Ripasso di teoria dei campi

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==Estensioni di campi==
 
==Estensioni di campi==
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Sia <math>M</math> un campo, e <math>K</math> un sottoanello di <math>M</math>, che è a sua volta un campo. Diciamo che <math>M \supseteq K</math> è un'''estensione di campi'' (si  scrive anche <math>M/K</math>). Il campo <math>M</math> può essere visto come spazio vettoriale su <math>K</math>. La dimensione di <math>M</math> come spazio vettoriale su <math>K</math> si dice
 
Sia <math>M</math> un campo, e <math>K</math> un sottoanello di <math>M</math>, che è a sua volta un campo. Diciamo che <math>M \supseteq K</math> è un'''estensione di campi'' (si  scrive anche <math>M/K</math>). Il campo <math>M</math> può essere visto come spazio vettoriale su <math>K</math>. La dimensione di <math>M</math> come spazio vettoriale su <math>K</math> si dice
 
''grado dell'estensione'', e si indica con <math>|M:K|</math>.
 
''grado dell'estensione'', e si indica con <math>|M:K|</math>.
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Supponiamo di avere <math>K,L,M</math> campi con <math>K \subseteq L \subseteq M</math>, allora <math>|M:K|</math> è finito se e solo se sono finiti <math>|M:L|</math> e <math>|L:K|</math>.
 
Supponiamo di avere <math>K,L,M</math> campi con <math>K \subseteq L \subseteq M</math>, allora <math>|M:K|</math> è finito se e solo se sono finiti <math>|M:L|</math> e <math>|L:K|</math>.
 
In tal caso: <math>|M:K|=|M:L|*|L:K|</math>.
 
In tal caso: <math>|M:K|=|M:L|*|L:K|</math>.
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<MATH>1 \LONGRIGHTARROW 2</MATH>:  
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Supponiamo che <math>|M:K|</math> sia finito, allora siccome <math>L \subseteq M</math>, anche <math>|L:K|</math> è finito (infatti <math>L</math>e' un sottospazio di <math>M</math>). Sia inoltre <math>\{ \gamma_1, \dots,\gamma_t\}</math>
 
Supponiamo che <math>|M:K|</math> sia finito, allora siccome <math>L \subseteq M</math>, anche <math>|L:K|</math> è finito (infatti <math>L</math>e' un sottospazio di <math>M</math>). Sia inoltre <math>\{ \gamma_1, \dots,\gamma_t\}</math>
 
una base per <math>M</math> su <math>K</math>.
 
una base per <math>M</math> su <math>K</math>.
Allora ogni <math>\alpha \in M</math> si può scrivere come
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Allora ogni <math>\alpha \in M</math> si può scrivere come<math display="block">\sum_i k_i \gamma_i</math>per certi <math>k_i \in K \subseteq L</math>, quindi <math>\{\gamma_i\}_{i=1}^t</math> è un insieme finito di generatori per <math>M</math> su <math>L</math>, e anche <math>|M:L|</math> è finito.
<math display="block">\sum_i k_i \gamma_i</math>
 
per certi <math>k_i \in K \subseteq L</math>, quindi <math>\{\gamma_i\}_{i=1}^t</math> è un insieme finito di generatori per <math>M</math> su <math>L</math>, e anche <math>|M:L|</math> è finito.
 
  
 
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Viceversa, siano <math>n=|M:L|<\infty</math> e <math>m=|L:K| <\infty</math>, e siano <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n \}</math> e <math>\{ \beta_1,\dots,\beta_m\}</math> basi rispettivamente di <math>M</math> su <math>L</math> e di <math>L</math> su <math>K</math>.
 
Viceversa, siano <math>n=|M:L|<\infty</math> e <math>m=|L:K| <\infty</math>, e siano <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n \}</math> e <math>\{ \beta_1,\dots,\beta_m\}</math> basi rispettivamente di <math>M</math> su <math>L</math> e di <math>L</math> su <math>K</math>.
 
