Chiusura algebrica di un campo

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==Osservazioni introduttive==
 
==Osservazioni introduttive==
{{InizioOsservazione|titolo=|number=1.3|anchor=Osservazione1_3}}
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{{InizioOsservazione|title=|number=1.3|anchor=Osservazione1_3}}
 
Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> elementi algebrici su <math>K</math>. Posso quindi considerare l'estensione <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \supseteq K</math>, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.
 
Sia <math>K</math> un campo, e siano <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n</math> elementi algebrici su <math>K</math>. Posso quindi considerare l'estensione <math>K(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \supseteq K</math>, allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.
 
{{FineOsservazione}}
 
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{{InizioOsservazione|titolo= transitività delle estensioni algebriche|number=1.4|anchor=Osservazione1_4}}
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Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e suppongo che <math>M\supseteq L</math>  e <math>L\supseteq K</math> siano algebriche.
 
Siano <math>K \subseteq L \subseteq M</math> estensioni di campi, e suppongo che <math>M\supseteq L</math>  e <math>L\supseteq K</math> siano algebriche.
 
Allora anche <math>M \supseteq K</math> è algebrica.
 
Allora anche <math>M \supseteq K</math> è algebrica.
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{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Prendo <math>\alpha \in M</math>, allora <math>\alpha</math> è algebrico su <math>L</math> e posso considerare il polinomio minimo <math>f(x)</math> di <math>\alpha</math> in <math>L[x]</math>, esso è della forma:
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Prendo <math>\alpha \in M</math>, allora <math>\alpha</math> è algebrico su <math>L</math> e posso considerare il polinomio minimo <math>f(x)</math> di <math>\alpha</math> in <math>L[x]</math>, esso è della forma:<math display="block">f(x) = x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0, \, a_i \in L</math>Essendo <math>L\supseteq K</math> algebrica, ciascun <math>a_i</math> è algebrico su <math>K</math>. Considero <math>K_0=K(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})</math> che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni
<math display="block">f(x) = x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0, \, a_i \in L</math>
 
Essendo <math>L\supseteq K</math> algebrica, ciascun <math>a_i</math> è algebrico su <math>K</math>. Considero <math>K_0=K(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})</math> che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni
 
 
<math>K_0(\alpha) \supseteq K_0 \supseteq K</math>.
 
<math>K_0(\alpha) \supseteq K_0 \supseteq K</math>.
 
  
 
<math>K_0(\alpha)</math> come estensione di <math>K_0</math> è di grado finito, e lo stesso vale per <math>K_0 \supseteq K</math>, allora per il teorema della torre <math>K_0(\alpha) \supseteq K</math> è di grado finito
 
<math>K_0(\alpha)</math> come estensione di <math>K_0</math> è di grado finito, e lo stesso vale per <math>K_0 \supseteq K</math>, allora per il teorema della torre <math>K_0(\alpha) \supseteq K</math> è di grado finito
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Vale anche il viceversa: se <math>M \supseteq K</math> è algebrica, allora anche <math>M \supseteq L</math> e <math>L \supseteq K</math> sono algebriche.
 
Vale anche il viceversa: se <math>M \supseteq K</math> è algebrica, allora anche <math>M \supseteq L</math> e <math>L \supseteq K</math> sono algebriche.
 
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==Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso==
 
==Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso==
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Un campo <math>K</math> si dice ''algebricamente chiuso'' se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:
 
Un campo <math>K</math> si dice ''algebricamente chiuso'' se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:
  
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==Esistenza di una chiusura algebrica==
 
==Esistenza di una chiusura algebrica==
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Dato un campo <math>K</math>, un campo <math>\bar K \supset K</math> si dice una ''chiusura algebrica'' di <math>K</math> se
 
Dato un campo <math>K</math>, un campo <math>\bar K \supset K</math> si dice una ''chiusura algebrica'' di <math>K</math> se
  
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Sia <math>K</math> un campo, allora esiste un campo <math>L</math> che estende <math>K</math>, con <math>L</math> algebricamente chiuso.
 
