Equazione risolubile per radicali

Criterio di risolubilità

Definizione 3.6

Sia $K$$K$ un campo e $f(x)$$f(x)$ un polinomio non costante in $K[x]$$K[x]$. Allora si dice che l'equazione $f(x)=0$$f(x)=0$ è risolubile per radicali se, detto $M$$M$ un campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, allora $M$$M$ è contenuto in un'estensione radicale di $K$$K$, cioè esiste un campo $E$$E$ con $E\supseteq M\supseteq K$$E\supseteq M\supseteq K$ e tale che l'estensione $E\supseteq K$$E\supseteq K$ è radicale.

 

Definizione 3.7

Nelle ipotesi precedenti, si definisce gruppo di Galois del polinomio$f(x)$$f(x)$ il gruppo di Galois di $M$$M$ su $K$$K$.

 

Si parla di gruppo di Galois di un polinomio come gruppo di permutazioni delle radici di $f(x)$$f(x)$: in altre parole, se $\Omega =\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$$\Omega =\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ è l'insieme delle radici di $f(x)$$f(x)$, posso considerare la mappa $\phi \colon {\mathcal {G}}(M/K)\to S_{n}$$\phi \colon {\mathcal {G}}(M/K)\to S_{n}$ che a $g$$g$ associa $g_{|_{\Omega }}$$g_{|_{\Omega }}$. Il gruppo di Galois del polinomio è quindi isomorfo a un sottogruppo di $S_{n}$$S_{n}$.

Dai teoremi precedenti discende il seguente

Teorema 3.4

Sia $K$$K$ è un campo di caratteristica 0, e $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ un polinomio non costante. Se l'equazione $f(x)=0$$f(x)=0$ è risolubile per radicali, allora il gruppo ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ con $M$$M$ campo di spezzameno di $f$$f$ su $K$$K$ è risolubile.

 

Polinomi con gruppo di Galois non risolubile

Esistono polinomi che hanno un gruppo di Galois non risolubile.

Proposizione 3.3

Sia $p$$p$ un numero primo, $f(x)$$f(x)$ un polinomio a coefficienti razionali, monico, irriducibile di grado $p$$p$ con esattamente due radici complesse non reali. Allora il gruppo di Galois di $f(x)$$f(x)$ è tutto $S_{p}$$S_{p}$.

 

Dimostrazione

Sia $M$$M$ un campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, e $\alpha \in M$$\alpha \in M$ una radice di $f(x)$$f(x)$, allora posso considerare $M\supseteq \mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q}$.

Osservo che $|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=p$$|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=p$ perché $f(x)$$f(x)$ è polinomio minimo di ogni sua radice. In particolare, $p\mid |M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} ))$$p\mid |M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} ))$, e quindi in ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ c'è un elemento di ordine $p$$p$.

Sappiamo che il coniugio sui complessi induce un automorfismo di $M$$M$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ che scambia le due radici complesse e fissa le altre.

Per le osservazioni precedenti, posso pensare al gruppo di Galois di $f(x)$$f(x)$ come a un sottogruppo di $S_{p}$$S_{p}$. A meno di riordinare le radici, l'automorfismo indotto dal coniugio può essere pensato come la trasposizione $\sigma =(1,2)$$\sigma =(1,2)$.

Supponiamo che l'elemento di ordine $p$$p$ in ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ di cui abbiamo mostrato l'esistenza sia $\tau =(i_{1},i_{2},\dots ,i_{p})$$\tau =(i_{1},i_{2},\dots ,i_{p})$. Allora anche le potenze di $\tau$$\tau$ stanno nel gruppo, e a meno di scambiare le potenze posso supporre $\tau =(1,2,\dots ,p)$$\tau =(1,2,\dots ,p)$.

Mostro che $S_{p}$$S_{p}$ è generato da $\sigma$$\sigma$ e $\tau$$\tau$: piu' in generale $S_{n}$$S_{n}$e' generato da $\sigma =(1,2)$$\sigma =(1,2)$ e $\tau =(1,2,\ldots ,n)$$\tau =(1,2,\ldots ,n)$, infatti osservo che

$$(1,2)\in H=\langle \sigma ,\tau \rangle$$

$$(1,2)\in H=\langle \sigma ,\tau \rangle$$

$$(1,2,\dots ,n)^{(1,2)}=(2,1,\dots ,n)\in H$$

$$(1,2,\dots ,n)^{(1,2)}=(2,1,\dots ,n)\in H$$

$$(1,2)^{(2,1,\dots ,n)}=(1,3)\in H$$

$$(1,2)^{(2,1,\dots ,n)}=(1,3)\in H$$

$$(2,1,3,\dots ,n)^{(1,3)}=(2,3,1,\dots ,n)\in H$$

$$(2,1,3,\dots ,n)^{(1,3)}=(2,3,1,\dots ,n)\in H$$

$$(1,3)^{(2,3,1,\dots ,n)}=(4,1)=(1,4)\in H$$

$$(1,3)^{(2,3,1,\dots ,n)}=(4,1)=(1,4)\in H$$

e procedendo in questo modo ottengo che tutte le trasposizioni della forma $(1,i)$$(1,i)$ stanno in $H$$H$, per $i=2,\dots ,n$$i=2,\dots ,n$.

Per quanto già dimostrato, $S_{p}$$S_{p}$ non è risolubile per $p\geq 5$$p\geq 5$.

 

Esempio 3.6

Il polinomio $f(x)=x^{5}-6x+3\in \mathbb {Q} [x]$$f(x)=x^{5}-6x+3\in \mathbb {Q} [x]$ ha due radici complesse non reali ed è irriducibile su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, monico e di grado $p$$p$, allora per la proposizione precedente il suo gruppo di Galois è $S_{5}$$S_{5}$ che non è risolubile.