 
 
'''Affermo che <math>\mathcal B=\{ \alpha_i \beta_j | i=1,\dots,n, \, j=1\dots,m \}</math> è una base per <math>M</math> su <math>K</math>''', infatti:
 
'''Affermo che <math>\mathcal B=\{ \alpha_i \beta_j | i=1,\dots,n, \, j=1\dots,m \}</math> è una base per <math>M</math> su <math>K</math>''', infatti:
  
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==Estensioni semplici==
 
==Estensioni semplici==
 
Sia <math>E \supseteq F</math> un'estensione di campi, e sia <math>S</math> un sottoinsieme di  <math>E</math>.  Allora indichiamo con <math>F[S]</math> il minimo sottoanello di <math>E</math> contenente <math>S</math> e <math>F</math>,
 
Sia <math>E \supseteq F</math> un'estensione di campi, e sia <math>S</math> un sottoinsieme di  <math>E</math>.  Allora indichiamo con <math>F[S]</math> il minimo sottoanello di <math>E</math> contenente <math>S</math> e <math>F</math>,
cioè <math>F[S] :=\bigcap R</math>  al variare di  <math>R</math> sottoanello di <math>E</math> tale che <math>F,S \subset R</math> ovvero
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cioè <math>F[S] :=\bigcap R</math>  al variare di  <math>R</math> sottoanello di <math>E</math> tale che <math>F,S \subset R</math> ovvero<math display="block">F[S] :=\bigcap_{R \, sottoanello\, di\, E\, con\, F, S\subseteq R} R.</math>Indichiamo invece con <math>F(S)</math> il minimo sottocampo di <math>E</math> contenente <math>S,F</math>, cioè <math>F(S) :=\bigcap K</math>, al variare di <math>K</math> sottocampo di <math>E</math> tale che <math>F,S \subset K</math>,
<math display="block">F[S] :=\bigcap_{R \textrm{\; sottoanello di $E$, con $F,S\subseteq R$}} R.</math>
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ovvero<math display="block">F(S) :=\bigcap_{K\, sottocampo\, di\, E, \,con\, F,S\subseteq K} K.</math>In particolare, quando <math>S=\{\alpha\}</math>, il minimo sottoanello e sottocampo si indicano rispettivamente con <math>F[\alpha], F(\alpha)</math>.
 
 
 
 
 
 
Indichiamo invece con <math>F(S)</math> il minimo sottocampo di <math>E</math> contenente <math>S,F</math>, cioè <math>F(S) :=\bigcap K</math>, al variare di <math>K</math> sottocampo di <math>E</math> tale che <math>F,S \subset K</math>,
 
ovvero
 
<math display="block">F(S) :=\bigcap_{K \textrm{\; sottocampo di $E$, con  $F,S\subseteq K$}} K.</math>
 
 
 
In particolare, quando <math>S=\{\alpha\}</math>, il minimo sottoanello e sottocampo si indicano rispettivamente con <math>F[\alpha], F(\alpha)</math>.
 
 
 
  
 
Più in generale, dato <math>S=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}, \, \alpha_i \in E</math>, posso scrivere <math>F[\alpha_1,\dots,\alpha_n]</math> per indicare <math>F[S]</math> e <math>F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> per indicare <math>F(S)</math>, eliminando le parentesi graffe che racchiudono il contenuto degli insiemi.
 
Più in generale, dato <math>S=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}, \, \alpha_i \in E</math>, posso scrivere <math>F[\alpha_1,\dots,\alpha_n]</math> per indicare <math>F[S]</math> e <math>F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math> per indicare <math>F(S)</math>, eliminando le parentesi graffe che racchiudono il contenuto degli insiemi.
  