Sia <math>K</math> un campo, allora esiste un campo <math>L</math> che estende <math>K</math>, con <math>L</math> algebricamente chiuso.
 
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{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Considero la famiglia <math>\mathcal F</math> di tutti i polinomi <math>f(x) \in K[x]</math> di grado <math>\ge 1</math>. Considero un insieme di indeterminate <math>\mathcal X</math> indicizzate sugli elementi della famiglia <math>\mathcal F</math>, cioè
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Considero la famiglia <math>\mathcal F</math> di tutti i polinomi <math>f(x) \in K[x]</math> di grado <math>\ge 1</math>. Considero un insieme di indeterminate <math>\mathcal X</math> indicizzate sugli elementi della famiglia <math>\mathcal F</math>, cioè<math display="block">\mathcal X = \{ x_f, \, f \in \mathcal F\}</math>e considero l'anello dei polinomi <math>K[\mathcal X]</math>.<br>
<math display="block">\mathcal X = \{ x_f, \, f \in \mathcal F\}</math>
 
e considero l'anello dei polinomi <math>K[\mathcal X]</math>.
 
 
 
 
 
 
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia <math>Y = \{ y_i \}_{i \ge 1}</math> un insieme di indeterminate, allora <math>K[Y] = \{f(y_{t_1}, y_{t_2}, \dots, y_{t_r}) : r \geq 1\}</math> cioe' l'anello
 
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia <math>Y = \{ y_i \}_{i \ge 1}</math> un insieme di indeterminate, allora <math>K[Y] = \{f(y_{t_1}, y_{t_2}, \dots, y_{t_r}) : r \geq 1\}</math> cioe' l'anello
 
dei polinomi <math>K[Y]</math> contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di <math>Y</math>).
 
dei polinomi <math>K[Y]</math> contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di <math>Y</math>).
 
  
 
Sia <math>I</math> l'ideale generato dagli elementi <math>f(x_f)</math> al variare di <math>f \in \mathcal F</math>. '''Affermo che <math>I</math> è un ideale proprio dell'anello <math>K[\mathcal X]</math>'''. Per assurdo, suppongo che <math>1 \in I</math>, allora
 
Sia <math>I</math> l'ideale generato dagli elementi <math>f(x_f)</math> al variare di <math>f \in \mathcal F</math>. '''Affermo che <math>I</math> è un ideale proprio dell'anello <math>K[\mathcal X]</math>'''. Per assurdo, suppongo che <math>1 \in I</math>, allora
<math display="block">1 = g_1*f_1(x_1) +g_2*f_2(x_2)+\dots + g_n*f_n(x_n), \textrm{ formula } \star</math>
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<math display="block">1 = g_1*f_1(x_1) +g_2*f_2(x_2)+\dots + g_n*f_n(x_n), \textrm{ formula } \star</math>dove <math>x_i = x_{f_i}</math>, e dove <math>g_1,\dots,g_n</math> sono polinomi in <math>K[\mathcal X]</math>, con<math display="block">g_i=g_i(x_1,x_2,\ldots, x_{M}) \quad (M \geq n)</math>Considero un'estensione finita <math>K_1 \supseteq K</math> in cui ciascun polinomio <math>f_i</math> ammette una radice <math>\alpha_i</math>.
dove <math>x_i = x_{f_i}</math>, e dove <math>g_1,\dots,g_n</math> sono polinomi in <math>K[\mathcal X]</math>, con
 
<math display="block">g_i=g_i(x_1,x_2,\ldots, x_{M}) \quad (M \geq n)</math>
 
 
 
Considero un'estensione finita <math>K_1 \supseteq K</math> in cui ciascun polinomio <math>f_i</math> ammette una radice <math>\alpha_i</math>.
 
 
 
  
 
L'uguaglianza <math>\star</math> può essere considerata in <math>K_1[\mathcal X]</math>, e sostituendo <math>x_1</math> con <math>\alpha_1</math>, <math>x_2</math>  con <math>\alpha_2</math>, <math>\dots</math>, <math>x_n</math> con <math>\alpha_n</math>  e <math>x_{i}</math> con <math>0</math> per <math>i>n</math> nella formula <math>\star</math>, ottengo che <math>1=0</math>, assurdo.
 
