Lemma di Zorn e relative applicazioni

Definizione 1.5

Sia un insieme parzialmente ordinato, allora una catena è un sottoinsieme di che sia totalmente ordinato, cioè dati , o .

 


Definizione 1.6

Un maggiorante per in è un elemento tale che per ogni , .

 



Lemma di Zorn: Sia un insieme non vuoto parzialmente ordinato. Se ogni catena in ammette un maggiorante in allora ha almeno un elemento massimale.

Applicazione 1 esistenza di un ideale massimale

Usando il lemma di Zorn possiamo provare il seguente

Lemma 1.1

Sia un anello non banale (commutativo e unitario), allora ha almeno un ideale massimale.

 
Dimostrazione

Prendo l'insieme di tutti gli ideali propri di cioè . Per poter applicare il lemma di Zorn, voglio mostrare che ogni catena in questo insieme ha un maggiorante.


Osservo che è non vuoto perché contiene l'ideale banale ridotto al solo 0.


Ordiniamo rispetto all'inclusione, cioè stabiliamo che dati due elementi , se .


Sia una catena in . Chiamo e mostro che è un elemento di :

  • è un ideale dell'anello, mostro ad esempio la chiusura rispetto alla differenza: prendo , allora esisteranno indici tali che . Siccome sto considerando una catena, oppure , diciamo che . Allora , e siccome è un ideale, è chiuso rispetto alla differenza e , quindi .
  • è un ideale proprio, infatti, poiché , non può stare in .

Di conseguenza è un maggiorante per la catena considerata, e posso applicare il lemma di Zorn, quindi ha un elemento massimale.

 


Osservazione 1.2

Non si può ripetere lo stesso ragionamento per dimostrare che ogni gruppo ha un sottogruppo massimale (il ragionamento precedente non vale perché, mentre negli anelli esistono due elementi "speciali", 0 e 1, nei gruppi se ne ha solo uno).

 


Lemma 1.2 (generalizzazione)

Sia un anello (commutativo e unitario), e un ideale di con proprio, allora esiste un ideale massimale di che contiene .

 
Dimostrazione

Per la dimostrazione basta ripetere il procedimento precedente, considerando l'insieme degli ideali propri di tali che e .

 

Applicazione 2 basi in spazi vettoriali

Utilizzando il lemma di Zorn si mostra che ogni spazio vettoriale ammette una base.


Lemma 1.3

Sia uno spazio vettoriale sul campo , sia un insieme di generatori per su e un insieme linearmente indipendente. Allora esiste una base di con .

 
Dimostrazione

Sia Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \Sigma = \{T \, t.c. \, S \subseteq T \subseteq \Gamma, \quad T \textrm{\;\'e linearmente indipendente} \}.} Si ha che perché contiene almeno .


Considero poi una catena in , . Chiamo . Allora perché , inoltre è linearmente indipendente, quindi ed è un maggiorante per la catena.


Per il lemma di Zorn, ammette almeno un elemento massimale , e sia il sottospazio generato da sopra . Voglio mostrare che e quindi che è una base.


Supponiamo per assurdo che , allora esisterà tale che .


Considero , voglio mostrare che , infatti se questo avviene ho una contraddizione perché per i punti precedenti, è massimale.


Mostro che è linearmente indipendente. Suppongo di avere una combinazione lineare

con . Allora necessariamente , infatti, se così non fosse, si avrebbe
cioè si avrebbe , contro l'ipotesi.


Quindi la formula si riscrive come

ma siccome gli elementi di sono linearmente indipendenti, necessariamente . Questo mostra che è un elemento di contro la massimalità di , rimane allora provato che .

 
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