 
==Elementi algebrici e trascendenti==
 
==Elementi algebrici e trascendenti==
Sia <math>\alpha \in E</math>, e' facile convincersi che
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Sia <math>\alpha \in E</math>, e' facile convincersi che<math display="block">F[\alpha] = \{ f(\alpha): \, f(x) \in F[x] \}</math><math display="block">F(\alpha) = \{ f(\alpha) g(\alpha)^{-1}: \, f(x), g(x) \in F[x], \, g(\alpha) \neq 0\}</math>Per caratterizzare ulteriormente l'anello <math>F[\alpha]</math> e il campo <math>F(\alpha)</math> devo distinguere due casi:
<math display="block">F[\alpha] = \{ f(\alpha): \, f(x) \in F[x] \}</math><math display="block">F(\alpha) = \{ f(\alpha) g(\alpha)^{-1}: \, f(x), g(x) \in F[x], \, g(\alpha) \neq 0\}</math>
 
Per caratterizzare ulteriormente l'anello <math>F[\alpha]</math> e il campo <math>F(\alpha)</math> devo distinguere due casi:
 
  
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#<math>\alpha</math> si dice ''algebrico'' su <math>F</math> se esiste un polinomio non nullo in <math>F[x]</math> che ammette <math>\alpha</math> come radice.
 
#<math>\alpha</math> si dice ''algebrico'' su <math>F</math> se esiste un polinomio non nullo in <math>F[x]</math> che ammette <math>\alpha</math> come radice.
 
#<math>\alpha</math> si dice ''trascendente'' su <math>F</math> altrimenti, ovvero se l'unico polinomio di <math>F[x]</math> che si annulla in <math>\alpha</math> è il polinomio nullo.
 
#<math>\alpha</math> si dice ''trascendente'' su <math>F</math> altrimenti, ovvero se l'unico polinomio di <math>F[x]</math> che si annulla in <math>\alpha</math> è il polinomio nullo.
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Indico con <math>\phi_\alpha</math> l'''omomorfismo di valutazione''<math>\colon F[x] \to E</math> tale che <math>g(x) \mapsto g(\alpha)</math>, così l'immagine di <math>\phi_\alpha</math> è <math>F[\alpha]</math> (<math>x</math> una indeterminata su <math>F</math>).
 
Indico con <math>\phi_\alpha</math> l'''omomorfismo di valutazione''<math>\colon F[x] \to E</math> tale che <math>g(x) \mapsto g(\alpha)</math>, così l'immagine di <math>\phi_\alpha</math> è <math>F[\alpha]</math> (<math>x</math> una indeterminata su <math>F</math>).
 
{{FineDefinizione}}
 
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CASO 1: se <math>\alpha</math> è trascendente su <math>F</math>, <math>\ker \phi_\alpha = \{0\}</math>, allora l'omomorfismo di valutazione è iniettivo e <math>F[\alpha] \cong F[x]</math>.
 
CASO 1: se <math>\alpha</math> è trascendente su <math>F</math>, <math>\ker \phi_\alpha = \{0\}</math>, allora l'omomorfismo di valutazione è iniettivo e <math>F[\alpha] \cong F[x]</math>.
 
Inoltre <math>\phi_\alpha</math> si solleva (in modo unico) a un omomorfismo iniettivo, <math>\bar \phi_\alpha : F(x) \to E</math>, tale che <math>\frac{f(x)}{g(x)} \mapsto f(\alpha) g(\alpha)^{-1}</math>, la cui immagine coincide con
 
Inoltre <math>\phi_\alpha</math> si solleva (in modo unico) a un omomorfismo iniettivo, <math>\bar \phi_\alpha : F(x) \to E</math>, tale che <math>\frac{f(x)}{g(x)} \mapsto f(\alpha) g(\alpha)^{-1}</math>, la cui immagine coincide con
 
<math>F(\alpha)</math>.  Abbiamo quindi <math>F(\alpha) \cong F(x)</math> dove <math>F(x)</math> è il campo delle funzioni razionali su <math>F</math>.
 
<math>F(\alpha)</math>.  Abbiamo quindi <math>F(\alpha) \cong F(x)</math> dove <math>F(x)</math> è il campo delle funzioni razionali su <math>F</math>.
 