L'uguaglianza <math>\star</math> può essere considerata in <math>K_1[\mathcal X]</math>, e sostituendo <math>x_1</math> con <math>\alpha_1</math>, <math>x_2</math>  con <math>\alpha_2</math>, <math>\dots</math>, <math>x_n</math> con <math>\alpha_n</math>  e <math>x_{i}</math> con <math>0</math> per <math>i>n</math> nella formula <math>\star</math>, ottengo che <math>1=0</math>, assurdo.
 
  
 
Allora <math>I</math> è un ideale proprio, e quindi esiste in <math>K[\mathcal X]</math> un ideale massimale <math>M</math> che contiene <math>I</math> per la conseguenza del lemma di Zorn.
 
Allora <math>I</math> è un ideale proprio, e quindi esiste in <math>K[\mathcal X]</math> un ideale massimale <math>M</math> che contiene <math>I</math> per la conseguenza del lemma di Zorn.
 
  
 
Pongo <math>L_1 = \frac{K[\mathcal X]}{M}</math>, siccome <math>M</math> è un ideale massimale, <math>L_1</math>  è un campo che estende <math>K</math>. Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in <math>K</math> ammette una radice in <math>L_1</math> (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).
 
Pongo <math>L_1 = \frac{K[\mathcal X]}{M}</math>, siccome <math>M</math> è un ideale massimale, <math>L_1</math>  è un campo che estende <math>K</math>. Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in <math>K</math> ammette una radice in <math>L_1</math> (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).
 
  
 
Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: <math>L_0 = K \subset L_1 \subset L_2 \subseteq \dots \subseteq L_{n-1} \subseteq L_n \subseteq \ldots</math>.
 
Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: <math>L_0 = K \subset L_1 \subset L_2 \subseteq \dots \subseteq L_{n-1} \subseteq L_n \subseteq \ldots</math>.
 
  
 
Chiamo <math>L=\bigcup_{k \ge 0} L_k</math> e '''affermo che <math>L</math> è un campo''': infatti, dati <math>\alpha,\beta \in L</math>,  esistono indici <math>h,k</math> tali che <math>\alpha \in L_k, \beta \in L_h</math>.
 
Chiamo <math>L=\bigcup_{k \ge 0} L_k</math> e '''affermo che <math>L</math> è un campo''': infatti, dati <math>\alpha,\beta \in L</math>,  esistono indici <math>h,k</math> tali che <math>\alpha \in L_k, \beta \in L_h</math>.
 
Supponiamo <math>L_k \subseteq L_h</math>, allora <math>\alpha,\beta \in L_h</math>, <math>L_h</math> è un campo, allora <math>\alpha+\beta \in L_h</math> quindi <math>\alpha+\beta \in L</math>. Analogamente <math>\alpha \beta</math> e <math>\alpha \beta^{-1}</math> appartengono a <math>L</math>.
 
Supponiamo <math>L_k \subseteq L_h</math>, allora <math>\alpha,\beta \in L_h</math>, <math>L_h</math> è un campo, allora <math>\alpha+\beta \in L_h</math> quindi <math>\alpha+\beta \in L</math>. Analogamente <math>\alpha \beta</math> e <math>\alpha \beta^{-1}</math> appartengono a <math>L</math>.
 
  
 
Sappiamo inoltre che <math>K \subseteq L</math>, e '''mostriamo che <math>L</math> è algebricamente chiuso'''.
 
Sappiamo inoltre che <math>K \subseteq L</math>, e '''mostriamo che <math>L</math> è algebricamente chiuso'''.
 
  
 
Considero <math>f</math> un polinomio a coefficienti in <math>L</math>, allora <math>f</math> ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice <math>n</math> tale che <math>f \in L_n[x]</math>.
 
