Estensioni ciclotomiche

Radici primitive dell'unità

Definizione 4.1

Sia un'estensione di campi, allora con si dice radice -esima dell'unità, e si dice radice primitiva se .


L'estensione si dice -esima estensione ciclotomica.

 


Osservazione 4.1

Sia campo di spezzamento su di . Se ha caratteristica 0 oppure ha caratteristica con numero primo e , allora le radici -esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine , che ha generatori con funzione di Eulero (nota ), cioè radici sono primitive.


Infatti, se prendo con , anche il loro prodotto è una radice -esima dell'unità, quindi le radici -esime dell'unità formano un sottogruppo del gruppo moltiplicativo del campo. Il polinomio non ha radici multiple quindi ha radici distinte.

 



Più in generale,

Lemma 4.1

Dato un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo, esso è necessariamente ciclico.

 
Dimostrazione

Sia , dove è primo per ogni e per .


Considero il polinomio , che in ha al più radici.


Siccome ha elementi, essi non possono essere tutte radici. Allora esiste con . Definisco

Osservo che

Se pongo , siccome è commutativo, si ha che , cioè genera che è ciclico.

 


Nota (nota $\ast$):

Si definisce funzione di Eulero la funzione definita da: e per

La funzione di Eulero soddisfa le seguenti proprietà:

  1. Se è primo, e .
  2. Se , ( è moltiplicativa).

Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero può essere fattorizzato nella forma . Quindi per le proprietà precedenti:


Osservazione 4.2

Se ha caratteristica , e , posso scrivere con . Le radici -esime dell'unità sono radici di , e quindi sono radici -me dell'unita'.

 

Polinomi ciclotomici

Sia , per la formula di de Moivre le radici -esime dell'unità nei complessi sono

(sono i vertici di un -agono regolare, che ha un vertice in ). Tali radici dividono il cerchio unitario in archi uguali (da qui il nome di estensione ciclotomica).


Esempio 4.1
  • Se , l'unica radice dell'unità è .
  • Se , le radici seconde dell'unità sono , .
  • Se , le radici terze dell'unità sono , , .
  • Se , le radici quarte dell'unità sono , , , .
  • Se , le radici ottave dell'unità sono radici di . Tra queste, le radici di sono quelle primitive, se pongo , le radiciprimitive sono della forma con coprimo con 8, e sono, oltre a stesso

Invece le radici di non hanno ordine 8 (sono radici quarte di ).

 

Polinomio ciclotomico

Definizione 4.2

Si dice n-esimo polinomio ciclotomico il polinomio

dove chiamo l'insieme delle radici -esime primitive dell'unità.

 


Se , le radici -esime primitive dell'unità sono tutte e sole le potenze della forma con coprimo con . Quindi


Esempio 4.2
  1. Se , l'unica radice prima dell'unità è 1, quindi .
  2. Se , le radici seconde dell'unità sono , e solo è primitiva, quindi .
  3. Se primo, le radici -esime primitive dell'unità sono tutte le potenze . Quindi
    con . Siccome , moltiplicando e dividendo per l'unico fattore che manca, cioè per , si ha
 

Calcolo di polinomi ciclotomici

Lemma 4.2

Vale la formula

 
Dimostrazione

Mostro che è una radice -esima dell'unità se e solo se è una radice -esima primitiva dell'unità con divisore di .

Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : Le radici -esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine generato da . Se prendo una potenza , segue che . Posto , è un divisore di e è una radice -esima primitiva dell'unita'. Dunque e' una radice di .


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 1} : Viceversa, se è una radice primitiva -esima dell'unità, con , allora e , per un certo . Allora anche , cioè è una radice -esima dell'unità.


CONCLUSIONE: Sappiamo che

dove chiamo l'insieme delle radici -esime dell'unità, e sfruttando le osservazioni precedenti, posso raggruppare le radici e scrivere:

 



Conseguenza: Dato numero primo, si ha

da cui


Esempio 4.3
  1. Se ,
    da cui
    ma , quindi, fattorizzando anche il numeratore:
  2. Se :
    e siccome :
  3. Se ,
    In particolare, se chiamo , si ha
 

Proprietà dei polinomi ciclotomici

Lemma 4.3

Per ogni , è un polinomio a coefficienti interi, monico di grado .

 
Dimostrazione

Bisogna dimostrare che , e lo mostriamo per induzione su .


