Chiusura algebrica di un campo

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Versione delle 15:02, 22 set 2017

Osservazioni introduttive

Osservazione 1.3

Sia un campo, e siano elementi algebrici su . Posso quindi considerare l'estensione , allora quest'estensione ha grado finito e quindi è algebrica.

 
Dimostrazione

Ho una successione di estensioni semplici di grado finito: , e applicando il teorema del grado anche è finito.

 


Osservazione 1.4

Siano estensioni di campi, e suppongo che e siano algebriche. Allora anche è algebrica.

 
Dimostrazione

Prendo , allora è algebrico su e posso considerare il polinomio minimo di in , esso è della forma:

Essendo algebrica, ciascun è algebrico su . Considero che per l'osservazione precedente ha grado finito, e considero la catena di estensioni .


come estensione di è di grado finito, e lo stesso vale per , allora per il teorema della torre è di grado finito e quindi è algebrica. In particolare è algebrico su .

 


Osservazione 1.5

Vale anche il viceversa: se è algebrica, allora anche e sono algebriche.

 
Dimostrazione

Sia , allora siccome è algebrica, esiste tale che . può essere considerato anche come polinomio a coefficienti in , e quindi è algebrica. Inoltre, se ogni è algebrico su , a maggior ragione ogni è algebrico su , cioè è algebrica.

 

Chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso

Definizione 1.7

Un campo si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni equivalenti tra loro:

  1. ogni polinomio non costante ammette almeno una radice in .
  2. ogni polinomio non costante ammette tutte le sue radici in .
  3. ogni polinomio si spezza in fattori lineari in .
  4. i soli polinomi irriducibili in sono i polinomi di primo grado.
  5. non ammette estensioni algebriche proprie.
 

Esistenza di una chiusura algebrica

Definizione 1.8

Dato un campo , un campo si dice una chiusura algebrica di se

  1. è algebricamente chiuso
  2. è un'estensione algebrica.
 


Teorema 1.2

Sia un campo, allora esiste un campo che estende , con algebricamente chiuso.

 
Dimostrazione

Considero la famiglia di tutti i polinomi di grado . Considero un insieme di indeterminate indicizzate sugli elementi della famiglia , cioè

e considero l'anello dei polinomi .


(Nota sugli anelli di polinomi in infinite indeterminate: sia un insieme di indeterminate, allora cioe' l'anello dei polinomi contiene polinomi in un numero finito ma arbitrario di variabili di ).


Sia l'ideale generato dagli elementi al variare di . Affermo che è un ideale proprio dell'anello . Per assurdo, suppongo che , allora

dove , e dove sono polinomi in , con

Considero un'estensione finita in cui ciascun polinomio ammette una radice .


L'uguaglianza può essere considerata in , e sostituendo con , con , , con e con per nella formula , ottengo che , assurdo.


Allora è un ideale proprio, e quindi esiste in un ideale massimale che contiene per la conseguenza del lemma di Zorn.


Pongo , siccome è un ideale massimale, è un campo che estende . Inoltre ogni polinomio non costante a coefficienti in ammette una radice in (per lemma sull'esistenza dei campi di spezzamento).


Itero il procedimento e ottengo una catena di estensioni: .


Chiamo e affermo che è un campo: infatti, dati , esistono indici tali che . Supponiamo , allora , è un campo, allora quindi . Analogamente e appartengono a .


Sappiamo inoltre che , e mostriamo che è algebricamente chiuso.


Considero un polinomio a coefficienti in , allora ha al più un numero finito di coefficienti non nulli. Di conseguenza esiste un indice tale che . Per costruzione dato un polinomio non costante a coefficienti in , esso ammette una radice in , allora anche ammette una radice in , quindi è algebricamente chiuso.

 


Possiamo quindi concludere con il seguente teorema:


Teorema 1.3

Sia un campo, allora esiste una chiusura algebrica di .

 
Dimostrazione

Per il teorema precedente esiste un campo che è algebricamente chiuso. Allora considero Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \bar K = \{ \alpha \in L \, t.c. \, \alpha \textrm{ è algebrico su } K\}}

Mostro che è un campo: siano , allora è algebrico su , quindi , inoltre è algebrico su , quindi anche su allora . Dal teorema della torre segue che l'estensione è di grado finito, in quanto , ed essendo di grado finito è algebrica. Gli elementi sono contenuti in , e quindi sono algebrici su , quindi per definizione stanno in che è un campo.


Inoltre, è un'estensione algebrica di , infatti Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \bar K = \{\alpha \in L \, t.c. \, \alpha \textrm{è algebrico su} K \}}

Rimane da mostrare che è algebricamente chiuso. Considero un polinomio non costante a coefficienti in , con . Siccome , ha coefficienti in , ma è algebricamente chiuso, quindi esiste una radice di in , cioè . Ora considero la catena di estensioni , allora come estensione di è algebrica per il punto precedente, e come estensione di è algebrica perché è radice di un polinomio a coefficienti in . Per la transitività delle estensioni algebriche, è algebrica, quindi è algebrico su , e quindi sta in , che è algebricamente chiuso.

 


Esempio 1.1

Si può considerare ad esempio il caso in cui , e Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \bar K = \{ \alpha \in \mathbb C \, t.c. \, \alpha \textrm{ è algebrico su } \mathbb Q\}.} Si può osservare che la chiusura algebrica dei razionali ha grado infinito: supponiamo per assurdo che , allora ogni elemento di dovrebbe avere polinomio minimo di grado . Se è primo e , l'elemento è radice del polinomio , che è un polinomio a coefficienti razionali, monico e irriducibile per il criterio di Eisenstein. Quindi è algebrico su (pertanto e' un elemento di ) con polinomio minimo (su ) . Dall'arbitrarietà di si ha l'assurdo.

 
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