
Definizione 3.3
Un gruppo
si dice risolubile se esiste
tale che
.
Esempio 3.1
Tutti i gruppi abeliani sono risolubili, perché se
è abeliano,
, allora
e
.
Lemma 3.1
Sia
un gruppo e
un sottogruppo di
. Se
, allora
è normale in
, e il quoziente
è abeliano. Viceversa, se
è normale in
e il quoziente
è abeliano, allora
è contenuto in
.
Dimostrazione
PARTE 1: Sia
. Mostriamo che
è normale, cioè che
contiene i coniugati dei suoi elementi, cioè per
,
. Osservo che
![{\displaystyle g^{-1}ng=n*(n^{-1}g^{-1}ng)=n[n,g]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7f65b19c28efbff2a22fd947bd4bc6d7317e55e3)
e siccome per ipotesi

, allora
![{\displaystyle [n,g]\in N}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3c3731c7bfb80d7a853fddc059f5b6babbe61b2f)
, e quindi
![{\displaystyle g^{-1}ng=n[n,g]\in N}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b35b8bc592ffc7807dc240c0993312c721f0a239)
.
Inoltre siano
laterali destri in
. Mostro che il quoziente è abeliano:
![{\displaystyle [Nx,Ny]=(Nx)^{-1}\,(Ny)^{-1}\,Nx\,Ny=Nx^{-1}\,Ny^{-1}\,Nx\,Ny}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4f1db4696854fc000cd3e28dd055b6c7ad5ca296)
e per definizione di prodotto di laterali:
![{\displaystyle =N(x^{-1}y^{-1}xy)=N[x,y]=N}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c75e1f419ce016eeb144ef363ca69b69ac2e86eb)
dove l'ultimo passaggio vale perché i commutatori stanno in

poiché stanno in

. Segue quindi che il commutatore di due laterali è l'identità del quoziente, e quindi il quoziente è abeliano.
PARTE 2: Viceversa, se
è un sottogruppo normale di
con
abeliano, allora
.
abeliano significa che dati due laterali
, allora il commutatore è l'identità del quoziente, cioè
![{\displaystyle N=[Nx,Ny]=N[x,y],}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a827463dedb60b1843e977769000c5b4f7a43cc1)
per i conti precedenti, e quindi
![{\displaystyle [x,y]\in N\forall x,y\in G}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8d584710908c53e972e6b21f5470d90339c98862)
; segue che, siccome

contiene i generatori di

, allora

è contenuto in

.
Proprietà dei gruppi risolubili
Proprietà 1: se
è risolubile, lo sono anche tutti i suoi sottogruppi e tutti i suoi quozienti.
Dimostrazione
RISOLUBILITÀ DEI SOTTOGRUPPI: supponiamo che
sia risolubile allora esiste
tale che
. Sia
un sottogruppo di
, affermo che
.
- Per
,
.
- Per
,
è generato da
al variare di
. L'insieme di generatori di
è contenuto nell'insieme di generatori di
che è
![{\displaystyle \{[g,h],\,g,h\in G\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/06a0fbef57eb0febcfc62af4c3cf895ed887b894)
allora

.
- In generale, se suppongo che
sia un sottogruppo di
, allora

per il passo precedente.
RISOLUBILITÀ DEI QUOZIENTI: si verifica per induzione che se
è normale in
, allora

e, siccome

è risolubile, esiste

tale che

, e per tale

si ha

, cioè anche il quoziente è risolubile.
Proprietà 2: sia
un gruppo e
un sottogruppo normale di
, allora se
e
sono risolubili, anche
è risolubile.
Dimostrazione
Per ipotesi
è risolubile, allora esiste
tale che
, e questo implica
, cioè
. Inoltre, anche
è risolubile, quindi esiste
tale che
.
Allora
, cioè
, e quindi
è risolubile con
.
Esempio 3.2
Mostriamo che
è un gruppo risolubile non abeliano. Se trovo
normale in
, tale che
è risolubile e
è risolubile, allora posso concludere che
è risolubile. Sia
il sottogruppo di
generato dal 3-ciclo
: allora
, essendo ciclico, è abeliano e quindi anche risolubile.
Inoltre
ha ordine
, quindi è anch'esso ciclico e abeliano, e quindi risolubile.
Proprietà 3: Sia
un gruppo, allora sono equivalenti:
è risolubile
ha una serie normale a quozienti abeliani, cioè esiste una catena di sottogruppi tale che
con
normale in
e
abeliano, per ogni
.
Dimostrazione
Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2}
: se
è risolubile, esiste
minimo tale che
. Considero la serie dei derivati (serie derivata):