Per , e l'asserto è vero.


Supponiamo che l'asserto valga per tutti i polinomi ciclotomici con , e lo dimostriamo per .


Per il lemma precedente, , allora, separando l'ultimo termine del prodotto, possiamo scrivere

e per induzione per si ha e quindi, posto , si ha che è a coefficienti interi.


Pongo

Supponiamo per assurdo che non sia a coefficienti interi; sia , e .


Svolgendo il prodotto il coefficiente di è dato da

ed escluso , gli altri termini della somma sono interi perché i sono interi per induzione e gli sono interi per costruzione. Ma allora, il fatto che non sia intero è assurdo, perché il risultato del prodotto dev'essere il polinomio che è a coefficienti interi.

 


Teorema 4.1

Il polinomio è irriducibile in per ogni .

 
Dimostrazione

Per il lemma di Gauss, basta dimostrare che il polinomio è irriducibile in . Supponiamo che si possa scrivere come prodotto con polinomi a coefficienti interi, e irriducibile (e e monici).


Mostriamo che : vogliamo quindi provare che ogni radice -esima primitiva dell'unità è radice di .


è un polinomio di grado positivo che ammette una radice nei complessi, cioè esiste con . Allora , e è una radice primitiva -esima dell'unità.


Dobbiamo mostrare che con , e consideriamo i due casi seguenti:

  1. SIA PRIMO TALE CHE . Allora è una radice primitiva -esima dell'unità, e . Supponiamo che , allora si avrà . Segue che ammette come radice, ma anche ammette come radice, quindi e hanno in comune il fattore .In particolare, , ma è irriducibile, e l'unica possibilità è che , cioè vale l'uguaglianza e il lemma di Gauss ci assicura che .Guardiamo l'ultima uguaglianza in , e, indicando con una barra i polinomi coinvolti i cui coefficienti sono stati ridotti modulo , otteniamo
    Mostro che in caratteristica risulta : Sia, allora
    Allora l'uguaglianza si riscrive come
    Se considero un fattore irriducibile di ( potrebbe non essere irriducibile in !), segue che .Abbiamo anche che , e quindi , allora in :
    e dal fatto che hanno un fattore irriducibile in comune, segue che ha una radice di molteplicità maggiore di 1. Ma questo e' assurdo, perché la derivata di è perché . Quindi , rimane allora provato che .
  2. SIA TALE CHE . Allora dove i sono numeri primi non necessariamente distinti. Per la parte precedente, è radice di , perché ed è primo. Posso quindi applicare nuovamente la parte precedente con radice di e , eottengo che anche è radice di .Procedendo in questo modo, arrivo a dire che è radice di .
 

Gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica

Sia e considero . E' chiaro che per ogni radice primitiva -esima dell'unita'. Poi è normale, perché è campo di spezzamento su di .


Il gruppo può essere descritto in due modi (equivalenti):

  1. come il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico di ordine , indicato con.
  2. come il gruppo degli elementi invertibili dell'anello , indicato con .


Sia un gruppo ciclico di ordine , generato da , e sia un automorfismo di in sé. Allora è determinato da , e con e quindi . Viceversa, se è tale che , l'omomorfismo da in , definito da determina un automorfismo di . Quindi .


Mostriamo che .


Possiamo assumere che . Se è invertibile, considero l'applicazione che manda in , allora:

  1. è un automorfismo di additivo, infatti
  2. è iniettiva, infatti implica e moltiplicando per ottengo ;
  3. è suriettivo: infatti, dato , esso ha come preimmagine , infatti si ha.

Allora .


L'applicazione che manda in è un omomorfismo iniettivo di gruppi, da a . Infatti, se (cioe' se ) allora per ogni . In particolare per si ha cioè , quindi l'omomorfismo e' iniettivo. Inoltre allora .


Concludiamo provando che dove è il gruppo ciclico di ordine generato da .


Infatti, dato , e' ancora una radice -esima dell'unita', ovvero . Considero la mappa tale che . Questo omomorfismo di gruppi è iniettivo, infatti dati , implica , e quindi coincidono su tutto (infatti, essendo elementi di , essi fissano elemento per elemento e quindi coincidono su ). La conclusione segue dal fatto che, siccome il polinomio ciclotomico è il polinomio minimo di su , si ha , e quindi .


In particolare è sempre abeliano, e se , è un gruppo ciclico di ordine .

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