Chiusura algebrica di un campo

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==Osservazioni introduttive==
 
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Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> elementi algebrici su <math>K</math>. Posso quindi considerare l'estensione <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \supseteq K</math>, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.
 
Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> elementi algebrici su <math>K</math>. Posso quindi considerare l'estensione <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \supseteq K</math>, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.
 
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Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e suppongo che <math>M\supseteq L</math>  e <math>L\supseteq K</math> siano algebriche.
 
Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e suppongo che <math>M\supseteq L</math>  e <math>L\supseteq K</math> siano algebriche.
 
Allora anche <math>M \supseteq K</math> è algebrica.
 
Allora anche <math>M \supseteq K</math> è algebrica.
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Vale anche il viceversa: se <math>M \supseteq K</math> è algebrica, allora anche <math>M \supseteq L</math> e <math>L \supseteq K</math> sono algebriche.
 
Vale anche il viceversa: se <math>M \supseteq K</math> è algebrica, allora anche <math>M \supseteq L</math> e <math>L \supseteq K</math> sono algebriche.
 
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==Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso==
 
==Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso==
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Un campo <math>K</math> si dice ''algebricamente chiuso'' se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:
 
Un campo <math>K</math> si dice ''algebricamente chiuso'' se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:
  
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==Esistenza di una chiusura algebrica==
 
==Esistenza di una chiusura algebrica==
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Dato un campo <math>K</math>, un campo <math>\bar K \supset K</math> si dice una ''chiusura algebrica'' di <math>K</math> se
 
Dato un campo <math>K</math>, un campo <math>\bar K \supset K</math> si dice una ''chiusura algebrica'' di <math>K</math> se
  
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Sia <math>K</math> un campo, allora esiste un campo <math>L</math> che estende <math>K</math>, con <math>L</math> algebricamente chiuso.
 
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Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:{{InizioTeorema|titolo=|number=1.3|anchor=Teorema1_3}}
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Si può considerare ad esempio il caso in cui <math>K=\mathbb Q</math>, <math>L=\mathbb C</math> e
 
Si può considerare ad esempio il caso in cui <math>K=\mathbb Q</math>, <math>L=\mathbb C</math> e
 
<math display="block">\bar K = \{ \alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha\, algebrico\, su\, \mathbb Q\}.</math>Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che <math>|\bar K:\mathbb Q| = m<\infty</math>, allora ogni elemento di <math>\bar K</math> dovrebbe avere polinomio minimo di grado <math>\le m</math>. Se <math>p</math> è primo e <math>n \ge 1</math>, l'elemento <math>\sqrt[n]{p}</math> è radice del polinomio <math>x^n-p</math>, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi <math>\sqrt[n]{p}</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math> (pertanto e' un elemento di <math>\bar K</math>) con polinomio minimo (su <math>\mathbb Q</math>) <math>x^n-p</math>. Dall'arbitrarietà di <math>n</math> si ha l'assurdo.
 
<math display="block">\bar K = \{ \alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha\, algebrico\, su\, \mathbb Q\}.</math>Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che <math>|\bar K:\mathbb Q| = m<\infty</math>, allora ogni elemento di <math>\bar K</math> dovrebbe avere polinomio minimo di grado <math>\le m</math>. Se <math>p</math> è primo e <math>n \ge 1</math>, l'elemento <math>\sqrt[n]{p}</math> è radice del polinomio <math>x^n-p</math>, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi <math>\sqrt[n]{p}</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math> (pertanto e' un elemento di <math>\bar K</math>) con polinomio minimo (su <math>\mathbb Q</math>) <math>x^n-p</math>. Dall'arbitrarietà di <math>n</math> si ha l'assurdo.
 
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Versione attuale delle 14:50, 21 mag 2018

Osservazioni introduttive[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 1.3

Sia un campo, e siano elementi algebrici su . Posso quindi considerare l'estensione , allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.

 
Dimostrazione

Ho una successione di estensioni semplici di grado finito: , e applicando il teorema del grado anche è finito.

 


Osservazione 1.4 (transitività delle estensioni algebriche)

Siano estensioni di campi, e suppongo che e siano algebriche. Allora anche è algebrica.