Siccome

può essere considerato come il derivato di

, si ha che

è normale in

e che il quoziente

è abeliano per la proprietà 1, e quindi la serie derivata è una serie normale a quozienti abeliani.
Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 1}
: Sia
una serie normale a quozienti abeliani, che esiste per ipotesi. Mostro che per ogni
,
. Se questo vale si ha in particolare che
, quindi
e
è risolubile.
Per
,
; suppongo vero l'asserto per
e lo mostro per
, cioè, supponendo che
, mostro che
.
Per definizione di serie normale a quozienti abeliani,
è normale in
e
è abeliano, allora per il primo lemma sui gruppi risolubili,
. D'altra parte, siccome
è un sottogruppo di
,
, allora, in conclusione

Quindi vale la tesi.
Esempio 3.3
Mostro che
è un gruppo risolubile applicando quest'ultima proprietà. Osservo che
è normale in
. Inoltre,

è un sottogruppo normale in

. Il quoziente

ha ordine

, e quindi è ciclico e abeliano. Allora

è una serie normale a quozienti abeliani.
Affinché un gruppo finito non sia risolubile, deve esistere un certo indice
tale che
per ogni
, cioè a partire da un certo indice il gruppo
non deve più ridursi quando viene derivato.
Sia
un gruppo semplice, cioè un gruppo che non ha sottogruppi normali non banali. Allora, se considero la serie dei derivati si ha:
, e
, e siccome
è normale in
, si hanno solo due possibilità:
e in questo caso la serie dei derivati non si arresta, infatti si avrà
;
, e siccome quoziente
dev'essere abeliano, e in questo caso
, segue che
è abeliano, allora
è un gruppo ciclico di ordine
, con
primo (perche'
e' privo di sottogruppi non banali).
Esempio 3.4
Da queste osservazioni segue che
non è risolubile perché ha come sottogruppo
che è semplice (da dimostrare).
Dato un gruppo
che agisce su un insieme
transitivamente, e dati
, esiste un elemento
tale che
. Allora tra gli stabilizzatori vale la relazione
, cioè gli stabilizzatori
sono tutti coniugati.
Proposizione 3.1
è semplice.
Dimostrazione
Fattorizzo l'ordine di
:
. Mostro che
non ha sottogruppi normali non banali.
Considero un sottogruppo normale
in
, con
, e mostro che
. Indico con
l'insieme dei sottogruppi di Sylow di
che sono ciclici e hanno ordine 3, e con
l'insieme dei sottogruppi di Sylow di
che hanno ordine 5 e sono ciclici.
Considero i casi possibili:
- Supponiamo che
, allora
contiene un elemento di ordine 3. Siccome i 3-sylow di
sono ciclici di ordine 3, esiste
con
. Siccome
è normale,
coincide con i suoi (sottogruppi) coniugati
al variare di
. Ora, per ogni
,
(con
indico il coniugato di
mediante
).
Siccome i 3-sylow sono tutti coniugati tra loro,
li contiene tutti. Allora contiene tutti gli elementi di ordine 3 di
, che sono i 3-cicli e sono
(
possibilità di scelta per il primo elemento,
per il secondo,
per il terzo e divido per
perché lo stesso 3-ciclo può essere scritto in 3 modi distinti).
Allora, siccome
deve contenere tutti i 3-sylow e anche l'unità, si ha
e
. Allora l'unica possibilità è che
abbia ordine
. In particolare,
.
- Se
, allora esiste
con
. Come prima,
è normale e deve coincidere con i suoi coniugati. E quindi contiene tutti i coniugati di
mediante gli elementi di
. Siccome i 5-sylow sono tutti coniugati tra loro,
li contiene tutti; allora
contiene tutti gli elementi di
di ordine 5, che sono i 5-cicli e sono
. In particolare
abbiamo che
.
In conclusione, se
, anche
e, viceversa, se
, anche
. Ma allora
ha
elementi, ma
, e questo è assurdo perché si deve avere
.
- Rimane da valutare la possibilità
, si può avere
oppure
.
Se
, allora
è un 2-Sylow in
, ed è normale, allora è l'unico 2-sylow di
(infatti un sottogruppo di Sylow normale in
è sempre unico del suo ordine perché coincide con i suoi coniugati). Allora
contiene tutti gli elementi di ordine 2 di
, che sono i prodotti di due scambi e sono
(divido per
perché un prodotto di due scambi può essere scritto in
modi distinti, posso invertire l'ordine dei due scambi e l'ordine degli elementi in ogni scambio). Ma
, assurdo!
- Se
, allora
