(Non) unicità della chiusura algebrica

Due chiusure algebriche in un campo sono isomorfe secondo un isomorfismo che è l'identità su , sebbene in modo non canonico perché ci sono più isomorfismi tra due chiusure algebriche.


Consideriamo un contesto più generale: sia un campo, un campo algebricamente chiuso, e sia un'estensione di campi con algebrico su . Sia un omomorfismo (iniettivo), mostriamo che si solleva a un omomorfismo .


Rappresentando questo in un diagramma: se chiamo l'inclusione , si ha

e voglio provare che posso chiudere il diagramma con una freccia diagonale da a .


CASO 1: Errore del parser (funzione sconosciuta '\ALPHA'): {\displaystyle E = K(\ALPHA)} ESTENSIONE ALGEBRICA SEMPLICE. Sia il polinomio minimo di su , , e sia , allora .


Sia una radice di , per un risultato precedente esiste un (unico) isomorfismo tale che , e che ristretto a coincide con . Se compongo con l'inclusione , ottengo un omomorfismo che solleva .


Osservazione 1.6

Se è un omomorfismo che solleva , allora è radice di , infatti applicando all'uguaglianza ottengo . Poiché è algebricamente chiuso, contiene tutte le radici di , allora i sollevamenti di sono tanti quante le radici di ovvero di .

 



CASO 2: CASO GENERALE. Vale il seguente

Teorema 1.4

Siano un campo e un campo algebricamente chiuso, un omomorfismo. Sia un'estensione algebrica di campi, allora esiste un omomorfismo che solleva .

 
Dimostrazione

Per la dimostrazione si utilizza il lemma di Zorn. Sia insieme delle coppie dove è un campo, e è un omomorfismo che solleva .


è non vuoto perché almeno la coppia . Dati , ordiniamo ponendo se , . Questa è una relazione d'ordine parziale.


Sia una catena in . Mostro che questa catena ha un maggiorante in .


Considero allora è un campo con , e la mappa tale che . Allora è ben definito e la coppia è un maggiorante per la catena. (Nota: se ho una catena in , pongo e ).


Per il lemma di Zorn ha un elemento massimale in . Voglio provare che .

Supponiamo per assurdo che questo non sia vero e quindi che , allora posso prendere e considerare . Si ha il diagramma:

Per il caso 1 esiste omomorfismo che solleva , e quindi che solleva , cioè , contro la massimalità della coppia .

 


Osservazione 1.7

Sia , un'estensione algebrica, allora si solleva a . Supponiamo che sia algebricamente chiuso, e algebrico su . Allora è ancora algebricamente chiuso: infatti, preso un polinomio , esso sarà della forma

In particolare , . Se è la preimmagine di , allora per ipotesi esso ha tutte le radici in , allora ha tutte le sue radici in .


Inoltre , e contiene . è algebrico su , e quindi anche su , ma siccome è algebricamente chiuso non ammette estensioni algebriche proprie e quindi è uguale a .

 


In particolare, due chiusure algebriche di un campo sono isomorfe secondo un isomorfismo che è l'identità su .

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