Criterio di risolubilità
Definizione 3.6
Sia
un campo e
un polinomio non costante in
. Allora si dice che l'equazione
è risolubile per radicali se, detto
un campo di spezzamento per
su
, allora
è contenuto in un'estensione radicale di
, cioè esiste un campo
con
e tale che l'estensione
è radicale.
Definizione 3.7
Nelle ipotesi precedenti, si definisce gruppo di Galois del polinomio
il gruppo di Galois di
su
.
Si parla di gruppo di Galois di un polinomio come gruppo di permutazioni delle radici di
: in altre parole, se
è l'insieme delle radici di
, posso considerare la mappa
che a
associa
. Il gruppo di Galois del polinomio è quindi isomorfo a un sottogruppo di
.
Dai teoremi precedenti discende il seguente
Teorema 3.4
Sia
è un campo di caratteristica 0, e
un polinomio non costante. Se l'equazione
è risolubile per radicali, allora il gruppo
con
campo di spezzameno di
su
è risolubile.
Polinomi con gruppo di Galois non risolubile
Esistono polinomi che hanno un gruppo di Galois non risolubile.
Proposizione 3.3
Sia
un numero primo,
un polinomio a coefficienti razionali, monico, irriducibile di grado
con esattamente due radici complesse non reali. Allora il gruppo di Galois di
è tutto
.
Dimostrazione
Sia
un campo di spezzamento di
su
, e
una radice di
, allora posso considerare
.
Osservo che
perché
è polinomio minimo di ogni sua radice. In particolare,
, e quindi in
c'è un elemento di ordine
.
Sappiamo che il coniugio sui complessi induce un automorfismo di
su
che scambia le due radici complesse e fissa le altre.
Per le osservazioni precedenti, posso pensare al gruppo di Galois di
come a un sottogruppo di
.
A meno di riordinare le radici, l'automorfismo indotto dal coniugio può essere pensato come la trasposizione
.
Supponiamo che l'elemento di ordine
in
di cui abbiamo mostrato l'esistenza sia
.
Allora anche le potenze di
stanno nel gruppo, e a meno di scambiare le potenze posso supporre
.
Mostro che
è generato da
e
: piu' in generale
e' generato da
e
, infatti osservo che





e procedendo in questo modo ottengo che tutte le trasposizioni della forma
stanno in
, per
.
Per quanto già dimostrato,
non è risolubile per
.
Esempio 3.6
Il polinomio
ha due radici complesse non reali ed è irriducibile su
, monico e di grado
, allora per la proposizione precedente il suo gruppo di Galois è
che non è risolubile.