Considero <math>f</math> un polinomio a coefficienti in <math>L</math>, allora <math>f</math> ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice <math>n</math> tale che <math>f \in L_n[x]</math>.
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Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:{{InizioTeorema|title=|number=1.3|anchor=Teorema1_3}}
Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:
 
 
 
 
 
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Sia <math>K</math> un campo, allora esiste una chiusura algebrica di <math>K</math>.
 
Sia <math>K</math> un campo, allora esiste una chiusura algebrica di <math>K</math>.
 
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Per il teorema precedente esiste un campo <math>L \supseteq K</math> che è algebricamente chiuso. Allora considero <math display="block">\bar K = \{ \alpha \in L \, t.c. \, \alpha \textrm{ è algebrico su } K\}</math>
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Per il teorema precedente esiste un campo <math>L \supseteq K</math> che è algebricamente chiuso. Allora considero <math display="block">\bar K = \{ \alpha \in L \, t.c. \, \alpha\, algebrico\, su\, K\}</math>'''Mostro che <math>\bar K</math> è un campo''': siano <math>\alpha,\beta \in \bar K</math>, allora <math>\alpha</math> è algebrico su <math>K</math>, quindi <math>|K(\alpha):K|<\infty</math>, inoltre <math>\beta</math> è algebrico su <math>K</math>,
 
 
'''Mostro che <math>\bar K</math> è un campo''': siano <math>\alpha,\beta \in \bar K</math>, allora <math>\alpha</math> è algebrico su <math>K</math>, quindi <math>|K(\alpha):K|<\infty</math>, inoltre <math>\beta</math> è algebrico su <math>K</math>,
 
 
quindi anche su <math>K(\alpha)</math> allora <math>|K(\alpha,\beta):K(\alpha)|<\infty</math>. Dal teorema della torre segue che l'estensione <math>K(\alpha,\beta) \supseteq K</math> è di grado finito, in quanto <math>|K(\alpha,\beta):K| = |K(\alpha,\beta):K(\alpha)|*|K(\alpha):K|<\infty</math>, ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi <math>\alpha \pm \beta, \, \alpha \beta, \, \alpha \beta^{-1}</math> sono contenuti in <math>K(\alpha,\beta)</math>, e quindi sono algebrici su <math>K</math>, quindi per definizione stanno in  <math>\bar K</math> che è un campo.
 
quindi anche su <math>K(\alpha)</math> allora <math>|K(\alpha,\beta):K(\alpha)|<\infty</math>. Dal teorema della torre segue che l'estensione <math>K(\alpha,\beta) \supseteq K</math> è di grado finito, in quanto <math>|K(\alpha,\beta):K| = |K(\alpha,\beta):K(\alpha)|*|K(\alpha):K|<\infty</math>, ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi <math>\alpha \pm \beta, \, \alpha \beta, \, \alpha \beta^{-1}</math> sono contenuti in <math>K(\alpha,\beta)</math>, e quindi sono algebrici su <math>K</math>, quindi per definizione stanno in  <math>\bar K</math> che è un campo.
  
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Inoltre, '''<math>\bar K</math> è un'estensione algebrica di <math>K</math>''', infatti<math display="block">\bar K = \{\alpha \in L \, t.c. \, \alpha \,algebrico\, su\, K \}</math>Rimane da mostrare che '''<math>\bar K</math> è algebricamente chiuso'''. Considero un polinomio non costante a coefficienti in <math>\bar K</math>, con <math>\rm{gr}(f(x)) \ge 1</math>.
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Siccome <math>\bar K \subseteq L</math>, <math>f</math> ha coefficienti in <math>L</math>, ma <math>L</math> è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice <math>\beta</math> di <math>f(x)</math> in <math>L</math>, cioè <math>f(\beta)=0</math>.
  