, dove
è il prodotto di due scambi, e fissa una sola tra le cinque cifre dell'insieme
, diciamo
. Allora
, e quindi
, sta nello stabilizzatore
della cifra fissata.
agisce in modo transitivo sull'insieme
, allora gli stabilizzatori degli elementi di
sono tutti coniugati.
Segue che
che è normale è contenuto in ogni coniugato dello stabilizzatore
, e quindi sta nello stabilizzatore di ogni cifra. Ma questo non può avvenire perché
è il prodotto di due scambi, assurdo.
- L'unica possibilità rimanente è quindi
.
Semplicità di A_n n ge 5
Teorema 3.1
è semplice per
.
Dimostrazione
CASO BASE: per
,
ha ordine
, in particolare i 3-sylow di
sono ciclici di ordine 3, e i 5-sylow di
sono ciclici di ordine 5.
Consideriamo
sottogruppo normale di
, e mostriamo che
.
Considero i casi possibili:
. Allora esiste un
con
.
Nota: per indicare
scrivo
.
Dato
,
, allora
per ogni
. Siccome i 3-sylow di
sono tutti coniugati, segue che
contiene tutti i 3-sylow di
. Equivalentemente,
contiene tutti i 3-cicli di
che sono
. Questo significa che
(infatti
contiene anche l'unità), inoltre
, e quindi, oltre alla possibilità
, l'unica altra alternativa è che
, cioè
.
. Allora esiste
con
. Allora per ogni
,
, e come prima
contiene tutti i 5-sylow di
che sono tutti coniugati tra di loro; equivalentemene
contiene tutti i 5-cicli, che sono
. Allora, oltre al caso
, l'unica alternativa è che
, quindi
.
Da questi due casi segue che
se e solo se
. In ciascun caso
ha almeno
elementi, e contemporaneamente
, quindi in questi casi l'unica possibilità è
e quindi
.
: segue che
e ci sono due sottocasi:
- Se
,
è un 2-sylow di
, e siccome
è normale, è l'unico 2-sylow di
, e quindi contiene gli elementi di
che hanno ordine 2, ovvero contiene tutti i prodotti di due trasposizioni, chesono
, assurdo.
- Se
, allora si avrà
dove
è prodotto di due trasposizioni. Segue che
(
), dove
è lo stabilizzatore di una delle cifre nell'insieme
, cioè
. Per
,
. D'altra parte,
opera transitivamente sull'insieme delle cifre, e quindi gli stabilizzatori sono tutti coniugati. Allora
è contenuto in ciascuno stabilizzatore, cioè
fissa ogni cifra di
, assurdo!
PASSO INDUTTIVO: sia
e supponiamo
semplice, mostriamo allora che
è semplice.
Considero
sottogruppo normale di
, e vogliamo mostrare che
.
Sia
, e chiamo
lo stabilizzatore di
.
e quindi
è semplice per induzione.
Considero l'intersezione
: siccome
è normale,
è normale in
.
è semplice, allora
oppure
. Considero i due casi:
. Allora
, e per
,
. Inoltre
agisce in modo transitivo su
, allora
per ogni
, perché i
sono tutti coniugati.
Allora
contiene tutti gli elementi di
che fissano la cifra
per ogni
, in particolare tra questi ci sono tutti i prodotti di due trasposizioni. Siccome essi generano
(infatti ogni permutazione pari è scritta come il prodotto di un numero pari di scambi), segue che
.
. Per ogni
tale che
,
, quindi, per ogni
, l'unico elemento di
che fissa tale cifra è l'identità.
Sia
con
, e ne considero la struttura ciclica. Allora possono verificarsi due casi:
Caso 1:
contiene un
-ciclo con
Caso 2:
è prodotto di trasposizioni.
A meno di riordinare le cifre possiamo supporre, considerando i due casi, che
Caso 1: nella scrittura di
come prodotto di trasposizioni compare il ciclo
, cioè
;
Caso 2:
.
Chiamo
il coniugato di
mediante il 3-ciclo
, che è contenuto in
e si ottiene applicando
alle cifre di
, quindi:
Caso 1:
Caso 2:
Allora
in entrambi i casi. Osservo poi che l'elemento
fissa la cifra 1, infatti:
Caso 1:
;
Caso 2:
.
Concludo che
, essendo prodotto di elementi di
, sta in
, e fissa la cifra 1, quindi sta in
ma è diverso dall'identità, assurdo!
Sia
risolubile e semplice: allora, per la risolubilità,
non può essere tutto
; inoltre per la semplicità l'unica possibilità è che
, allora
è abeliano. Segue che
non può avere sottogruppi (tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano infatti sono normali in
) e quindi
dev'essere ciclico di ordine
con
primo.
Il fatto che
per
è semplice implica che
non è risolubile per
.