  
 
CASO 2: se <math>\alpha</math> è algebrico su <math>F</math>, esiste in <math>F[x]</math> un polinomio monico, di grado minimo tra i polinomi non nulli in <math>F[x]</math> che ammettono <math>\alpha</math> come radice.
 
CASO 2: se <math>\alpha</math> è algebrico su <math>F</math>, esiste in <math>F[x]</math> un polinomio monico, di grado minimo tra i polinomi non nulli in <math>F[x]</math> che ammettono <math>\alpha</math> come radice.

Versione attuale delle 15:01, 21 mag 2018

Estensioni di campi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.1

Sia un campo, e un sottoanello di , che è a sua volta un campo. Diciamo che è un'estensione di campi (si scrive anche ). Il campo può essere visto come spazio vettoriale su . La dimensione di come spazio vettoriale su si dice grado dell'estensione, e si indica con .

 


Teorema 1.1 (teorema della torre)

Supponiamo di avere campi con , allora è finito se e solo se sono finiti e . In tal caso: .

 
Dimostrazione

: Supponiamo che sia finito, allora siccome , anche è finito (infatti e' un sottospazio di ). Sia inoltre una base per su . Allora ogni si può scrivere come

per certi , quindi è un insieme finito di generatori per su , e anche è finito.

: Viceversa, siano e , e siano e basi rispettivamente di su e di su . Affermo che è una base per su , infatti:

  1. genera . Prendo , allora siccome gli sono una base per su posso scrivere
    per certi . Inoltre i sono una base di su , quindi per posso scrivere
    e sostituendo nell'espressione di :
    cioè genera .
  2. Gli elementi di sono linearmente indipendenti, infatti supponiamo per assurdo che non lo siano, allora per certi si ha
    Posto la condizione si riscrive come
    e siccome gli sono una base per su , si deve avere , e considerando l'espressione degli , si ha
    Siccome i sono una base per su , l'unica possibilità per cui la condizione sia verificata è che , cioè segue l'indipendenza lineare degli elementi di .
 

Estensioni semplici[modifica | modifica wikitesto]

Sia un'estensione di campi, e sia un sottoinsieme di . Allora indichiamo con il minimo sottoanello di contenente e , cioè al variare di sottoanello di tale che ovvero

Indichiamo invece con il minimo sottocampo di contenente , cioè , al variare di sottocampo di tale che , ovvero
In particolare, quando , il minimo sottoanello e sottocampo si indicano rispettivamente con .

Più in generale, dato , posso scrivere per indicare e per indicare , eliminando le parentesi graffe che racchiudono il contenuto degli insiemi.

Elementi algebrici e trascendenti[modifica | modifica wikitesto]

Sia , e' facile convincersi che

Per caratterizzare ulteriormente l'anello e il campo devo distinguere due casi:

Definizione 1.2
  1. si dice algebrico su se esiste un polinomio non nullo in che ammette come radice.
  2. si dice trascendente su altrimenti, ovvero se l'unico polinomio di che si annulla in è il polinomio nullo.
 


Definizione 1.3

Indico con l'omomorfismo di valutazione tale che , così l'immagine di è ( una indeterminata su ).

 

CASO 1: se è trascendente su , , allora l'omomorfismo di valutazione è iniettivo e . Inoltre si solleva (in modo unico) a un omomorfismo iniettivo, , tale che , la cui immagine coincide con . Abbiamo quindi dove è il campo delle funzioni razionali su .

CASO 2: se è algebrico su , esiste in un polinomio monico, di grado minimo tra i polinomi non nulli in che ammettono come radice. Dalla definizione segue subito che è unico e irriducibile in , e viene chiamato il polinomio minimo di e indicato con . Osservo che coincide con l'ideale generato da , e quindi . Il polinomio è irriducibile e quindi è massimale in , allora è un campo, e quindi deduco che .

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