Inoltre, '''<math>\bar K</math> è un'estensione algebrica di <math>K</math>''', infatti
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Ora considero la catena di estensioni <math>\bar K(\beta) \supseteq \bar K \supseteq K</math>, allora <math>\bar K</math> come estensione di <math>K</math> è algebrica per il punto precedente, e <math>\bar K(\beta)</math> come estensione di <math>\bar K</math> è algebrica perché <math>\beta</math> è radice di un polinomio a coefficienti in <math>\bar K</math>. Per la transitività delle estensioni algebriche,
<math display="block">\bar K = \{\alpha \in L \, t.c. \, \alpha \textrm{è algebrico su} K \}</math>
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<math>\bar K(\beta) \supseteq K</math> è algebrica, quindi <math>\beta</math> è algebrico su <math>K</math>, e quindi sta in <math>\bar K</math>, che è algebricamente chiuso.{{FineDimostrazione}}
 
 
Rimane da mostrare che '''<math>\bar K</math> è algebricamente chiuso'''. Considero un polinomio non costante a coefficienti in <math>\bar K</math>, con <math>\rm{gr}(f(x)) \ge 1</math>.
 
Siccome <math>\bar K \subseteq L</math>, <math>f</math> ha coefficienti in <math>L</math>, ma <math>L</math> è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice <math>\beta</math> di <math>f(x)</math> in <math>L</math>, cioè <math>f(\beta)=0</math>.
 
Ora considero la catena di estensioni <math>\bar K(\beta) \supseteq \bar K \supseteq K</math>, allora <math>\bar K</math> come estensione di <math>K</math> è algebrica per il punto precedente, e
 
<math>\bar K(\beta)</math> come estensione di <math>\bar K</math> è algebrica perché <math>\beta</math> è radice di un polinomio a coefficienti in <math>\bar K</math>. Per la transitività delle estensioni algebriche,
 
<math>\bar K(\beta) \supseteq K</math> è algebrica, quindi <math>\beta</math> è algebrico su <math>K</math>, e quindi sta in <math>\bar K</math>, che è algebricamente chiuso.
 
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Si può considerare ad esempio il caso in cui <math>K=\mathbb Q</math>, <math>L=\mathbb C</math> e
 
Si può considerare ad esempio il caso in cui <math>K=\mathbb Q</math>, <math>L=\mathbb C</math> e
<math display="block">\bar K = \{ \alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha \textrm{ è algebrico su } \mathbb Q\}.</math>
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<math display="block">\bar K = \{ \alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha\, algebrico\, su\, \mathbb Q\}.</math>Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che <math>|\bar K:\mathbb Q| = m<\infty</math>, allora ogni elemento di <math>\bar K</math> dovrebbe avere polinomio minimo di grado <math>\le m</math>. Se <math>p</math> è primo e <math>n \ge 1</math>, l'elemento <math>\sqrt[n]{p}</math> è radice del polinomio <math>x^n-p</math>, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi <math>\sqrt[n]{p}</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math> (pertanto e' un elemento di <math>\bar K</math>) con polinomio minimo (su <math>\mathbb Q</math>) <math>x^n-p</math>. Dall'arbitrarietà di <math>n</math> si ha l'assurdo.
Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che <math>|\bar K:\mathbb Q| = m<\infty</math>, allora ogni elemento di <math>\bar K</math> dovrebbe avere polinomio minimo di grado <math>\le m</math>. Se <math>p</math> è primo e <math>n \ge 1</math>, l'elemento <math>\sqrt[n]{p}</math> è radice del polinomio <math>x^n-p</math>, che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi <math>\sqrt[n]{p}</math> è algebrico su <math>\mathbb Q</math> (pertanto e' un elemento di <math>\bar K</math>) con polinomio minimo (su <math>\mathbb Q</math>) <math>x^n-p</math>. Dall'arbitrarietà di <math>n</math> si ha l'assurdo.
 
 
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Versione attuale delle 14:50, 21 mag 2018

Osservazioni introduttive[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 1.3

Sia un campo, e siano elementi algebrici su . Posso quindi considerare l'estensione , allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.

 
Dimostrazione

Ho una successione di estensioni semplici di grado finito: , e applicando il teorema del grado anche è finito.

 


Osservazione 1.4 (transitività delle estensioni algebriche)

Siano estensioni di campi, e suppongo che e siano algebriche. Allora anche è algebrica.