 
Dimostrazione

Prendo , allora è algebrico su e posso considerare il polinomio minimo di in , esso è della forma:

Essendo algebrica, ciascun è algebrico su . Considero che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni .

come estensione di è di grado finito, e lo stesso vale per , allora per il teorema della torre è di grado finito e quindi è algebrica. In particolare è algebrico su .

 


Osservazione 1.5

Vale anche il viceversa: se è algebrica, allora anche e sono algebriche.

 
Dimostrazione

Sia , allora siccome è algebrica, esiste tale che . può essere considerato anche come polinomio a coefficienti in , e quindi è algebrica. Inoltre, se ogni è algebrico su , a maggior ragione ogni è algebrico su , cioè è algebrica.

 

Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.7

Un campo si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:

  1. ogni polinomio non costante ammette almeno una radice in .
  2. ogni polinomio non costante ammette tutte le sue radici in .
  3. ogni polinomio si spezza in fattori lineari in .
  4. i soli polinomi irriducibili in sono i polinomi di primo grado.
  5. non ammette estensioni algebriche proprie.
 

Esistenza di una chiusura algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.8

Dato un campo , un campo si dice una chiusura algebrica di se

  1. è algebricamente chiuso
  2. è un'estensione algebrica.
 


Teorema 1.2

Sia un campo, allora esiste un campo che estende , con algebricamente chiuso.

 
Dimostrazione

Considero la famiglia di tutti i polinomi di grado . Considero un insieme di indeterminate indicizzate sugli elementi della famiglia , cioè

e considero l'anello dei polinomi .
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia un insieme di indeterminate, allora cioe' l'anello dei polinomi contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di ).

Sia l'ideale generato dagli elementi al variare di . Affermo che è un ideale proprio dell'anello . Per assurdo, suppongo che , allora

dove , e dove sono polinomi in , con
Considero un'estensione finita in cui ciascun polinomio ammette una radice .

L'uguaglianza può essere considerata in , e sostituendo con , con , , con e con per nella formula , ottengo che , assurdo.

Allora è un ideale proprio, e quindi esiste in un ideale massimale che contiene per la conseguenza del lemma di Zorn.

Pongo , siccome è un ideale massimale, è un campo che estende . Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in ammette una radice in (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).

Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: .

Chiamo e affermo che è un campo: infatti, dati , esistono indici tali che . Supponiamo , allora , è un campo, allora quindi . Analogamente e appartengono a .

Sappiamo inoltre che , e mostriamo che è algebricamente chiuso.

Considero un polinomio a coefficienti in , allora ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice tale che . Per costruzione dato un polinomio non costante a coefficienti in , esso ammette una radice in , allora anche ammette una radice in , quindi è algebricamente chiuso.

 
Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:
Teorema 1.3

Sia un campo, allora esiste una chiusura algebrica di .

 
Dimostrazione

Per il teorema precedente esiste un campo che è algebricamente chiuso. Allora considero

Mostro che è un campo: siano , allora è algebrico su , quindi , inoltre è algebrico su , quindi anche su allora . Dal teorema della torre segue che l'estensione è di grado finito, in quanto , ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi sono contenuti in , e quindi sono algebrici su , quindi per definizione stanno in che è un campo.

Inoltre, è un'estensione algebrica di , infatti

Rimane da mostrare che è algebricamente chiuso. Considero un polinomio non costante a coefficienti in , con . Siccome , ha coefficienti in , ma è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice di in , cioè .

Ora considero la catena di estensioni , allora come estensione di è algebrica per il punto precedente, e come estensione di è algebrica perché è radice di un polinomio a coefficienti in . Per la transitività delle estensioni algebriche,

è algebrica, quindi è algebrico su , e quindi sta in , che è algebricamente chiuso.
 


Esempio 1.1

Si può considerare ad esempio il caso in cui , e

Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che , allora ogni elemento di dovrebbe avere polinomio minimo di grado . Se è primo e , l'elemento è radice del polinomio , che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi è algebrico su (pertanto e' un elemento di ) con polinomio minimo (su ) . Dall'arbitrarietà di si ha l'assurdo.

 
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