 
Dimostrazione

Prendo , allora è algebrico su e posso considerare il polinomio minimo di in , esso è della forma:

Essendo algebrica, ciascun è algebrico su . Considero che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni .

come estensione di è di grado finito, e lo stesso vale per , allora per il teorema della torre è di grado finito e quindi è algebrica. In particolare è algebrico su .

 


Osservazione 1.5

Vale anche il viceversa: se è algebrica, allora anche e sono algebriche.

 
Dimostrazione

Sia , allora siccome è algebrica, esiste tale che . può essere considerato anche come polinomio a coefficienti in , e quindi è algebrica. Inoltre, se ogni è algebrico su , a maggior ragione ogni è algebrico su , cioè è algebrica.

 

Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.7

Un campo si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:

  1. ogni polinomio non costante ammette almeno una radice in .
  2. ogni polinomio non costante ammette tutte le sue radici in .
  3. ogni polinomio si spezza in fattori lineari in .
  4. i soli polinomi irriducibili in sono i polinomi di primo grado.
  5. non ammette estensioni algebriche proprie.
 

Esistenza di una chiusura algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.8

Dato un campo , un campo si dice una chiusura algebrica di se

  1. è algebricamente chiuso
  2. è un'estensione algebrica.
 


Teorema 1.2

Sia un campo, allora esiste un campo che estende , con algebricamente chiuso.

 
Dimostrazione

Considero la famiglia di tutti i polinomi di grado . Considero un insieme di indeterminate indicizzate sugli elementi della famiglia , cioè

e considero l'anello dei polinomi .
(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia un insieme di indeterminate, allora cioe' l'anello dei polinomi contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di ).

Sia l'ideale generato dagli elementi al variare di . Affermo che è un ideale proprio dell'anello . Per assurdo, suppongo che , allora

dove , e dove sono polinomi in , con
Considero un'estensione finita in cui ciascun polinomio ammette una radice .

L'uguaglianza può essere considerata in , e sostituendo con , con , , con e con per nella formula , ottengo che , assurdo.

Allora è un ideale proprio, e quindi esiste in un ideale massimale che contiene per la conseguenza del lemma di Zorn.

Pongo , siccome è un ideale massimale, è un campo che estende . Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in ammette una radice in (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).

Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: .

Chiamo e affermo che è un campo: infatti, dati , esistono indici tali che . Supponiamo , allora , è un campo, allora quindi . Analogamente e appartengono a .

Sappiamo inoltre che , e mostriamo che è algebricamente chiuso.

Considero un polinomio a coefficienti in , allora ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice tale che . Per costruzione dato un polinomio non costante a coefficienti in , esso ammette una radice in , allora anche ammette una radice in , quindi è algebricamente chiuso.

 
Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:
Teorema 1.3

Sia un campo, allora esiste una chiusura algebrica di .

 
Dimostrazione

Per il teorema precedente esiste un campo che è algebricamente chiuso. Allora considero

Mostro che è un campo: siano , allora è algebrico su , quindi , inoltre è algebrico su , quindi anche su allora . Dal teorema della torre segue che l'estensione è di grado finito, in quanto , ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi sono contenuti in , e quindi sono algebrici su , quindi per definizione stanno in che è un campo.

Inoltre, è un'estensione algebrica di , infatti

Rimane da mostrare che è algebricamente chiuso. Considero un polinomio non costante a coefficienti in , con . Siccome , ha coefficienti in , ma è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice di in , cioè .

Ora considero la catena di estensioni , allora come estensione di è algebrica per il punto precedente, e come estensione di è algebrica perché è radice di un polinomio a coefficienti in . Per la transitività delle estensioni algebriche,

è algebrica, quindi è algebrico su , e quindi sta in , che è algebricamente chiuso.
 


Esempio 1.1

Si può considerare ad esempio il caso in cui , e

Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che , allora ogni elemento di dovrebbe avere polinomio minimo di grado . Se è primo e , l'elemento è radice del polinomio , che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi è algebrico su (pertanto e' un elemento di ) con polinomio minimo (su ) . Dall'arbitrarietà di si ha l'assurdo.

 
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